Distribution statistique

Dans cette partie, nous étudierons la distribution des tailles de clusters. Pour ce faire, nous avons généré sur plusieurs simulations avec le même nombre de micro-cavités, le même τ , le même βs et enfin le même nombre de micro-cavités avec une bulle à l’intérieur. Puis

dans un fichier, nous reproduisons la disposition spatiale des bulles dans le maillage. Les fichiers générés sont des fichiers "ppm" (Portable pixmap).

Une fois les fichiers générés, à l’aide du logiciel ImageJ, une plateforme pour l’analyse d’imagerie biologique [47], nous comptons le nombre de cluster (les tâches noires) et son nombre de pixel. La fonction de ImageJ que nous avons utilisé est "Analyse-Particles". Grâce à l’aire en pixel de chaque tache, nous connaissons la taille de chaque clusters. En répétant le processus sur les 10 images que nous avons généré, nous construisons un histogramme avec en abscisse les différentes tailles de clusters et en ordonnée le nombre d’occurrence dans les systèmes de chaque simulation. Sur les Fig. 4.18(a), Fig. 4.18(b) et Fig. 4.18(c) nous avons tracé les histogrammes pour βs = 3000, pour différentes valeurs de

τ .

Pour τ = 0.01, l’histogramme semble être en adéquation avec une loi de Poisson (voir les Fig. 4.18(a). En revanche lorsque τ est suffisamment grand, une taille caractéristique apparait (voir la Fig. 4.18(c) pour τ = 5). Enfin pour des valeurs de τ intermédiaires, la courbe de l’histogramme décroit lentement ce qui montre que toutes les tailles de cluster sont possibles (voir la Fig. 4.18(b)).

4.2. MODÈLE DE PROPAGATION EN CHAMP MOYEN

(a) (b)

(c)

Fig. 4.18 – Histogrammes représentant la taille de clusters et le nombre de fois qu’une certaine taille est présente dans le système. La courbe (a) a été tracé pour τ = 0.01 et la courbe (b) pour τ = 1.5 et τ = 5 pour la courbe (c). Les trois histogrammes ont été tracé avec le même βs valant 3000.

Que se passe-t-il si nous augmentons la valeur de βs?

Pour y répondre nous avons fait la même manipulation que pour les premiers histo- grammes mais pour un βs = 5 × 105 pour nous placer sur la partie où le t5% atteint sa limite

(voir Fig. 4.15). Sur la Fig. 4.19, sont représentés les histogrammes pour βs= 5 × 105.

Ces histogrammes sont bien différents de ceux tracés pour βs = 3000, puisque dans

les trois cas, il y a très peu de pics et ce sont les clusters d’environ 500 bulles, qui sont sélectionnés. L’influence de τ pour de grand βsest très faible. Cette observation est corroborée

par la Fig. 4.20 où nous avons tracé le temps t5% en fonction de τ pour βs fixé.

Cette courbe est différente de celle de la Fig. 4.16 parce que la partie où le système passe du régime homogène et au régime infini se fait à des valeurs de τ plus petites, typiquement de l’ordre du pas de temps dont nous nous sommes servis pour la discrétisation. Quelque soit la durée pendant laquelle nous permettons d’augmenter l’intensité, le facteur multiplicatif est tellement grand que la propagation se fait rapidement.

(a) (b)

(c)

Fig. 4.19 – Histogrammes représentant la taille de clusters : pour βs = 5 × 105. La courbe

(a) a été obtenue pour τ = 0.01 et la courbe (b) pour τ = 1.5 et τ = 5 pour la courbe (c).

A partir de ces histogrammes nous avons pu déterminer la taille moyenne des clusters donnée par : N5% X i=1 i × Nrep,i N5% X i=1 Nrep,i ; (4.54)

avec i la taille des clusters, Nrep,ila fréquence de la taille de cluster et N5% est 5% du nombre

des micro-cavités remplies.

Sur la Fig. 4.21 nous avons tracé la taille moyenne de cluster en fonction de τ pour deux valeurs de βs. Lorsque βs = 3000, la taille moyenne augmentent au fur et à mesure que τ

augmentent mais tend vers une valeur limite. Nous observons le même comportement que sur la Fig. 4.16 où le temps passe du régime homogène au régime infini. De la même façon,

4.2. MODÈLE DE PROPAGATION EN CHAMP MOYEN

Fig. 4.20 – Courbe du temps t5%en fonction de τ et avec βs= 5×105en unité sans dimension.

Fig. 4.21 – Nous avons tracé la taille moyenne des clusters en fonction de τ pour deux valeurs de βs, 3000 (en bleu) et 5 × 105 (en jaune).

si βs = 5 × 105, la taille moyenne de cluster est beaucoup plus grande que pour βs = 3000,

elle tend vers le nombre total de bulle dans le système. La présence des autres valeurs s’ex- pliquent par le fait que nous avons imposé des conditions aux bords périodiques, et ImageJ n’en tient pas compte, et ne considère pas que les différentes tâches ne forment qu’un seul cluster.

Dans toutes ces simulations nous avons augmenté les intensités de manière isotrope. Néan- moins, pour reproduire l’effet de la paroi sur la propagation de l’onde de cavitation nous pouvons imposer que l’intensité augmente plus dans une direction moins que dans l’autre. Sur la Fig. 4.22, nous voyons la dernière image de trois simulations au cours desquelles nous avons imposé que la contribution des voisins d’une direction est plus grande que celle des voisins présents dans l’autre direction. Ce que nous observons avec ce résultat est bien en

(a) (b) (c)

Fig. 4.22 – Dernière image de la fin de trois simulations avec βs = 3000. L’image (a) τ = 0.01

et l’image (b) τ = 1.5 et τ = 5 pour l’image (c). Les trois images ont été fait en imposant que la propagation se fait plus dans une direction que dans l’autre.

Conclusion générale

Dans ce manuscrit, nous avons étudié le phénomène de cavitation et de sa propagation dans un liquide sous tension, à l’aide d’un modèle numérique et analytique. La nucléation de bulle est un phénomène observé principalement chez les végétaux (fougère, arbre, etc..) et plusieurs expérience ont été mises en place avant le début de cette thèse et elles en ont inspiré le sujet [35, 42, 53, 52]. Le but de cette thèse a été de donner des pistes pour ex- pliquer comment une bulle permet l’apparition d’une autre. Intuitivement, lorsqu’une bulle apparait, la pression du liquide tout autour augmente, rendant peu probable l’apparition d’une seconde bulle. Pourtant, les expériences montre le contraire. Tout l’intérêt de cette thèse réside dans ce comportement contre-intuitif.

Pour comprendre comment ce phénomène peut être observable dans une première partie, nous avons modélisé analytiquement l’évolution du rayon d’une bulle contenue dans une micro-cavité isolée de toutes les autres afin d’en tirer le plus d’information possible :la pé- riode, une expression approchée du rayon de la bulle.

Ensuite nous avons rajouté une autre micro-cavité sans bulle avec de l’eau à l’intérieur et nous avons couplé la vibration de la bulle avec celle de la paroi séparant les deux micro- cavités, pour nous rapprocher le plus possible des expériences. Le modèle dont nous sommes servis est le premier mode de déformation d’une plaque fine. L’épaisseur de cette paroi est négligeable devant les autres longueur. Nous avons modélisé ce système par deux équations, une pour la bulle et l’autre pour la paroi afin de comprendre comment la première bulle influence l’apparition de la deuxième. Nous avons conclu qu’une vitesse initiale de la bulle permet de créer une dépression dans la seconde micro-cavité augmentant ainsi la probabilité de nucléation à des moments précis.

modèles numériques écrits dans deux langages différents de programmation. A l’aide de ces deux modèles nous avons reproduit la formation de cluster en nous basant sur un algorithme basé sur un processus de Poissons non-homogène. Nous avons vu que grâce à deux para- mètres, un spatial et l’autre temporel, nous pouvons jouer sur la taille des clusters que nous formions.

L’une des perspectives de notre travail serait d’améliorer le modèle pour la membrane sé- paratrice pour prendre en compte l’influence de l’épaisseur du mur de séparation sur la propagation de l’onde de cavitation. Le modèle de plaque fine dont nous nous servons est déjà dans la bonne gamme d’épaisseur pour lesquelles, dans les expériences, une propaga- tion d’onde de cavitation a été observée (typiquement entre 10 µm et 20 µm). Un modèle de plaque peu fine serait plus adapté pour capter l’influence de l’épaisseur. Pour la partie numérique, l’une des perspectives est de quantifier la vitesse de propagation de l’onde de cavitation pour faire un lien avec les valeurs déjà existant [42]. Dans l’hydrogel, il y a des imperfections autant sur les parois des micro-cavités que sur la taille des micro-cavités qui ne sont pas rigoureusement les mêmes : cela rajoute une anisotropie au milieu. Cette ani- sotropie doit être pris en compte pour améliorer les modèles numériques dans lesquelles les bulles sont supposées apparaitre au centre de toutes micro-cavités (toutes rigoureusement identiques) alors que ce n’est pas le cas [42].

6.1. EQUILIBRE DE L’INTERFACE

6.1

Equilibre de l’interface

Nous considérons un système (M, M0, M00) composé des sous-systèmes M , M0 et M00. Les variations de ces sous-systèmes qui ne provoquent pas de mouvement des bords et qui ne changent pas l’entropie total du système nous intéressent. Par ailleurs ces variations doivent satisfaire la relation suivante :

δU + δU0+ δU00≥ 0, (6.1)

pour que le système soit à l’équilibre. De plus, il est soumis aux contraintes :

δS + δS0+ δS00 = 0, (6.2)

δNi+ δNi0+ δN 00

i = 0 avec i = 1, 2, · · · , n. (6.3)

où i indique les différents composants d’un mélange. La variation d’énergie interne, que ce soit pour M, M’ ou encore M”, est de la forme :

δUx = TxδSx− Px_δVx₊X

i

Dans ce calcul, il n’y a pas de variation de volume. D’où (T − T00) δS + (T0− T00) δS0 +X i (µi− µ00i) δNi+ X i (µ0_i− µ00_i)δN_i0 > 0 (6.4) A l’équilibre T = T0 = T ” µi = µ0i = µ 00 i, avec i = 1, 2, · · · , n.

A l’équilibre, la température est uniforme, avec le potentiel chimique de chaque composant présent dans chaque phases homogènes est constant partout le système. Supposons, main- tenant qu’il y a Miii _{et M}iv _{deux portions de M tels qu’ils soient respectivement proche de}

M’ et M”. Imaginons alors que Miii et Miv soient en train de se remplir de matière ayant les mêmes propriétés intensives que M0 et M ” respectivement. En d’autres termes, ces deux portions, dont les propriétés intensives sont uniformes et égales à ceux des phases respec- tives du volumes, représentent un cas idéal. Donc les variations d’énergie interne à volume constant pour Miii et Miv s’écrivent comme suit :

δUiii = T0δSiii+X

j

µ0_jδN_jiii, (6.5)

δUiv = T00δSiv+X

j

µ00_jδN_jiv (6.6)

Dans le cas reversible, nous obtenons la forme suivante :

δUiii = T δSiii+X

j µjδNjiii (6.7) δUiv = T δSiv+X j µjδNjiv (6.8) δU = T δS +X i µiδNi (6.9)

En soustrayant à l’Eq(6.9) les équations Eq(6.7) et Eq(6.8) et en utilisant la réécriture

δXσ = δ(X − Xiii− Xiv_),