L’utilisation de l’algorithme RK4,5 n’est possible que pour l’intégration de problèmes qui sont peu raides [109]. Or la résolution de mécanisme chimique est bien connue pour être (parfois très) raide.
Anticipant la divergence de l’algorithme RK4,5 pour une utilisation où les phénomènes physiques et chimiques sont directement couplés (résolu par le solveur principal), la résolution des mécanismes chimiques est donc relayée au solveur secondaire qui doit être conçu de sorte à ne pas faire diverger le solveur principal.
De plus, le solveur secondaire peut inclure d’autres phénomènes qu’il n’est pas nécessaire d’avoir dans la boucle d’intégration de PhysX2. La modification de la géométrie des phases au cours du temps (due à la régression) est inclue dans cette partie du programme.
De manière générale, tous modèles trop raides pour être correctement intégrés par l’algorithme RK4,5 sont résolus par le solveur secondaire. Tous modèles, équations ou algorithmes supplémentaires qui n’ont aucun intérêt vis-à-vis des conditions limites et/ou propriétés de chaque phase sont également placés dans le solveur secondaire.
2.1.1 Modification de l’intégrateur
Une étape d’intégration (bloc "RK4,5" sur la Figure 4.18) est validée si l’erreur numérique est inférieure aux tolérances fixées par l’utilisateur7 : |err(i)| ≤max(atol(i), rtol|sol(i)|). Si ce n’est pas le cas l’intervalle d’intégration ∆t est réduit et l’intégration reprend à la dernière étape valide. Quand l’étape d’intégration est validée, son résultat est mis en mémoire, puis ce processus d’intégration est itéré jusqu’à ce que le temps de simulation atteigne le temps final donné par l’utilisateur.
L’appel au solveur secondaire a été placé après la validation de l’étape d’intégration pour éviter de perturber l’étape d’intégration (voir la Figure 4.18). La solution yn+1 qui est calculé par l’étape d’intégration RK4,5 est modifiée, dans le solveur secondaire, par les phénomènes pris en compte par celui-ci. Il en résulte une nouvelle solutiony∗n+1 dont l’écart avec la solutionyn+1 est potentiellement hors tolérance (ce qui explique pourquoi il n’est pas possible de placer l’appel du solveur avant que l’étape d’intégration ne soit validée).
7. Les valeurs par défaut ont été utilisées : 10−3 et 10−6 pour l’erreur relative et absolue respectivement.
Figure 4.18 : Organigramme simplifié de la version modifiée de l’algorithme de la fonction ode45.
2.1.2 Principe de superposition
Les équations qui sont résolues par le solveur secondaire se trouvent découplées de celles qui sont intégrées par le solveur principal RK4,5. Pour le calcul de la solution y∗n+1 le principe de superposition est appliqué (voir la Figure 4.19). Entre les instants tn et tn+1 (correspondant à la durée ∆t) le solveur RK4,5 calcule une évolution de l’état des variables notée ∆yRK4,5. Si l’étape d’intégration est validée, le solveur secondaire obtient le nouvel état yn+1. Cet état des variables est utilisé pour calculer l’évolution des variables due aux phénomènes modélisés dans le solveur secondaire notée ∆ysol2nd. Par principe de superposition, il est considéré que l’état des variables à évolué de la quantité ∆yRK4,5+∆ysol2ndentre les étapesnetn+ 1, donnant un état final des variables notéy∗n+1. Étant donné l’architecture, le pas de temps ∆t est piloté par le solveur principal ce qui fait que le solveur secondaire lui est totalement dépendant. Néanmoins, le solveur secondaire, s’il en a besoin peut discrétiser ce pas de temps∆t lors de la résolution de ses phénomènes. De plus, à cause de la non linéarité des phénomènes simulés et du fait que certains sont découplés des autres (puisque non résolus au même moment) une erreur apparaît par rapport au chemin correspondant à une simulation où tous les phénomènes seraient couplés (en rouge sur la Figure 4.19). Cette erreur peut être considérée par rapport au temps ou par rapport à l’état et nécessite d’être évaluée.
2 Solveur secondaire
Figure 4.19 : Principe de superposition des évolutions calculées par le solveur principal et secondaire.
2.1.3 Étude paramétrique du principe de superposition
Pour comprendre les implications du principe de superposition dans les simulations qui seront par la suite effectuées, des tests ont été conduits sur des modèles 0-D de réacteurs chimiques parfaitement agités (hors code PhysX2). Les contributions des phénomènes physiques et chimiques dans le bilan énergétique (voir l’Équation 4.11.a) et le bilan des espèces (voir l’Équation 4.11.b) sont plus faciles à analyser que dans un modèle unidimensionnel ou pluridimensionnel.
Sur quelques cas tests, dont les conditions sont données dans le Tableau 4.13, sont effectués. Tout d’abord, les Équations 4.11 sont numériquement intégrées avec les phénomènes physico-chimiques couplés (sans application du principe de superposition). L’intégration numérique est dans ce cas conduite avec un autre solveur permettant de résoudre des équations raides. La solution alors obtenue sert de référence. Par ailleurs, les mêmes cas sont intégrés ensuite en appliquant le principe de superposition.
Les résultats alors obtenus sont comparés avec leurs solutions de références respectives.
d
Équations 4.11 : Écriture généralisée du bilan d’énergie (a) et des espèces chimiques (b) dans un système 0-D.
Le mécanisme chimique Grimech 3.0 [62] (53 espèces et 353 réactions) est utilisé pour ces tests qui modélise la combustion d’éthylène avec de l’oxygène.
– Pour le premier cas test, le mélange réactif (C2H4/O2) est à la stœchiométrie, à pression et tem-pérature atmosphérique standard. Au travers du terme représentant les phénomènes physiques, de l’énergie (1 GW.m−3) est apportée pendant la durée de la simulation au système pour élever sa
température et ainsi déclencher l’allumage du mélange réactif.
– Le deuxième cas test est similaire au premier. De l’Argon (en tant que gaz non réactif) est ajouté dans le mélange au taux de 200 s−1.
– Pour le troisième cas test, le mélange réactif initial est dépourvu d’éthylène. Ce dernier est ajouté dans le mélange au travers du terme physique au taux de 50 s−1. L’ajout combiné d’énergie et du réducteur dans le mélange initialement purement oxydant permettent l’allumage du mélange.
– Le dernier cas test est similaire au troisième. C’est l’oxygène qui est ajouté dans le système au taux de 300 s−1 initialement dépourvu d’oxydant.
Le taux de production d’énergie de 1 GW.m−3 a été estimé pour avoir un délai d’allumage de l’ordre de 1 ms. Ensuite les taux de production des espèces ont été choisis de sorte que le délai d’allumage reste du même ordre de grandeur.
Tableau 4.13 : Valeurs numériques utilisées pour les cas tests.
Sur la Figure 4.20 les cas de référence (modélisation tous phénomènes couplés) sont en traits gras de couleurs alors que les modélisations découplées représentant le principe de superposition sont en pointillés. Si les niveaux des paliers sont peu affectés par le découplage (0.4×10−3 % de différence en moyenne), l’impact sur le délai d’allumage est clairement visible. Dans le cas du test #1, le décalage du délai d’allumage est négligeable, 0.4×10−3 % de variation. En revanche, pour les autres, le décalage varie de 1 à 30µs représentant une erreur de 0.1 % à 2 %.
À ce stade de l’étude, il n’est pas possible de déterminer si les valeurs numériques choisies pour les termes représentant les phénomènes physiques (ρ e,˙ Y˙O2, Y˙C2H4 et Y˙Ar) sont pertinents ou non.
Afin d’obtenir des cas de référence pour discuter des futurs résultats de simulation de chambre de combustion, la même démarche que précédemment a été conduite mais en multipliant puis en divisant par dix chacune de ces valeurs numériques, donnant huit cas tests supplémentaires.
Il a été recherché un estimateur de l’erreur sur le délai d’allumage (noté δt) en fonction des taux de variations utilisés. L’erreur sur le délai d’allumage est donnée par :
err%= 100×δtref −δt δtref
En posttraitant les données, il a été trouvé un paramètre qui montre une corrélation linéaire (voir la Figure 4.21) entre l’erreur commise sur le délai d’allumage et les conditions d’essais. Ce paramètre est
2 Solveur secondaire
calculé par l’expression :
err%=a× PY˙i
( ˙ρ e)0.87 +b Avec aégal à−7.4×10−3 et bégal à 45×10−3.
a)
b)
c)
Figures 4.20 : Les profils temporels de température (a), de fractions massique d’oxydant (b) et de réducteur (c) montrent le décalage du délai d’allumage lorsque les phénomènes physico-chimiques sont
découplés. La légende en (c) s’applique à toutes les autres.
Cette approche devra être conduite avec le mécanisme de Dagaut et Cathonnet [63] pour discuter de l’influence du principe de superposition sur les résultats de simulation dans la chambre de combustion.
Néanmoins, les cas test réalisés montrent que le principe de superposition impacte le délai d’allumage faiblement et l’influence de ce dernier sur la hauteur de flamme et la performance du moteur est encore à démontrer.
Figure 4.21 : Erreur du délai d’allumage en fonction d’un paramètre dépendant des termes physiques.