Explication de l’algorithme

Afin d’observer une propagation d’onde de cavitation, nous avons besoin d’un modèle qui augmente la probabilité de nucléation des micro-cavités voisines. Initialement nous imposons l’intensité de nucléation constante sur toutes les micro-cavités :

λ0 = J0V e−Gb,i. (4.49)

avec Gb,i le nombre de Gibbs pris à la pression initiale Pi.

En utilisant le même algorithme que pour les deux autres modèles, chaque apparition de bulle provoque un changement d’intensité de toutes les micro-cavités avoisinantes.

Supposons que l’intensité soit constante sur tout le domaine : c’est un cas qui est similaire à la désintégration des noyaux radioactifs (voir le Chap 3). Toutes les simulations que nous traiterons par la suite sont faites avec un maillage composé de 10000 points. Les valeurs des pressions Pi et Pv sont les mêmes que les Chapitres 2 et 3. Le terme λ0 a été fixé à

500 bulles/s en accord avec les observations expérimentales [42].

Sur la Fig. 4.10, nous avons tracé le nombre de bulle en fonction du temps, avec les valeurs obtenues grâce à la simulation numérique et la théorie qui prédit que le nombre de bulle dans le temps se comporte comme

N = N0 1 − e−λ0t

(4.50)

avec N le nombre de bulle, N0 est le nombre de micro-cavité vide initiale égale à NxNy.

Fig. 4.10 – Nous avons tracé le nombre de bulle en fonction du temps. Nous avons pris pour cette simulation 104 _{micro-cavités.}

Les deux courbes tracées sur la Fig. 4.10 montrent qu’il y a un bon accord entre les résultats numériques et la théorie, par conséquent nous pouvons considérer que le programme que nous avons écrit en C fonctionne bien.

Il reste à décrire la physique de changement d’intensité, consécutive à la création d’une bulle. Après son apparition, la bulle émet une onde sonore qui se propage dans toutes les directions. L’effet de cette onde provoque la variation de la pression dans les micro-cavités autour pendant un court laps de temps, changeant ainsi la probabilité de nucléation. Le modèle pour augmenter la probabilité que nous avons utilisé s’inspire de cette observation. Après chaque apparition de bulles, le programme explore toutes les micro-cavités, et dès qu’il trouve une micro-cavité sans bulle, il regarde les quatre plus proches voisins, si au moins l’un d’eux contient une bulle, alors l’intensité de cette dernière augmente. Comment l’intensité

4.2. MODÈLE DE PROPAGATION EN CHAMP MOYEN

augmente-t-elle ?

Nous nous sommes inspirés du modèle théorique microscopique (voir les chap 2 et 3), dans lequel le rapport des intensités

e−Gb

e−Gb,i

augmente de manière significative même si la valeur de la pression dans la micro-cavité vide est à peine inférieure à Pi. Pour cette raison, nous avons imposé à toutes les micro-cavités

sans bulles, une nouvelle intensité :

λij = (βsNv + 1) λ0, (4.51)

avec Nv le nombre de voisins contenant une bulle, βs un paramètre variable qui augmentera

l’intensité des micro-cavités et λij l’intensité de la micro-cavité de coordonnées (i, j). Le pa-

ramètre βs est un paramètre spatial, il n’y a pas de contrainte de temps. Les conditions aux

bords sont périodiques.

Fig. 4.11 – Nous avons tracé le nombre de bulle en fonction du temps, la courbe bleue est le cas homogène (λ = Cte) et la courbe orange le cas non-homogène λ = (βsNv+ 1) λ0 avec

βs = 10. Le nombre de micro-cavités est égale à 10000.

Sur la Fig. 4.11 nous avons tracé le nombre de bulles en fonction du temps dans le cas où l’intensité est constante et aussi dans le cas où l’intensité varie dans le temps. La vitesse avec laquelle les bulles apparaissent est beaucoup plus importante dans le cas non-homogène que dans le cas homogène, ce qui est raisonnable puisque les intensités sont plus grandes que

dans le cas homogène à certains noeuds du maillage.

Dans un deuxième temps, nous avons étudié le temps nécessaire pour que 5% des sites du domaine soit occupés par des bulles. Sur les Fig. 4.12(a) et Fig. 4.12(b) nous avons mis la dernière image de la simulation dans deux cas, la première illustre le cas homogène et la deuxième, le cas non-homogène.

(a) (b)

Fig. 4.12 – Dernière image de deux simulations avec deux différentes valeurs de βs. (a) nous

sommes dans le cas homogène c’est-à-dire que βs= 0. (b) c’est le cas non-homogène avec un

βs = 600. Les carrés noirs sont les micro-cavités contenant une bulle.

Dans la Fig. 4.12(a), nous ne voyons que des points isolés d’une manière générale. Le taux de micro-cavités remplies que nous avons choisi semble pertinent parce que il n’y a pas plus de deux ou trois points qui sont côte à côte. En revanche sur la Fig. 4.12(b) nous observons des taches composées de plusieurs carrés noirs. Ces tâches sont des clusters de bulles.

Dans le cas homogène, le temps d’apparition de bulles dans 5% des micro-cavités est facilement calculable à partir de l’Eq(4.50). Nous appellerons t5%, ce temps-là, son expression

est la suivante

t5% = −

1 λ0

log (1 − 0.05). (4.52)

La Fig. 4.11 nous montre que t5%, dans le cas homogène, est plus petit que celui dans le cas

non-homogène. Nous en déduisons que plus βs est grand plus petit est le temps qu’il faut

pour remplir 5% des micro-cavités. Sur la Fig. 4.13, nous avons tracé ce t5% en fonction du

paramètre βs.

4.2. MODÈLE DE PROPAGATION EN CHAMP MOYEN

Fig. 4.13 – Nous avons tracé le temps t5% en fonction du paramètre βs. La courbe bleue

représente le temps t5% dans le cas homogène (l’intensité constante) et la courbe orange,

c’est le cas non-homogène.

contre dans le cas non-homogène, l’intensité dépend de βs (voir l’Eq(4.51)). Comme nous

l’avons vu la Fig. 4.11, où nous avions représenté le nombre de bulles en fonction de leur temps d’apparition avec un βs = 10, le temps d’apparitions des bulles diminue quand βs

augmente. Comme nous nous y attendions, la courbe orange est décroissante, cependant elle tend vers une asymptote horizontale à partir d’un βs > 104. Pour vérifier que l’existence

d’un βs,lim n’est pas une coincidence, nous traçons sur la Fig. 4.14 le temps pour que 10%

des micro-cavités soient remplies en fonction toujours de βs.

Fig. 4.14 – Courbe représentant le temps moyen d’apparition dans 5% et 10% des micro- cavités en rouge et en noire respectivement.

Ce que nous remarquons grâce à la Fig. 4.14, est que les deux courbes tendent vers une limite, à partir de la même valeur de βs. Il existe bien une valeur limite à partir de laquelle le

temps d’apparition est sensiblement le même. L’interprétation physique d’un tel résultat est le suivant : à partir d’une certaine valeur de βs, la probabilité tend vers 1, par conséquent les

bulles apparaissent obligatoirement, et le temps d’apparition de toutes les bulles ne change pas de beaucoup.

Sur la Fig. 4.13, nous avons remarqué une différence notable entre t5% le cas homogène

et le cas non-homogène. Nous recherchons ici le mécanisme qui permettrait une transition plus douce entre les deux cas. Nous rappelons que les observations expérimentales montrent que les bulles apparaissent pendant un temps fini. L’idée de notre modèle est de permettre pendant un certain temps l’augmentation de l’intensité et après de la remettre à sa valeur initiale λ0. Ce temps, que nous notons τ , est choisi multiple de la période d’oscillation de la

bulle :

τ < t − tij (4.53)

t le temps auquel la dernière bulle est apparue et tij le temps auquel est apparue la bulle

présente dans les micro-cavités voisines à celles qui n’en contiennent pas.

Fig. 4.15 – Courbes du temps t5% en fonction de βs, pour différentes valeurs de τ . Ses valeurs

varient entre 10−3 jusqu’à l’infini en valeur adimensionnée en passant par 10−2, 0.5, 1, 2, 5.

Sur la Fig. 4.15, nous avons représenté pour différentes valeurs de τ , la dépendance de t5%

avec βs. Nous remarquons qu’à partir d’une certaine valeur de τ , toutes les courbes admettent

la même limite que celle du cas non-homogène pour lequel τ → ∞. Le comportement des autres courbes se séparent en deux groupes : le premier groupe (τ = {0.5; 1; 2, 5}) a tendance à tendre vers la même limite que la courbe de τ infini, par contre le deuxième groupe semble

4.2. MODÈLE DE PROPAGATION EN CHAMP MOYEN

tendre vers le cas homogène. A partir de cette observation, nous pouvons faire l’hypothèse qu’il existe une valeur limite de τ à partir de laquelle il y a une transition entre les deux comportements extrêmes (le cas homogène et τ infini). Pour confirmer ces observations, nous avons tracé sur la Fig. 4.16 le temps t5% en fonction de τ en fixant βs à 3000.

Fig. 4.16 – Courbe du temps t5% en fonction de τ et avec βs = 3000 en unité sans dimension.

Sur cette figure, nous voyons trois comportements :

— lorsque τ est petit devant 1, le temps t5% est proche de celui du cas homogène,

— par contre, pour des τ grand, t5% tend vers le cas infini,

— entre les deux, le temps décroit fortement.

Pour nous donner un ordre d’idée, nous pouvons regarder ce à quoi ressemble le système dans les trois cas. Sur la Fig. 4.17, nous remarquons que plus τ augmente, plus la taille des clusters semblent augmenter.

Plus τ augmente, plus la taille des clusters semblent croître. Ce comportement rappelle celui des spins dans un modèle d’Ising 2D. Dans ce cas, il existe une température critique à partir de laquelle, des clusters de spins se forment [18]. Ici, le temps t5% sert de paramètre

d’ordre puisqu’il vaut presque 2000 pour τ petit, sans que des clusters viennent à se former, pour tendre enfin vers 100 lorsque τ augmente avec la formation de clusters qui paraissent avoir la même taille (voir la Fig. 4.17).

Il existe donc une relation entre la taille des clusters et les paramètres τ et βs. Pour corroborer

cette observation il faut connaitre la distribution des tailles pour différentes valeurs de βs et

Fig. 4.17 – Dernière image de trois simulations pour βs= 3000 et τ = 0.01, 1.5 et 5.