Lors des tirs au banc d’essais un débit massique constant du comburant est utilisé. Pour modéliser l’injection à débit constant dans la chambre de combustion, les conditions limites suivantes ont été utilisées :
– La composante horizontale (axiale) de vitesse est calculée en fonction du débit massiquem˙inj, de la masse volumique du fluide à l’injecteurρinj et de la section de passage de l’injecteur Ainj :
Vx= m˙inj ρinjAinj
– La composante verticale (radiale) de vitesse est nulle (Vy= 0).
– La température est constante égale à 280 K (les tirs au banc ont été conduit en hiver où la tempé-rature extérieure variait entre 5 et 10 ˚C).
– La composition chimique est constante, la fraction massique de l’oxygène est de 53.6 % et la fraction massique de l’azote est de 46.4 % (la composition comburante du tir #66 a été reprise).
3.2.2 Échappement et modèle de tuyère
Pour l’échappement de l’écoulement, la pression est évaluée par une condition limite. La pression moyenne dans la chambre de combustion, aux pertes de charge près, est pilotée par cette condition limite. Or, la pression de la chambre de combustion est le résultat du débit massique de l’écoulement passant au travers d’une restriction de passage formée par la géométrie convergente de la tuyère et de son col. Afin de pouvoir coupler la pression en fonction du débit massique qui traverse la tuyère, un modèle 0-D de tuyère a été utilisé calculant la pression en fonction du débit massique (et d’autres paramètres).
Le développement du modèle est donné au paragraphe 5 de l’Annexe C: Développements mathématiques et autres modélisations (p.211). Le débit massique qui traverse la tuyère est celui qui sort du maillage (par conservation du débit) et est donné par la sommation du produitρ∆y Vxsur l’ensemble des nœuds de la dernière section du maillage.
3.2.3 Axe de symétrie
Sur l’axe de symétrie, tous les flux (convectifs et diffusifs) perpendiculaires à l’axe de symétrie sont nuls. Les conditions limites suivantes sont utilisées :
– La composante de vitesse verticale (axiale) à l’axe de symétrie est nulle (Vy= 0).
– Toutes les dérivées par rapport à la direction verticales sont nulles (∂ρ/∂y = 0, ∂Vx/∂y = 0,
∂Vy/∂y= 0, ∂Tgaz/∂y= 0,∂Yi/∂y= 0).
3.2.4 Transferts radiatifs
AuChapitre 2: Phénoménologie(p.25) il a été rappelé que la bibliographie stipulait que les transfert radiatifs entre la phase gazeuse et la phase solide étaient de prime importance (jusqu’à 60 % du transfert thermique). Un modèle simple de rayonnement a donc été implémenté. À des fins de simplification pour cette première étude, il a seulement été considéré le transfert des nœuds de la phase gazeuse vers ceux de la surface de la phase solide. Par conséquence, il n’y a ni transfert de la phase gazeuse vers elle-même (hypothèse du milieu optiquement fin), ni transfert de la phase solide vers la phase gazeuse.
Dans la phase gazeuse, la puissance rayonnée est calculée par l’Équation 4.12. L’émissivité, ε, est évaluée arbitrairement à 0.2 (le carburant étant blanc, la valeur de l’émissivité est vraisemblablement peu élevée), la température froide de référence (voir la référence [122]) est celle de la température initiale de la chambre de combustion de 280 K, et la surface équivalente des particules de suie,fv/d, est évaluée à 8 cm−1 (valeur moyenne indiquée dans la référence [77] pour la combustion d’éthylène avec de l’air).
Le produitVgaz(fv/d) correspond donc à la surface équivalente d’émission (Vgaz désigne le volume de phase gazeuse considérée).
Pray,gaz= ε σ Tgaz4−T04
Vgaz(fv/d)
Équation 4.12 : Puissance de rayonnement émis par un nœud de la phase gazeuse.
L’émission de rayonnement soustrait à la phase gazeuse une partie de son énergie. Le puits thermique ainsi créé est considéré dans le termeQ˙th de l’Équation 2.21(p.42), avec ˙Qthray,gaz =−Pray,gaz/V. Le rayonnement émis est intercepté par la surface du carburant et celle-ci émet du rayonnement thermique également. Le bilan radiatif à la surface du carburant est donné par l’Équation 4.13, le terme Q˙th est celui de l’équation de la chaleur (voir l’Équation 2.12(p.33)).
Le produit Sδopt correspond au volume traversé par le rayonnement absorbé (δopt correspond à la longueur du chemin optique), alors que le terme Vsol correspond au volume de contrôle des nœuds à l’interface solide/gaz. Il a été anticipé que la longueur du chemin optique dans le solide, δopt, est plus petite que la taille de la maille à l’interface dont le minimum est de 1 mm. Arbitrairement, la longueur du chemin optique a été prise égale à 0.1 mm (à comparer à la valeur de 0.19 mm donnée au paragraphe 1.1 duChapitre 3: Pyrolyse du polyéthylène et essais de combustion(p.58) mais dont la donnée n’était pas disponible lors de la modélisation).
Q˙thray,sol = αFPgaz−ε σ Tsol4−T04 S Sδopt
Équation 4.13 : Bilan radiatif à la surface du bloc carburant.
Figure 4.27 : Paramètres pour le calcul du facteur de forme qui est calculé pour chaque nœud de l’interface solide/gaz.
Le facteur de formeF de l’Équation 4.13 est recalculé à chaque modification de la géométrie du bloc carburant. Le facteur de forme du nœudi appartenant à la surface de la phase solide par rapport au
3 Simulations de la chambre de combustion
nœudj est calculé par l’Équation 4.14 dont les paramètres sont explicités sur la Figure 4.27. Lorsque les nœuds ne sont pas visibles l’un à l’autre à cause d’un obstacle, le facteur de forme dans ce cas est nul.
Fi,j = Si
d(i, j)× ~n.~r 2π
Équation 4.14 : Facteur de forme entre les nœudsiet j.
3.2.5 Réactions chimiques
Pour cette première simulation, il a été jugé plus prudent d’employer des modèles de chimie simplifiés en dépit des outils numériques permettant de considérer des mécanismes détaillés de cinétique chimique.
Au paragraphe 1.1 du Chapitre 3: Pyrolyse du polyéthylène et essais de combustion(p.58), il a été établi une loi de régression de type Arrhénius (vreg =Are−Ea/(RTsol)) pour le carburant employé lors des essais. Dans le cadre de cette première modélisation, la loi obtenue avec les mesures ATG a été utilisée (voir l’Équation 3.2(p.66)). Parce que les données n’étaient pas disponibles au moment de la modélisation, la vitesse de régression obtenue avec les tirs au banc d’essais n’a pas été utilisée (malgré le fait que celle-ci soit plus pertinente, comme le montre la Figure 3.35).
L’enthalpie de pyrolyse du polyéthylène, hpyro, indiqué par Gany et ses collègues [123] est de 1.3 MJ.kg−1, plus tard, Lengellé [92] donne la valeur de 2.7 MJ.kg−1. C’est cette dernière valeur qui est utilisée, car plus récente. À cause de l’endothermicité de la pyrolyse, il faut soustraire dans le termeQ˙th l’énergie consommée par les réactions chimiques (voir l’Équation 4.15).
Le produitSδpyro correspond au volume pyrolysé (δpyro correspond à l’épaisseur de carburant py-rolysée). Comme pour la longueur du chemin optique, l’épaisseur pyrolysée a été prise égale 0.1 mm (à comparer à l’épaisseur de 0.5 mm obtenue plus tardivement et reportée au paragraphe 3.2.2.1 du Cha-pitre 3: Pyrolyse du polyéthylène et essais de combustion(p.91)). L’épaisseur pyrolysée est donc inférieure à l’épaisseur du maillage d’un minimum de 1 mm.
Q˙thpyro =
Équation 4.15 : Bilan énergétique du modèle simplifié de pyrolyse.
Le modèle simplifié de Westbrook et Dryer [124, 125] a été utilisé pour la combustion de l’éthylène (réducteur représentant dans ce cas l’ensemble des produits de pyrolyse). La Réaction 4.1 globale de com-bustion est considérée avec un taux de réaction exprimé par l’Équation 4.16 dont les valeurs numériques sont données au Tableau 4.14.
Équation 4.16 : Taux de réaction du modèle de combustion simplifié tel que le propose Westbrook et Dryer. Équation issue de la référence [124].
C2H4+ 2O2→CO2+ 2H2O
Réaction 4.1 : Réaction globale de combustion de l’éthylène avec l’oxygène.
A Ea a b
[cm, s, mol, K] [kcal.mol−1]
2×1012 30 0.1 1.65
Tableau 4.14 : Paramètres cinétiques donnés par Westbrook et Dryer pour la combustion de l’éthylène.
Valeurs issues de la référence [124].
Pour appliquer le principe de superposition, les incréments de fractions massiques de chaque espèce de la phase gazeuse sont donnés par :
Pour modéliser l’apport d’énergie, l’enthalpie de combustion,hcombutilisée est de 35 MJ.kg−1 d’éthy-lène consommé [123]. L’incrément de température est calculé par :
∆T= ∆YC2H4hcomb
cpgaz
3.2.6 Interface carburant/phase gazeuse et régression
À l’interface les flux d’énergie et de matière doivent être considérés. Les conditions limites suivantes sont utilisées :
– Les mêmes conditions limites sont utilisées que lors des cas de validation.Le calcul de l’équation de la chaleur à l’interface doit être effectué pour prendre en compte le terme ˙Qth
(Q˙th= ˙Qthray,sol−Q˙thpyro) qui prend compte l’absorption du rayonnement et l’enthalpie de pyrolyse.Par conséquence, la condition limite de Dirichlet ne peut être appliquée sur l’équation de la phase solide, elle sera donc appliquée sur l’équation de la phase gazeuse. Puis une condition de Neumann sur l’équation de la phase solide est appliquée pour coupler le flux thermique.
– Pour modéliser le débit massique de matière quitraversel’interface solide/gaz, les conditions limites des composantes de vitesses sont les suivantes :
"
3 Simulations de la chambre de combustion
où~nest le vecteur unitaire normal à la surface (horizontal, vertical, ou diagonal suivant le cas).
– Le débit massique d’éthylène à la surfaceS du carburant est exprimé par :
˙
mreg=ρsolSvreg(Tsol)
dépend de la vitesse de régression qui elle même dépend de la température du solide
– Pour modéliser la production d’éthylène à l’interface, un terme source de fraction massique d’éthy-lène est utilisé ainsi que des termes puits pour les fractions massiques des autres espèces. Le taux de production global,w est calculé :
w= ρsolSvreg(Tsol)
ρgazV = m˙reg
ρgazV
– Enfin, les taux de fractions massiques (dernier terme de l’Équation 2.19(p.42)) sont calculés : Y˙C2H4 = +w(1−YC2H4) pour l’éthylène
Y˙i =−w Yi pour les autres espèces de la phase gazeuse
Pour définir l’appartenance d’un nœud à l’une des deux phases (ou les deux en même temps pour les nœuds de l’interface), deux champs de propriétés sont définis :SoletGazrespectivement pour la phase solide et gazeuse. Pour le nœud aux coordonnées [i, j], s’il appartient à la phase solide alorsSoli,j = 1, et s’il appartient à la phase gazeuse alors Gazi,j = 1. L’interface solide/gaz, sur laquelle la pyrolyse et l’absorption du rayonnement est calculée, est définie par :
( Soli, j = 1 Gazi, j = 1
Afin de suivre la fraction volumique de phase solide présente à l’interface au cours de la régression, une variable,xsol, est définie sur l’ensemble du domaine. Initialement égale à 1 ("il y a 100 % de phase solide dans le volume de contrôle"), celle-ci décroît jusqu’à 0 lorsque le nœud à l’interface à totalement régressée (lorsque toute la phase solide a disparue de ce nœud). Les variations de cette variablex˙sol sont pilotées par la vitesse de régression :
˙
xsol=−m˙reg
ρsolV
qu’il faut intégrer au cours du temps pour obtenir la valeur de xsol.
Lorsque la fraction volumique de phase solide atteint zéro, il faut mettre à jour la géométrie du carburant, et donc celle de la phase solide et de la phase gazeuse. Les propriétés Sol et Gaz définies ci-dessus sont donc modifiées. Le nœud considéré n’appartient plus à la phase solide :Soli, j= 0. Et les nœuds en périphérie de ce dernier doivent être testés pour savoir s’ils passent à l’interface (étant donné qu’un de leur voisin, celui aux coordonnées [i, j], n’appartient plus à l’interface) :
– SiSoli−1, j= 1 etGazi−1, j= 0, alorsGazi−1, j= 1 (l’interface est déplacée au nœud i−1, j).
– SiSoli+1, j= 1 etGazi+1, j= 0, alorsGazi+1, j= 1 (l’interface est déplacée au nœudi+ 1, j).
– SiSoli, j−1= 1 etGazi, j−1= 0, alorsGazi, j−1= 1 (l’interface est déplacée au nœud i, j−1).
– SiSoli, j+1= 1 etGazi, j+1= 0, alorsGazi, j+1= 1 (l’interface est déplacée au nœudi, j+ 1).
3.2.7 Parois inertes de la chambre de combustion
Les parois considérées ici sont le fond avant et la partie circonférentielle de la chambre de combustion.
Les conditions limites suivantes ont été utilisées :
– Aux parois, le flux thermique conductif perpendiculaire aux parois est considéré comme nul (∂T /∂x= 0 pour les parois verticales et∂T /∂y= 0 pour les parois horizontales).
– Pour considérer qu’elles absorbent une part du rayonnement thermique émis par la flamme un modèle simple est utilisé. La densité de puissance absorbée est égale au transfert radiatif entre la paroi et le point de la phase gazeuse le plus chaud sur la verticale (àxconstant) du nœud de la paroi considérée :
Q˙th=ε σ M ax|x(Tgaz4)−Tparoi4
– L’écoulement adhère aux parois de la chambre de combustion, les conditions limites d’accrochage sont donc utilisées (Vx=Vy= 0).