Calcul de la probabilité de cavitation

Aspect théorique

Dans cette sous section, nous nous intéressons à l’estimation de la probabilité de nucléa- tion dans une micro-cavité induite par la micro-cavité voisine. Nous considérons un nombre N de micro-cavités sans bulle. Comme dans le contexte expérimental, des bulles de cavitations apparaissent et leurs nombres augmentent dans le temps. Avec l’hypothèse d’équiprobabi- lité sur toutes les micro-cavités, l’évolution temporelle du nombre de bulle est exponentielle (nous en discuterons plus longuement dans le Chap 4) dans le cas où la pression à l’intérieur des micro-cavités est constante. L’évolution du nombre de micro-cavité sans bulle dans le temps rappelle le comportement de la décroissance radioactive.

Exemple de la décroissance radioactive En 1896, Henri Becquerel découvrit que cer-

rayonnements a pour origine la nature instable de certain noyau atomique. Nous rappe- lons qu’un noyau est composé de neutrons ainsi que de protons. Les isotopes d’un certain élément chimique sont composés du même nombre de protons mais avec un nombre de neu- trons différents. Il existe des isotopes stables et d’autres instables. Les corps qui rayonnent sont composés de ces isotopes instables. Pour atteindre un état stable cet isotope se dés- intègre en émettant trois types de particules. Soit N (t) le nombre de noyaux non désinté- grés à l’instant t. Nous définissons ∆N la variation de ce nombre pendant une durée ∆t : ∆N = N (t + ∆t) − N (t). Soit A(t) l’activité moyenne représentant le nombre moyen de dés- intégration par seconde produit par un échantillon quelconque et prend la forme suivante :

A(t) = −∆N

∆t ,

où A(t) est le produit de la probabilité par unité de temps λd(t) qu’un événement de désin-

tégration se produise avec le nombre de noyaux non désintégrés : A(t) = λdN (t).

En faisant l’hypothèse ∆t << 1, nous obtenons l’équation différentielle pour N (t) : dN

dt = −λdN (t) (3.46)

D’où le nombre de noyaux non désintégrés : N (t) = N0e−λdt avec N0 le nombre de noyaux

initial au temps t=0.

Calcul de la probabilité de nucléation à l’instant t L’intensité de chaque micro-cavité est directement relié à la pression, une fonction du temps. Par conséquent, le processus de génération de bulles, est appelé un processus de Poissons inhomogène, à cause de la dépen- dance temporelle des intensités. Voici quelques exemples de processus classique de Poisson inhomogène. Weibull, le mathématicien, physicien et ingénieur suédois, publia en 1939 un article dans lequel il introduit une nouvelle ditribution, connue aujourd’hui comme la distri- bution de Weibull [56]. Cette distribution est une loi de probabilité continue et constitue une approximation de distribution dans des cas en physique. Elle est analogue à la distribution normale qui est une bonne approximation pour des distributions presque symétriques. Le deuxième processus est celui de la méthode de Thinning : c’est une méthode faisant le lien entre la trajectoire d’un processus ponctuel et la trajectoire correspondante à son intensité, lorsque l’intensité stochastique ne donne pas directement d’informations sur la dynamique de ce dernier. Les origines de cette méthode remonte à l’article écrit par Lewis et Shelder en

3.1. PROPAGATION DE L’ONDE DANS DEUX MICROCAVITÉS

1979 [34] où ils proposaient une nouvelle méthode de simulation utilisant un processus de Poisson inhomogène. Cette méthode a été généralisée par Ogata en 1981 [40]. Le troisième et dernier exemple est le processus de Naissance, une généralisation naturelle du processus de Poisson. Il consiste a considérer que la probabilité d’occurrence d’un évènement à une date donnée dépend du nombre d’événement déjà passé. Ce processus est très utilisé en biologie notamment dans l’étude de la reproduction [46, 25]. Il est possible de l’employer aussi pour des applications industrielles, en particulier pour l’étude des phénomènes de queue : c’est le comportement d’une loi probabilité loin de sa valeur centrale.

Notons P la probabilité qu’une bulle se forme sachant que, dans la micro-cavité voisine, une bulle est déjà apparue. Nous noterons Π la probabilité de l’évènement inverse, c’est-à-dire qu’aucune bulle n’apparaisse :

P(t) = 1 − Π(t) (3.47)

Nous rappelons que la Théorie classique de la nucléation homogène définit le nombre de bulles créées par unité de temps et de volume J comme suit

J = J0e−Gb

avec J0 un facteur de proportionnalité et Gb =

16γ3_π

3kBT ∆P2

le nombre de Gibbs où T est la température, kB est la constante de Boltzman, ∆P = Pv − Pl(t) la différence de pression

entre l’intérieur et l’extérieur de la bulle, V est le volume de la micro-cavité et enfin Pl est la

pression du liquide. Notons λ est la probabilité qu’une bulle apparaisse par unité de temps,

λ(t) = λ0e−(Gb−Gbi), (3.48)

avec Gbi=

16γ3π 3kBT (Pv − Pi)2

λ0 = J0V e−Gbi.

Nous déduisons la probabilité qu’aucune bulle n’apparaisse à un temps t + dt est égale à la probabilité de l’événement comme égale à :

Π (t + dt) = Π(t) (1 − λdt) ⇒ ∂tΠ = −Πλ ⇒ Π(t) = Π(0) exp  − Z t 0 λ(s)ds  (3.49) avec Π(0) = 1 puisque à t → ∞ P (t) → 0 et à t → 0 P → 1.

D’où la probabilité P : P(t) = 1 − e−Λ(t), (3.50) où Λ(t) = Z t 0 λds. (3.51)

Evolution temporelle de la probabilité induite par la vibration de la bulle

Pour prédire la probabilité P définie par l’Eq(3.50), il faut calculer l’intégrale (3.51). Or l’intégrant passe de valeurs très grandes à très petites, pendant un temps très court e−(Gb−Gbi) ≈ 0. Soit λ

maxl’argument maximal à partir duquel l’exponentielle de cet argument

vaudra numériquement 0. Il vient donc 16πγ3 3kBT 1 (Pv− Pv,N)2 − 1 (Pv− Pi)2 ! = λmax, (3.52) ⇒ Pv,N = Pv− s 16πγ3 3kBT (λmax+ Gbi) . (3.53)

Une application numérique donne Pv,N ≈ −17.8 MPa, avec λmax = 1000 et Pi = −20MPa.

La théorie de la nucléation homogène prédit que pour toute pression supérieure à la pression de vapeur saturante, λ vaut zéro. Pour des pressions P2 > Pv,N, toutes les valeurs

de λ sont donc choisies comme nulles. Par ailleurs, nous remarquons que Pv,N << Pv. Le

calcul numérique est simplifié puisque toutes les valeurs entre Pv,N et Pv ne sont pas prise en

compte. De la même façon que pour Pv,N, nous définissons une valeur minimum à partir de

laquelle la nucléation est certaine. Notons cette nouvelle pression Ps,N, la pression spinodale

numérique. Cette valeur est atteinte lorsque

e−(Gb−Gbi) _{→ ∞}

Soit −λmin la valeur dont l’exponentielle est considérée comme infinie :

3.1. PROPAGATION DE L’ONDE DANS DEUX MICROCAVITÉS d’où ⇒ Ps,N = Pv− s 16πγ3 3kBT (Gbi− λmin) (3.55)

Pour λmin = 1000 et Pi = −20MPa, Ps,N vaut approximativement −23.3 MPa. Il est inté-

ressant de remarquer que Ps,N devient complexe lorsque Gb,i < λmin donc pour une pression

initiale vérifiant l’inégalité suivante :

Pi > Pv−

s

16πγ3

3kBT λmin

.

Si nous fixons λmin = 1000 alors cette valeur vaudra à peu près Pi,lim ∼ −38 × 106 Pa . Pour

toute pression initiale supérieure à cette pression, limite le système sature et l’exposant de l’exponentielle n’atteint jamais −λmin.

Dans le but de simplifier les calculs numériques nous allons proposer une fonction par morceau de la pression du liquide dans la deuxième cavité. Soit g (P ) cette fonction re- présentant l’exposant de l’exponentielle à intégrer g(P (s)) = λ(s), nous définirons comme suit : g (P ) =    λmax, si P ≥ Pv,N Max {−λmin, Gb− Gbi} , si P < Pv,N. (3.56)

Nous soulignons que nous avons tenu compte de la pression limite de la Ps,N à partir de

laquelle le système sature : nous avons fait en sorte que l’exposant ne soit jamais inférieur à −λmin mais aussi nous n’imposons aucune discontinuité à cette fonction, dans le cas où la

pression initiale Pi > Pi,lim.

Sur la Fig. 3.4, nous avons tracé g (P ) en fonction de la pression P pour P ∈ [1.1Ps,N, 0.9Pv,N],

avec une pression initiale Pi < Pi,lim. Pour des pressions inférieures à Ps,N, g (P ) est fixé à

−1000, des que P > Pv,N, g(P ) reste égale à 1000. Si la pression prend des valeurs intermé-

diaires, alors g(P ) vaut exactement Gb− Gb,i.

Si nous souhaitons connaitre la dynamique de nucléation il faut le relier le rayon de la bulle et la déformation de la paroi à la probabilité de nucléation dans une microcavité

Fig. 3.4 – Graphique de g (P ) avec P ∈ [1.1Ps,N , 0.9Pv,N] avec λmax = λmin = 1000.

sachant qu’il y a une bulle déjà nucléée dans la microcavité voisine, nous ajoutons la forme différentielle de (3.51). En définitive, il vient une troisième équation, défini comme suit :

∂sΛ(s) =

λ0

ωs

e−g(P (s)). (3.57)

où ωs est la fréquence définie dans le Chap 2. En définitive le système à résoudre est donc :

             r¨r (1 − βLr) + 3 2˙r 2  1 − 4 3βLr  +  αRr3− αRbz + 1 W e 1 r − ra  H = 0, ¨ z + δ2z − BαR(r3− 2bz) = 0, ˙ Λ − λ0 ωs e−g(P (s))= 0. (3.58) où H =  1 − α (r − 1) − β π 2 4 L ζeq z − 1  .

Dans le chapitre suivant nous discutons l’influence des conditions initiales sur l’évolution de la probabilité.

3.1. PROPAGATION DE L’ONDE DANS DEUX MICROCAVITÉS

3.1.4

Influence des conditions initiales sur l’évolution de la proba-