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Propagation d’une onde de cavitation en milieux confinés

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Academic year: 2021

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Propagation d’une onde de cavitation en milieux confinés

Ali El Amri

To cite this version:

Ali El Amri. Propagation d’une onde de cavitation en milieux confinés. Autre [cond-mat.other]. Université Côte d’Azur, 2017. Français. �NNT : 2017AZUR4084�. �tel-01721325�

(2)

Thèse de doctorat

Présentée en vue de l’obtention du grade de docteur en Sciences

dans la spécialité : Physique

de

L’Université Côte d’Azur

par

Ali EL AMRI

   

PROPAGATION D’UNE ONDE DE CAVITATION EN

MILIEUX CONFINES

Dirigée par Médéric Argentina et Yann Bouret Soutenue le 17 Octobre 2017

Devant le jury composé de :

Nicolas Vandenberghe Professeur, AMU Rapporteur

François Gallaire Professeur, EPFL Rapporteur

Philippe Marmottant DR CNRS, LIP Grenoble Examinateur

Médéric Argentina PR, Université Cote d’Azur Directeur

Yann Bouret CR, Université Cote d’Azur Co-Directeur

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Je tiens tout d’abord à remercier tous les membres de mon jury de thèse. Merci à Nicolas Vandenberghe et François Gallaire d’être rapporteur de ce manuscrit, malgré son envoie tardif et d’avoir pris le temps de rédiger des rapports positifs et constructifs.

Merci au président du jury, Philippe Marmottant, d’avoir accepté de faire partie de mon jury de thèse.

Merci à Yann Bouret et Médéric Argentina de m’avoir accepté pour cette étude, après m’avoir encadré déjà deux fois en stage de licence et de Master. Merci pour tout ce que vous m’avez appris pendant ces quatre années, que ce soit autant sur la physique que sur tout le reste et pour votre soutien dans les moments de doute. Encore merci Médéric de m’avoir fait confiance, j’ai appris énormément auprès de vous.

Merci à Xavier Noblin d’avoir été disponible tout au long de ma thèse à chaque fois que j’avais une question autant sur la physique que sur d’autres domaines. Merci aussi pour le dynamisme approté à toute l’équipe MIMIC, qui nous permet de travailler dans une ambiance très conviviale.

En parlant de l’équipe, je tiens aussi à remercier Céline Cohen, Agnese Seminara pour les nombreuses discussions m’ayant permis de prendre du recul sur mon travail.

Merci aussi a Christophe Raufaste aussi de m’avoir beaucoup aidé en me donnant des conseils très avisé et aussi en me donnant plein de conseils sur tous les domaines. Merci aussi pour votre bonne humeur et votre générosité.

Merci à Fabrice Mortessagne, ancien directeur du laboratoire, qui m’a permis de passer plus de temps au LPMC qu’à l’INLN et aussi de pouvoir travailler dans une ambiance et des conditions de travail très agréable.

Merci au directeur du laboratoire Guillaume Huyet qui m’a permis de rester au labo dans de très bonnes conditions mais aussi après la fin de mon contrat et après ma soutenance.

Merci à Valérie Doya pour tout le temps que vous m’avez consacré pendant ma thèse et aussi à tous vos conseils qui m’ont permis de tenir le coup à la fin. Merci de votre gentillesse

(5)

et surtout accepter d’être mon parrain de thèse.

Merci à Bernard Gay-Para et Jérôme Mauro, pour tout le coté informatique et d’avoir pris toujours le temps de m’aider à chacun problème que j’ai eu.

Merci à toute l’équipe administrative pour leur gentillesse et leur travail remarquable, et en particulier Christine de répondre toujours à mes questions et aussi Magali pour m’avoir donné les clefs du portail tous les week-end jusqu’au jour de ma soutenance.

Merci à Frédéric Hébert, directeur du département Physique de l’université, pour les différents enseignements de mon année ATER mais aussi ceux de mes trois années en tant que DCCE.

Parmi les doctorants je voulais remercier particulièrement Mathieu, Manu, Panos, Sihem, Guido et Chiara d’avoir été toujours soucieux de mon bien-être et aussi pour leur précieux conseils. Merci à Panos, Djeylan et Bruno de m’avoir supporté dans le bureau malgré ma manie de toujours vouloir éteindre la lumière.

Merci à Mélisande Albert pour tous ces moments passer à boire des cafés et aussi merci de m’avoir aidé après mon accident. Merci aussi à Julien pour toutes les discussions intéressantes que j’ai eu avec toi.

Merci à ma deuxième famille, la famille Cassoré, Fabien, Cédric, Double Lo, Catherine et Dominique, pour tout ce que vous m’avez apporté pendant les neufs dernières années.

Merci à ma famille, ma mère, mon père et ma grande soeur. Merci de m’avoir supporté toutes ces années pendant lesquelles je n’ai parlé de rien d’autre que de physique mais merci surtout de votre soutien, de vos conseils. Un grand merci à vous.

(6)

1 Introduction 7

1.1 État de l’art . . . 7

1.2 Thermodynamique . . . 10

1.2.1 Transitions de phase . . . 10

1.3 La cavitation : exemples . . . 13

1.3.1 Les hélices de bateaux . . . 13

1.3.2 La cavitation dans les arbres . . . 14

1.3.3 Crevettes . . . 15

1.4 Naissance d’une bulle de cavitation . . . 16

1.4.1 Théorie classique de la nucléation homogène . . . 16

1.4.2 Théorie de la nucléation hétérogène . . . 22

1.5 Problématique et contribution . . . 26

2 Bulle de vapeur dans une micro-cavité 27 2.1 Évolution de la bulle, dans un liquide compressible . . . 27

2.1.1 Équation de Rayleigh-Plesset compressible . . . 28

2.2 La cavitation : évolution temporelle du rayon. . . 34

2.2.1 Définition des pressions . . . 34

2.2.2 Calcul du rayon de la bulle à l’équilibre . . . 36

2.2.3 Adimensionnement de l’équation de Rayleigh-Plesset compressible . . 39

2.3 Calcul de la période . . . 41

2.3.1 Cas du pendule simple . . . 41

2.3.2 Calcul de l’énergie du système . . . 43

2.3.3 Déduction de la période d’oscillation de la bulle . . . 45

2.4 Choix des conditions initiales rayon et vitesse . . . 51

(7)

2.6 Résolution analytique de Rayleigh-Plesset . . . 54

2.6.1 Principe . . . 54

2.6.2 Résolution analytique . . . 56

3 Propagation de cavitation dans deux micro-cavités voisines 59 3.1 Propagation de l’onde dans deux microcavités . . . 60

3.1.1 Dérivation des équations . . . 60

3.1.2 Résolution analytique du système d’équation . . . 66

3.1.3 Calcul de la probabilité de cavitation . . . 72

3.1.4 Influence des conditions initiales sur l’évolution de la probabilité . . . 78

3.2 Influence de la viscosité sur la propagation de l’onde de cavitation . . . 82

3.3 Conclusion sur le couplage de deux cavités . . . 84

4 Un modèle stochastique 85 4.1 Modèle numérique et théorique . . . 87

4.1.1 Un modèle de pression : une onde oscillante . . . 87

4.1.2 Modèle théorique . . . 94

4.2 Modèle de propagation en champ moyen . . . 102

4.2.1 Explication de l’algorithme . . . 102

4.2.2 Distribution statistique . . . 109

5 Conclusion générale 115 6 Annexes 117 6.1 Equilibre de l’interface . . . 118

(8)

Introduction

1.1

État de l’art

A l’institut de physique de Nice, l’équipe MIMIC, dirigée par X. Noblin, a voulu repro-duire les comportements observés dans les sporanges de fougères.

(a) (b) (c)

Fig. 1.1 – (a)Photographie d’une fougère, de la variété cystopteris fragilis (Pologne). (b) Photographie d’une fronde de fougère, prise de dessous. En jaune, ce sont les amas de spo-ranges. (c) Photographie montrant le détail des sores : amas de spospo-ranges. Leur couleur est foncée parce qu’ils ont séché.

La fougère est une plante (voir Fig. 1.1(a)) dont les spores, contenues dans les sporanges, se situent en-dessous des feuilles (voir Fig. 1.1(b) et Fig. 1.1(c)). L’éjection des spores se fait au niveau des sporanges. Sur la Fig. 1.2, nous représentons le schéma d’un sporange : les spores sont en violet et se trouvent à l’intérieur du sporange, le sporange est orné d’un anneau assimilable à une poutre élastique. Cette poutre est composée de plusieurs cellules remplies de liquide. La matière dont est composée la poutre élastique permet à l’eau de s’évaporer vers l’extérieur. En s’évaporant le volume des micro-cavités diminue.

(9)

1.1. ÉTAT DE L’ART

Fig. 1.2 – Schéma d’un sporange contenant les spores de fougère. Les graines sont en violet. La tige au-dessus du sporange est assimilable à une poutre élastique, composée de micro-cavités pleines d’eau [42, 35].

la poutre fléchit. Au bout d’un certain temps, une première bulle apparait et comme dans une réaction en chaine, d’autres bulles apparaissent pendant un laps de temps très court par rapport à celui qu’il a fallu attendre pour que la première bulle n’apparaisse. A cause de cette apparition rapide, le sporange se referme et les spores sont éjectées dans un mouvement de catapulte.

Fig. 1.3 – Schéma illustrant le mécanisme d’éjection de spore de fougère [42, 35]. Afin de comprendre ce phénomène, une expérience biomimétique a été développée avec une structure formée d’hydrogel. Le choix de ce matériau a été guidé par sa ressemblance avec la matière qui compose le sporange. Nous avons schématisé le dispositif expérimentale sur la Fig. 1.4. Les cubes à l’intérieur de l’hydrogel sont les micro-cavités dans lesquelles les bulles apparaitront. Chaque cube contient de l’eau et de la même façon que dans le cas naturel (la fougère), l’eau s’évapore vers l’extérieur. Comme résultat de cette évaporation, des bulles apparaissent. De plus, l’intérêt d’un tel dispositif est de pouvoir choisir la taille de chacune des micro-cavités ainsi que l’épaisseur du mur les séparant. Par ailleurs, dans la fougère, la propagation se fait le long de la poutre élastique : nous parlerons donc de

(10)

Fig. 1.4 – Schéma d’un dispositif en hydrogel. Les cubes de coté 70 µm, à l’intérieur de l’hydrogel, contiennent de l’eau. L’épaisseur du dispositif est de 400 µm [42, 35, 36, 37].

propagation 1D. Par contre dans l’expérience biomimétique, l’onde de cavitation peut se propager dans deux directions, c’est de la propagation 2D.

En changeant l’épaisseur des murs, trois comportements pour la propagation ont été mis en

Fig. 1.5 – Photographie après qu’une bulle soit apparue dans toutes les micro-cavités. En partant de la gauche vers la droite, les trois images correspondent, respectivement, à un mur trop épais selon dx et dy, puis à un mur très épais que dans une seule des deux directions et enfin un mur suffisamment fin dans les deux directions. Les couleurs représentent les clusters de bulles apparus après 200 ms [42].

évidence :

1. si l’épaisseur de la membrane séparatrice est trop grande dans les deux directions, alors il y a peu de propagation,

2. si le mur de séparation est suffisamment fin dans une seule direction, dans ce cas, la propagation est 1D. Comme dans la fougère, les bulles se disposent dans un cluster en forme de ligne,

3. nous aurons de la propagation 2D, si la membrane est suffisamment fine dans les deux directions et des clusters de bulles bidimensionnels apparaissent. Nous définissons

(11)

1.2. THERMODYNAMIQUE

comme cluster un amas de bulles qui sont apparues après 200 µs : c’est le temps qui s’écoule entre deux images prises par la caméra pendant l’expérience [42].

Ces deux expériences nous permettent de comprendre, à la fois, que l’apparition rapide de bulles provoque l’éjection des bulles mais aussi que la géométrie contrôle le sens de l’appa-rition des bulles. De plus elle met en évidence que les bulles apparaissent avec un intervalle de temps constant [42] et aussi que la bulle est à l’origine de l’apparition rapide de toutes les autres. Cependant, nous ne savons pas si les bulles sont dûs à une ébullition ou à une cavitation. Dans la suite de ce chapitre nous nous intéresserons à la thermodynamique pour définir la cavitation et l’ébullition.

1.2

Thermodynamique

1.2.1

Transitions de phase

Les trois états de la matière sont les états solide, gazeux et liquide. Sur la Fig. 1.6, nous avons schématisé les six différentes transitions de phase existantes : la fusion et la solidification sont respectivement le passage d’un solide à un liquide et d’un liquide à un solide, la vaporisation et la liquéfaction sont respectivement la transition de phase d’un liquide à un gaz et d’un gaz à un liquide et enfin la condensation et la sublimation qui concernent respectivement les passages d’un état gazeux vers un état solide et celui d’un état solide vers un état gazeux.

Fig. 1.6 – Schéma représentatif des différentes transitions de phase.

Le diagramme de phase de l’eau est représenté sur la Fig. 1.7. Sur cette même figure, la courbe BC sépare la phase liquide et la phase vapeur. Le passage d’une région à l’autre peut se réaliser de multiple façon. Deux mécanismes sont indiqués par deux flèches rouges sur la Fig. 1.7. Les flèches (1) et (2) schématisent respectivement une augmentation de température à pression constante et une diminution de la pression à température constante : c’est l’ébullition et la cavitation respectivement.

(12)

Fig. 1.7 – Diagramme de phase de l’eau. Pour de basses températures, la matière est solide, pour de hautes températures, la matière est vaporisée, et enfin entre ces deux limites se trouve l’état liquide. Les lignes AB, BC et BD, sont les lignes de coexistence entre deux états différents de la matière. Le point B représente le point triple. et le point C le point critique.

Dans les expériences décrites dans la sous-section 1.1, l’évaporation de l’eau dans les cellules (dans la fougère) comme dans les micro-cavités (dans l’expérience biomimétique) est la cause de l’apparition de l’eau. En effet lorsque l’eau s’évapore, sa pression diminue. Par conséquent, les bulles qui apparaissent sont des bulles de cavitation.

Nous allons rappeler ce qu’est la cavitation et pour ce faire nous avons besoin de l’équation d’état de l’eau.

J.D. Van der Waals introduit en 1873 [55] une équation d’état corrigeant l’équation des gaz parfaits. Il prit en compte le fait que les molécules s’attirent entre elles, en rajoutant un terme à la pression et tout en retranchant au volume total le volume d’exclusion de toutes les molécules de gaz. Elle constitue une bonne approximation de l’équation de l’eau pour la transition liquide/vapeur. L’équation de Van der Waals prend la forme suivante :

 P − an 2 V2  (V − nb) = nRT, (1.1)

avec P la pression, T la température, V le volume, n le nombre de mole du gaz, a et b sont respectivement les termes de cohésions et de covolume molaire du gaz et R la constante des gaz parfaits [30]. Cette équation d’état fut la première à décrire le changement de phase liquide/vapeur, pour les gaz réels, à l’aide de la construction de Maxwell. L’étude de stabilité de l’équation de Van der Waals montre que le système est stable si la dérivée de la pression par rapport au volume est négative. La courbe de la pression, P (V ), admet un point d’inflexion,

(13)

1.2. THERMODYNAMIQUE

appelé point critique, dont les coordonnées sont le volume Vc, la pression Pcet la température

critique Tc. Ces grandeurs sont solutions du système d’équation :

           ∂VP |Tc = 0, ∂2 VP |Tc = 0, Pc= nRTc Vc− nb −an 2 V2 c . (1.2)

Ce point critique constitue une limite à partir de laquelle les transitions de phase deviennent impossibles. Nous avons tracé sur la Fig. 1.8, plusieurs courbes représentatives de la pression en fonction du volume, pour des températures sous-critique, critique et sur-critique. Sur l’iso-therme sous-critique, la courbe de la pression change de courbure et sa dérivée change de signe deux fois. Au point critique, la transition gaz/liquide est continue et pour des températures supérieures à celle du point critique, la phase liquide et gazeuse deviennent indifférenciables. Sur la Fig. 1.9, cette partie est comprise entre les points B et S. Les tangentes passant par les points présents entre B et S, ont tous une pente positive. Le point spinodal est la pression en-dessous de laquelle un liquide devient instable et se vaporise totalement. Dans cette zone, la pression augmente si le volume augmente aussi. Or ce comportement n’est pas observable dans la nature. Entre B et C (entre A et S aussi) le système est métastable c’est à dire que l’état pur (gazeux ou liquide) est stable comme l’est l’état mélangé. Un système métastable peut rester indéfiniment dans une phase mais finit par transiter sur une autre phase si une perturbation suffisante lui est imposée.

Fig. 1.8 – Courbes représentatives de la pression en fonction du volume, selon l’équation de Van der Waals réduite, pour des températures inférieurs (bleue), égales (orange) et supérieurs (vert) à la température critique.

La zone instable permet donc la coexistence des phases liquides et gazeuses, et pour cette raison, la transition de phase n’est possible que pour des isothermes sous-critiques. Dans le cas de Van der Waals, la pression de coexistence se prédit à l’aide de la construction de

(14)

Maxwell. Cette pression est appelée la pression de vapeur saturante.

La cavitation est la formation d’une bulle de vapeur par diminution de la pression en deçà de la pression critique, à température constante. En diminuant la pression, le système atteint des zones où les pentes de P (V ) deviennent négatives, et le système se retrouve dans un état métastable. Au fur et à mesure que la pression diminue, le système sous tension (pression atteint des valeurs négatives) puis il devient possible de créer une bulle de vapeur. Étant donné que notre sujet de recherche porte sur la cavitation, qui est une transition de phase liquide/gaz, nous nous placerons sur une isotherme sous-critique dans tous nos calculs.

Fig. 1.9 – La pression est tracée en fonction du volume. Les points A et C correspondent aux volumes pour lesquelles la pression est égale à la pression de Maxwell (ou encore pression de vapeur saturante). Le point S, indique spinodal, représente le point à partir duquel le système devient instable.

Dans la section suivant nous donnons et explicitons quelques exemples où la cavitation joue un rôle.

1.3

La cavitation : exemples

1.3.1

Les hélices de bateaux

Le premier exemple que nous expliciterons, est le phénomène qui provoque le rongement des hélices de bateaux. Les hélices de bateaux tournent à très grande vitesse. D’après le théo-rême de Bernoulli, la pression est reliée à la vitesse de déplacement d’un fluide incompressible dont l’écoulement est irrotationnel. Dans le cas stationnaire il vient :

1 2ρv

(15)

1.3. LA CAVITATION : EXEMPLES

avec ρ la densité du liquide, v la vitesse d’écoulement du fluide, P la pression du liquide. L’équation s’interprète par un bilan d’énergie volumique où 1

2ρv

2 est le terme cinétique

et P le terme d’énergie potentielle, avec la contribution des forces de pression.

Pour conserver l’énergie totale, la pression décroît lorsque la vitesse augmente. Dans le voisinage des hélices, la pression diminue jusqu’à atteindre des valeurs inférieures ou égales à la pression de vapeur saturante permettant l’apparition de bulles. Dans cet exemple, la cavitation induit un effet néfaste puisque, après être apparues, les bulles de cavitation se dirigent vers des zones de plus hautes pressions, provoquant ainsi une deuxième transition de phase pendant un temps très court. Les bulles sont brusquement aplaties (elles implosent ce qui crée des jets de matières très énergétiques) laissant une trace gazeuse et arrachent un morceau de métal sur la surface des pales de l’hélice. En plus de la détérioration des pales de l’hélice, l’apparition de bulle diminue l’efficacité des hélices : l’apparition des bulles forme une couche de vapeur qui décolle le filet d’eau entourant l’hélice [22].

1.3.2

La cavitation dans les arbres

L’eau est essentielle à la survie de la faune et aussi de la flore. Pour la majorité des plantes l’eau est absorbée au niveau des racines puis remonte jusqu’aux feuilles où elle s’évapore. Nous pouvons nous interroger sur le mécanisme qui transporte l’eau sur une distance séparant les racines des feuilles dans des arbres mesurant jusqu’à plusieurs mètres de hauteur. L’explication vient de la composition des troncs d’arbres : comme le reste des plantes, ils se composent de cellulose avec des parois rigides et hygrophiles. Ces parois sont elles-mêmes formées de micro-fibres de cellulose et d’hémi-cellulose. La sève monte à travers de deux types de vaisseaux conducteurs appelés le xylème et le phloème (voir Fig. 1.10).

Le xylème transporte la sève dite brute, car elle est essentiellement constituée d’eau et de sels minéraux. Quant aux phloèmes, ils transportent de la sève élaborée essentiellement composés de produits issus de la photosynthèse. Les sèves brutes sont ascendantes, alors que les sèves élaborées sont descendantes. (voir Fig. 1.10). L’épaisseur des canaux est très faible, ce qui bloque le passage de l’air dans les tubes. Ainsi, l’eau, contenue dans la sève brute, monte par capillarité dans l’arbre. C’est la tension de surface qui est responsable du processus de "tirage" de l’eau des racines jusqu’au feuilles. Au fur et à mesure que l’eau monte dans l’arbre, sa pression diminue jusqu’à devenir inférieure à la pression de vapeur saturante et éventuellement un événement de nucléation peut avoir lieu avec une certaine probabilité. La probabilité que des bulles de vapeur apparaissent augmente selon si l’état

(16)

Fig. 1.10 – Schèma représentant le transport de la sève dans l’arbre. Deux capillaires sont représentés, l’un appelé xylème (il transporte l’eau vers les feuilles) et l’autre phloéme (il transporte la sève composée de produit de la photosynthèse) [2].

de santé de l’arbre est mauvais mais aussi en fonction de la saison. A l’instar des hélices de bateaux, la cavitation produit des dégâts dans les arbres, puisque l’apparition d’une bulle entraine une embolie, et bloque le transport de sève dans l’arbre [57].

Nous venons de donner deux exemples où la cavitation a des effets fâcheux sur l’environ-nement où elle se manifeste. Fort heureusement, la cavitation seconde certains organismes pour leur survie.

1.3.3

Crevettes

Une variété de crevettes issues des mers tropicales, appelés Alpheus heterochaelis, ont une physionomie permettant la nucléation de bulles de vapeur par cavitation (voir Fig. 1.11). Elles utilisent la cavitation pour attraper leur proie, communiquer et se défendre [51].

Fig. 1.11 – Photographie d’une crevette Alpheus heterochaelis (A), et (B) est le juste le zoom de la pince hypertrophiée de la crevette[51].

(17)

1.4. NAISSANCE D’UNE BULLE DE CAVITATION

Cette variété est dotée de deux pinces hypertrophiées (voir Fig. 1.11) dont la caracté-ristique essentielle est sa vitesse de fermeture, qui peuvent atteindre la vitesse colossale de 3500 rad · s−1 [51]. Pour donner un ordre de grandeur, la vitesse de rotation des roues d’une voiture se déplaçant à 100 km · h−1, peut atteindre 30 rad · s−1. Cette incroyable vitesse at-teinte par les pinces, induit, comme pour les hélices des bâteaux, une diminution si forte de la pression qu’une bulle de vapeur est créée. Puis, le champ de vitesse diminue, ce qui recrée une forte surpression et provoque l’implosion de la bulle, en émettant une onde sonore. Cette onde sonore étourdit les proies qui deviennent ainsi plus faciles à capturer.

1.4

Naissance d’une bulle de cavitation

La cavitation est la nucléation d’une bulle de vapeur dans un liquide. La théorie de la nucléation prédit la physique de la nucléation d’une bulle de vapeur. Elle prend deux formes : la théorie de la nucléation homogène traite l’apparition de bulles loin des parois, alors que la théorie de nucléation inhomogène considére les effets des substrats. Nous commencerons par le cas homogène puis dans une deuxième sous partie, nous traiterons le cas hétérogène.

1.4.1

Théorie classique de la nucléation homogène

La théorie classique de la nucléation a pour origine les travaux de Volmer and Weber (1926) [54]. Ils étaient les premiers à affirmer que le taux de nucléation, le nombre de bulles par unité de volume et de temps, aurait une dépendance exponentielle du travail nécessaire pour la formation d’un nucleus (germe initiale lors de la formation d’une bulle). La théorie classique de la nucléation a été traitée pédagogiquement au travers de plusieurs travaux de McDonald en 1962, 1963 [31], ou encore Springer en 1978 [48] et bien d’autres [16]. Initiale-ment, la théorie a été développée pour la condensation d’une goutte à partir d’une vapeur sursaturée.

Considérons un liquide dans lequel se formera la cavité de vapeur. Dans le cas homogène, cette théorie est simple à décrire, puisque le nucleus étudié est supposé parfaitement sphé-rique mais aussi parce que les caractéristiques de la nucléation ne dépendent que de l’eau dans l’état liquide. Les molécules d’eau interagissent entre elles via les liaisons hydrogènes. Cette proprièté microscopique explique, d’ailleurs, que les propriétés macroscopique de l’eau, qualifiées d’anormale [8]. Les liaisons hydrogènes sont très fortes mais il est possible de "cas-ser" ces liaisons. La nucléation correspond à cette rupture.

(18)

Nous explicitons maintenant le calcul de la théorie générale de la nucléation homogène.

Fig. 1.12 – Schéma représentant un volume d’eau, l’état α en bleu, et un nucleus β formé entiérement en α. L’interface entre les deux états est σ. τ et π sont les réservoir de travail et thermique. Ils permettent de maintenir constantes la pression et la température dans le système.

Nous considérons un fluide homogène dans une phase α en contact avec un réservoir thermique τ et un réservoir de travail π, qui impose sur le fluide une température T et une pression P . Nous supposons qu’un noyau d’une seconde phase β est formée entièrement dans α. L’entropie, le volume et la masse du système (liquide plus réservoir) sont constants. De plus nous utiliserons les notations i et f afin d’indiquer les états initial et final de la transition de phase du liquide. Ecrivons la variation d’énergie interne créée par la formation de la phase β :

∆U = ∆Uτ + ∆Uπ+ Ufα− Uα i + U

β+ Uσ, (1.4)

avec ∆Uτ la variation d’énergie interne τ à cause du thermostat, ∆Uπ la variation d’énergie interne π à cause du réservoir de travail, Uα

f − Uiα la variation d’énergie interne de la phase

α avant et après l’apparition de la phase β, Uβ l’énergie interne de la phase β et Uσ l’énergie interne de l’interface σ. Voici les expressions de ces variations d’énergie interne

∆Uτ = T ∆Sτ = −T Sβ+ Sσ+ Sfα− Sα i  , (1.5) ∆Uπ = −P ∆Vπ = P Vβ + Vfα− Vα i  , (1.6) Ufα = T Sfα− P Vα f + µ αNα f, (1.7) Uiα = T Siα− P Vα i + µ αNα i , (1.8) Uβ = T Sβ − P Vβ+ µβNβ, (1.9) Uσ = T Sσ + γF + µσNσ, (1.10)

(19)

1.4. NAISSANCE D’UNE BULLE DE CAVITATION

avec T la température, P la pression présente dans tout le système, Viα, Vfα, Siα, Sfα, Niα, Nα

f, µα les volumes, entropies, nombres de moles et potentiels chimiques de la phase α avant

et après l’apparition de la phase β respectivement, Vβ, Sβ, Nβ ceux de la phase β et enfin Sσ, µσ et Nσ l’entropie, le potentiel chimique et le nombre de moles de l’interface σ, F est

la surface occupée par l’interface (le volume de l’interface est supposé infiniment fin) et γ la tension superficielle. Remarquons que le potentiel chimique du liquide µα reste constant,

puisque c’est une fonction de la température et de la pression, qui sont fixées pendant la transformation.

La conservation de la masse impose la contrainte :

Niα = Nfα+ Nσ+ Nβ. (1.11)

En remplaçant chaque terme par son expression dans ∆U , la variation d’énergie interne devient alors :

∆U = P − Pβ Vβ + σF +µβ Pβ − µα(P ) Nβ+ [µσ − µα(P )] Nσ. (1.12)

Quand la phase vapeur apparait, elle peut encore être assimilée à un liquide parce qu’une simple variation de la densité du gaz peut la ramener à l’état liquide. Pour cela, le potentiel chimique de la partie gazeuse est égal à :

µβ Pβ = µβ(P ) + ¯vβ Pβ− P

(1.13)

où ¯vβ est le volume molaire partiel du liquide. L’Eq (1.12) devient :

∆U = σF + µβ(P ) − µα(P ) Nβ + (µσ(P ) − µα(P )) Nσ (1.14)

A l’équilibre, la composition du noyau suit les conditions suivantes :

Nβ∆U = 0, (1.15)

(20)

Soit ∂∆U ∂Nβ = σ ∂F ∂Nβ + ∆µ + F ∂σ ∂Nβ + N σ ∂µσ ∂Nβ + N β ∂µβ ∂Nβ, (1.17) ∂∆U ∂Nσ = σ ∂F ∂Nσ + ∆˜µ + F ∂σ ∂Nσ + N σ ∂µσ ∂Nσ + N β ∂µβ ∂Nσ (1.18) où ∆µ = µβ(P ) − µα(P ) et ∆˜µ = µσ − µα(P ).

La somme des troisième et quatrième termes des deux équations Eq(1.17) et Eq(1.18), s’an-nulent à cause de

SσdT + F dσ + Nσdµσ = 0, (1.19)

dont la démonstration se trouve en annexe. Le cinquième terme de chaque équation disparait à cause de la relation de Gibbs-Duhem. Finalement en supposant que la bulle est parfaitement sphérique, la surface de l’interface dépend de Nβ comme suit F = 4π 3

4πv¯

βNβ

2/3 . Nous déduisons les deux équations suivantes

∂F ∂Nβ = 2¯vβ r , (1.20) ∂F ∂Nσ = 0. (1.21)

Ces équations nous mènent vers les conditions à l’équilibre :

Pβ − P

= 2σ

r , (1.22)

µβ(Pβ) = µα(P ), (1.23)

µσ = µα(P ), (1.24)

où nous reconnaissons l’équation de Laplace dans l’Eq(1.22). Les Eq(1.23) et (1.24) montrent que les potentiels chimiques de la vapeur d’eau, de la phase liquide et de l’interface sont égaux à l’équilibre thermodynamique. Nous pouvons donc écrire le travail minimum pour avoir la formation d’une bulle :

Wmin = σF + Vβ P − Pβ . (1.25)

Il existe par ailleurs une écriture du travail minimum, basée sur les potentiels chimiques. Le passage entre l’une et l’autre écriture se fait grâce aux relations des Eq(1.13), (1.23)

(21)

1.4. NAISSANCE D’UNE BULLE DE CAVITATION et Vβ = 4π 3  3 4πv¯ βNβ 3

, puisque ∆U peut toujours se réécrire en fonction du potentiel chimique :

Wmin = σF + ∆µNβ, (1.26)

avec ∆µ = µβ(P ) − µα(P ).

En reliant la quantité de mole de la phase β, en fonction du rayon de la bulle, l’Eq(1.26) devient : Wmin = 4πσr2 + 4π 3 ∆µ ¯ vβ r 3 (1.27)

La forme de ce travail se retrouve avec l’Eq(1.25) :

Wmin = 4πσr2−

3 P

β − P r3. (1.28)

Nous pouvons calculer la hauteur de la barrière énergie Wmin? associée au rayon de la bulle critique r? : r? = 2σ Pβ− P (1.29) Wmin = 16πσ3 3 (Pβ − P )2 (1.30)

Pour qu’une bulle puisse apparaitre il faut donc que l’énergie thermique soit au moins du même ordre que la barrière d’énergie définie par l’Eq(1.30).

Dans les expériences décrites dans la section 1.1, l’eau est confinée dans des volumes de tailles micrométriques. Dans ce cas il faut prendre en compte la compressibilité de l’eau. En effet l’équipe de Philippe Marmottant ont proposé un modèle dans lequel la pression dépend à la fois de la taille de la cavité, du rayon de la bulle mais aussi de la compressibilité [53] [52]. Dans leur modèle, ils considèrent une bulle sphérique contenue dans une cavité sphérique fabriquée à base d’hydrogel (voir Fig. 1.13). La pression du liquide Pl(R) dans une telle

configuration est de la forme suivante :

Pl(R) = P0+ K  R Rcav 3 , (1.31)

(22)

Fig. 1.13 – Schéma du modèle d’une bulle (en blanc) et d’une cavité (ses parois sont en gris) toutes deux sphériques et concentriques. La bulle est de rayon R et la cavité de rayon Rcav.

En bleu est schématisée l’eau liquide qui entoure la bulle.

rayon de la cavité supposée sphérique et K la compressibilité de l’eau, qui est en réalité que la l’inverse de la somme des inverses de la compressibilité de l’hydrogel. La variation d’énergie libre associée à un tel système est de la forme suivante :

∆F = 4πR2σ −4πR 3 3 P0− K 2  R Rcav 3! . (1.32)

Les deux courbes de la Fig. 1.14 représentent l’évolution de la variation d’énergie libre en fonction du rayon de la bulle R dans le cas confiné comme dans le cas non-confiné (volume d’eau liquide considéré comme infini). Dans un cas comme dans l’autre, il existe un rayon critique et une barrière d’énergie que le système doit franchir pour qu’une bulle puisse apparaitre. Cependant, dans le cas confiné apparait un puit d’énergie et un deuxième rayon, un rayon d’équilibre autour duquel le rayon de la bulle oscillera. La bulle va donc vibrer et émettre une onde acoustique se propageant à une fréquence f dont l’expression est donnée par f ≈ 1 2πRcav  3K ρ 1/2 −P 0 K 1/6 ∼ 3MHz. (1.33)

Pour conclure, si la bulle apparait dans un volume infini d’eau, son rayon diverge et ne cesse de croitre, par contre si le volume d’eau est contenue dans un récipient de volume micrométrique, la bulle vibre en émettant une onde acoustique. L’apparition de bulles de cavitation sans apport d’énergie extérieur, c’est-à-dire juste grâce à de l’énergie thermique, est un phénomène aléatoire avec une probabilité de réalisation proportionnelle à un poids de

(23)

1.4. NAISSANCE D’UNE BULLE DE CAVITATION

Fig. 1.14 – Courbe représentative de la variation d’énergie libre ∆F dans le cas de l’eau liquide sous confinement (trait en pointillé) et dans le cas de l’eau liquide de volume infini (trait plein), en fonction du rayon de la bulle R.

Boltzmann. L’expression de cette probabilité P est

P ∝ exp  −Wmin kBT  , (1.34)

avec Wmin la barrière d’énergie, kB la constante de Boltzmann et T la température. Ce que

nous remarquons est que la probabilité est une fonction décroissante de la pression.

Pour l’eau, à cause des liaisons hydrogènes, la pression du liquide doit atteindre des valeurs fortement négative, tendant vers la limite spinodal. Cependant, une étude a montré que la pression à partir de laquelle, il était possible d’observer un phénomène de cavitation est beaucoup plus grande que la pression spinodale et vaut −20 MPa [57]. Cette différence de valeur peut s’expliquer de plusieurs façons ; l’une d’entre elles est que l’eau dans les expériences est confinée dans un volume avec des parois solides ce qui impose la prise en compte de la compressibilité. La deuxième explication se base sur l’existence potentielle de gaz dissous, ce qui changerait les propriétés de l’eau. Enfin, le récipient de l’eau, n’étant pas parfait, peut présenter des aspérités sur lesquelles la cavitation peut être favorisée. Ce phénomène est décrit à l’aide de la théorie de la nucléation hétérogène [7, 16, 42].

1.4.2

Théorie de la nucléation hétérogène

Dans la nucléation homogène, nous avons considéré un fluide supposé parfait occupant un volume infini, le confinement de l’eau comme par exemple dans les expériences menées par Wheeler [57] nous éloigne aussi du cas homogène. L’apparition de bulles sur une interface solide est décrite par la théorie de la nucléation hétérogène.

(24)

La forme d’une bulle, apparue à l’interface avec un solide prendra la forme d’une calotte sphérique, ce qui aura un impact sur le coût énergétique de sa création et sur le calcul du taux de nucléation. De plus, la présence d’éléments gazeux, liquides ou solides dans l’eau entrainera également des changements de hauteur de la barrière énergétique ainsi que les valeurs de la tension de surface.

Dans le premier cas, l’effet sur la tension superficielle est plus ou moins important, mais le mécanisme menant à la nucléation va être similaire au cas homogène. Les gaz dissous ont également de faibles effets sur la probabilité de création de bulle de vapeur mais augmente la probabilité de nucléation de bulle de gaz [29, 45, 23, 15]. Malgré toutes ces différences, l’expression du taux de nucléation ne diffère pas de celui du cas homogène, contrairement au cas où la bulle s’est formée à l’interface avec un solide.

Fig. 1.15 – Schéma d’une bulle ayant apparue sur la surface plane d’un solide. θ représente l’angle de contact avec le solide, h est la hauteur de la bulle, a le rayon et R, le rayon de la sphère tronquée.

Considérons une bulle formée sur la surface plane d’un solide. Nous modélisons cette bulle par une sphère tronquée de rayon R avec un angle de contact avec la surface plane θ, h et a sont la distance séparant la sphère et le plan (la surface plane) et le rayon du cercle formé par l’intersection entre la sphère et le plan, respectivement (voir Fig. 1.15). Pour calculer le taux de nucléation, nous avons besoin de connaitre l’expression de cette énergie libre, il faut tenir compte des trois interfaces : liquide/gaz, solide/gaz et enfin solide/liquide. La variation d’énergie libre s’écrit :

∆F = γSVSb − γSLSb+ γLVSc− ∆P Vc (1.35)

avec γSV, γSL et γLV les tensions de surfaces liées aux interfaces solide/gaz, solide/liquide

(25)

1.4. NAISSANCE D’UNE BULLE DE CAVITATION

surface de la calotte. Le terme γLVSccorrespond à la contribution dûe à l’interface solide/gaz :

il est positif puisqu’il faut de l’énergie de la surface. Le deuxième terme est (γSV − γSL) Sb et

correspond à la contribution énergétique de la surface plane solide. ∆P est la différence de pression entre l’extérieur et l’intérieur de la bulle, définie positive, Vc est le volume contenu

dans la calotte sphérique qui se calcule de la forme suivante. Nous considérons une sphère de rayon R, nous cherchons le volume de la calotte sphérique de hauteur h et avec une base de rayon a. Le volume de la calotte sphérique se trouve en calculant l’intégrale

Fig. 1.16 – Schéma de l’intersection d’une sphère de rayon R avec un plan indiqué par la zone grise. Ce cercle est de rayon r avec une hauteur hq qui le séparant de la surface de la

sphère.

Vc=

Z

πr2dz. (1.36)

En sachant que r2 = R2− z2, nous intégrons entre R − h

q et R. Par suite, nous en déduisons

l’expression de la calotte de hauteur hq et de rayon r

Vc=

πh2 q

3 (3R − hq) . (1.37)

En appliquant cette formule au cas de la calotte sphérique avec le substrat, nous reformulant les h et a avec des arguments trigonométriques

h = R (1 + cos θ) , a = R sin θ.

(26)

En remplaçant dans l’Eq(1.35) chacun des termes par son expression, il vient ∆F = 2πγLVR2(1 + cos θ) + (γSV − γSL) πR2sin2θ − π 3R 3(1 + cos θ)2 (2 − cos θ) ∆P. (1.38) La relation de Young-Dupré relie l’angle de mouillage θ et les tensions superficielles aux différentes interfaces :

γLV cos θ = γSV − γSL. (1.39)

En remplaçant l’Eq(1.39) dans l’Eq(1.38), nous obtenons :

∆F = 2πγLVR2(1 + cos θ) + πγLVR2sin2θ cos θ −

π 3R

3(1 + cos θ)2

(2 − cos θ) ∆P. (1.40)

Le système tend à minimiser son énergie libre, ce qui définit un rayon R = Rhc d’équilibre pour lequel la dérivée de ∂∆F

∂R s’annule :

Rhc = 2γLV

∆P . (1.41)

La barrière d’énergie dans le cas hétérogène est égale à :

∆Fch = 16πγ 3 LV 3 R 3ψ (θ) , (1.42) avec ψ (θ) = (1 + cos θ) 2 (2 − cos θ) 3 .

L’expression de la barrière d’énergie dans le cas hétérogène est reliée au cas homogène par la fonction ψ (θ). Pour un hydrogel, l’angle de mouillage est égal à 44, 6◦, la pression critique est proche de −140 MPa avec un volume d’eau infini [42]. La différence entre cette valeur et celle mesurée dans [42, 35], est que, dans ce dernier cas, l’eau est confiné dans des micro-cavités parallélépipèdique. Ainsi la nucléation a une probabilité plus grande d’avoir lieu sur les coins du parallélépipède que sur une surface plane [42]. Cette observation apporte une piste supplémentaire pour expliquer la différence entre les deux valeurs.

(27)

1.5. PROBLÉMATIQUE ET CONTRIBUTION

1.5

Problématique et contribution

Si nous considérons deux cavités voisines remplies d’eau liquide et que nous nucléons une bulle comme indiqué sur la Fig. 1.17.

Fig. 1.17 – Schéma de deux cavités remplies d’eau (en bleu) avec une bulle (en blanc) dans la cavité 1. Dans la cavité 2 il n’y a que de l’eau sous forme liquide.

Lorsqu’une bulle apparait le système relaxe, entrainant une augmentation de la pression dans la cavité 1. Intuitivement, nous penserions que la pression dans la cavité 2 augmentera aussi, diminuant par la même la probabilité qu’une bulle nuclée. A priori, la première bulle ne devrait pas permettre à la deuxième bulle d’apparaitre. Le comportement que nous étudions est contre-intuitif. Pour comprendre ce système physique nous allons utiliser la vibration de la bulle, la compressibilité de l’eau et supposer les deux cavités sont séparées par une membrane déformable et mobile.

Notre hypothèse est la suivante : lorsque la bulle apparait, elle induit la vibration de la membrane séparant les deux cavités. Le couplage des deux sous-systèmes (la bulle et la membrane) explique la propagation de l’onde de cavitation.

Afin de confirmer notre hypothèse nous avons divisé notre travail en plusieurs étapes : 1. nous proposons un modèle de vibration d’une bulle dans une cavité pour en déduire

l’expression d’un rayon d’équilibre et aussi sa fréquence,

2. puis nous couplons deux cavités et cherchons quelles sont les conditions qui permettent la propagation de l’onde de cavitation,

3. et enfin nous couplons N cavités à l’aide d’un modèle numérique. Ces étapes constituent le plan de ce manuscrit de thèse.

(28)

Bulle de vapeur dans une micro-cavité

2.1

Évolution de la bulle, dans un liquide compressible

Pendant cette thèse nous cherchons à expliquer les mécanismes d’un tel système. Avant de proposer un modèle permettant de comprendre le processus de propagation il est nécessaire d’appréhender la dynamique d’une bulle dans une micro-cavité (voir Fig. 2.1).

Fig. 2.1 – Schéma d’une micro-cavité. Elle contient de l’eau (en bleu) et une bulle de vapeur (en rouge).

Nous considérons les hypothèses suivantes :

— Toutes les parois sont rigides et indéformables, ainsi il ne peut pas y avoir d’aug-mentation de volume de la micro-cavité. Nous faisons cette approximation parce que nous nous plaçons à l’instant où la bulle apparait, c’est-à-dire que tout le processus énergétique antérieur décrit par la théorie de la nucléation homogène n’est pas pris en compte. Cette hypothèse n’est pas conforme à la réalité parce que dans les expériences

(29)

2.1. ÉVOLUTION DE LA BULLE, DANS UN LIQUIDE COMPRESSIBLE

faites par l’équipe de P. Marmottant (Grenoble) et X. Noblin (Nice), la diminution de pression dans les micro-cavités, ce qui a pour effet de diminuer le volume. Ce qui nous amène aux hypothèses suivantes.

— La pression du liquide a initialement une valeur négative. Cette valeur vaut −20 MPa [57]. Nous noterons cette pression initiale Pi.

— La pression à l’intérieur de la bulle de vapeur reste constante et égale à la pression de vapeur saturante.

— La température est supposée toujours constante même après l’apparition de la bulle. Avant la nucléation, le système est isotherme. Cependant lorsque la bulle apparait, cette dernière ne peut pas échanger de chaleur avec le liquide ou encore moins avec l’extérieur. Si nous devions en tenir compte, nous devrions résoudre une équation de diffusion de la température.

Dans cette section, nous nous intéressons à l’évolution du rayon d’une bulle présente dans un liquide contenu dans un récipient de taille finie. L’équation de Rayleigh-Plesset permet d’étu-dier l’évolution du rayon [7, 27] d’une bulle dans un milieu liquide infini et nous l’adapterons à nos besoins dans la partie suivante.

2.1.1

Équation de Rayleigh-Plesset compressible

L’équation permettant de décrire l’évolution du rayon de la bulle nucléée est l’équation de Rayleigh-Plesset. Elle est dérivée dans le cas d’un liquide incompressible de volume infini. Par ailleurs les expériences au cours desquelles a été observé une propagation d’onde de cavitation, montrent que la pression ainsi que la densité ne dépendent que du temps [42, 36, 37]. Toujours est-il que l’approximation de liquide de volume infini doit être relachée puisque la taille caractéristique d’une micro-cavité est de l’ordre de la centaine de microns. De plus les fortes contraintes mécaniques font que le fluide est comprimé et que ni la densité, ni la pression ne peuvent être considérées constantes.

Le champ de vitesse pour un écoulement compressible

Nous allons dériver l’équation de Rayleigh-Plesset. Partons de deux bilans : 1. La conservation de la quantité de mouvement :

ρ  ∂t~u +  ~ u · ~∇~u  = − ~∇P + η∆~u. (2.1)

(30)

où ~u est le champ de vitesse du fluide liquide, ρ la densité du fluide, P la pression, η la viscosité dynamique.

2. La conservation de la masse :

∂tρ + ~∇ · (ρ~u) = 0. (2.2)

3. Une équation d’état est requise reliant P et ρ :

P = P (ρ) , (2.3)

La bulle est supposée parfaitement sphérique pour cela le champ de vitesse se décompose comme suit : ~u = ure~r+ uθe~θ+ uφe~φ

L’équation de Navier Stokes devient :

∂tur+ ur∂rur= −

1

ρ∂rP + ν∆ur. (2.4)

Nous faisons aussi l’hypothèse que l’écoulement est irrotationnel, en d’autres termes, ~∇×~u = ~0. Le champ de vitesse dérive donc d’un champ potentiel ψ :

~u = ~∇ψ = ∂rψ ~er.

Les équations peuvent ainsi être écrites en fonction du potentiel de vitesse :

∂t,rψ + ∂rψ∂r,rψ = −

1

ρ∂rP + ν∆∂rψ. (2.5)

∂tρ + ∂rρ∂rψ + ρ∆ψ = 0. (2.6)

Intégrons une fois entre r et un rayon L, la longueur caractéristique de la micro-cavité, par rapport à r l’Eq (2.5) : ∂tψ + 1 2(∂rψ) 2 = Z PL P 1 ρdP − Z L r η ρ∆∂rψdr. (2.7)

Dérivons une fois par rapport au temps l’Eq(2.7) :

t2ψ + u∂tu = ∂t Z PL P 1 ρdP − ∂t Z L r η ρ∆∂rψdr  . (2.8)

(31)

2.1. ÉVOLUTION DE LA BULLE, DANS UN LIQUIDE COMPRESSIBLE

Nous avons supposé que les parois de la micro-cavité sont rigides et indéformables. Donc la pression du liquide sur les bords n’est dépendante que du temps, d’où :

t2ψ + u∂tu = 1 ρ(∂tPL(t) − ∂tP ) − ∂t Z L r η ρ∆∂rψdr  . (2.9)

Par ailleurs, en sachant que la bulle émet une onde dont la vitesse de propagation c définie par la relation ∂ρP = c2, et en utilisant l’Eq(2.6) pour éliminer ∂tρ, nous obtenons :

∆ψ = 1 c2 ∂ 2 tψ + u∂tu − u ρ∂rρ − 1 ρc2∂tPL+ 1 c2∂t Z L r η ρ∆∂rψdr  . (2.10) En utilisant la définition de c2 = ∂ ρP , il vient : ∆ψ = u c2  ∂tu − 1 ρ∂rP  + 1 c2∂ 2 tψ − 1 ρc2∂tPL+ 1 c2∂t Z L r η ρ∆∂rψdr  . (2.11)

Maintenant nous allons procéder à l’adimensionnement du système pour ne garder que les termes dominants : r = r?˜r, t = s

ω, ρ = ρ

?ρ, ψ = ψ˜ ?ψ, u = u˜ ?u, P = P˜ ?P .˜

Remplaçons chaque variable par son expression dans l’Eq(2.11) : ψ? r?2∆ ˜˜ψ = u? c2u˜  ωu?∂su −˜ P? r?ρ? 1 ˜ ρ∂r˜ ˜ P  +ψ ?ω2 c2 ∂ 2 sψ −˜ P?ω ρ?c2∂sP˜L+ ηψ?r?ω ρ?c2r?3∂s Z L/r ˜ r 1 ˜ ρ ˜ ∆∂r˜ψd˜˜ r ! . (2.12)

En faisant les choix suivants : u? = r?ω, ψ? = r?2ω, P ?

ρ? = u

?2, alors nous obtenons l’équation

suivante : ˜ ∆ ˜ψ = Ma2 u˜  ∂su −˜ 1 ˜ ρ∂ ˜r ˜P  + ∂s2ψ −˜ 1 ˜ ρ∂s ˜ PL+ 1 Re∂s Z L/r ˜ r 1 ˜ ρ ˜ ∆∂r˜ψd˜˜ r !! (2.13) avec Ma =  u? c  le nombre de Mach et Re = ρ ?u?2

ηω le nombre de Reynolds. Le quatrième

terme dans la parenthèse est négligeable par rapport aux trois autres [27] et si nous nous plaçons dans le cas où Ma << 1 alors le second membre de l’équation peut être négligé et

(32)

Et avec des grandeurs dimensionnées :

∆ψ = 0. (2.14)

Avec la condition que ∂rψ|r=R= ˙R, la solution de l’équation de Laplace est :

ψ = −R

2R˙

r + C(t), (2.15)

où C(t) est une constante d’intégration ne dépendant que du temps. Le champs de vitesse se déduit de l’Eq(2.15) :

u = R

2R˙

r2 . (2.16)

De plus, la densité du fluide est à priori une fonction de l’espace et du temps : nous

savons que la bulle vibre à 3 MHz, puisque c ≈ 1500 m · s1, ce qui permet de déduire

λ ≈ 500 µm. Ainsi, la longueur d’onde de l’onde émise par la bulle est très supérieure à la longueur caractéristique r? de la micro-cavité, λ >> r?. Par conséquent la densité ne devrait dépendre que du temps. En effet, l’équation de continuité de l’hydrodynamique Eq(2.2) devient :

∂tρ + ∂rρ∂rψ = 0, (2.17)

∂tρ + u∂rρ = 0. (2.18)

Afin de simplifier les calculs nous utiliserons des variables sans dimensions : u = cu?, t = s

ω, r = r?˜r. Après remplacement et en utilisant la relation de dispersion c = ωλ, il vient :

∂sρ +

λ

r?u∂˜ ˜rρ = 0. (2.19)

Cette analyse en terme d’ordre de grandeur nous permet de conclure que le premier terme de la équation est négligeable par rapport au second. La densité devrait rester homogène dans la micro-cavité :

∂r˜ρ = 0, (2.20)

(33)

2.1. ÉVOLUTION DE LA BULLE, DANS UN LIQUIDE COMPRESSIBLE

n’est fonction que du temps. L’Eq(2.7) se réécrit :

−P ρ + PL ρ = ∂tψ + 1 2u 2. (2.21)

En remplaçant ψ par son expression (2.15), nous obtenons l’équation suivante :

−P ρ = C(t) −˙ 2R ˙R2 r − R2R¨ r + 1 2 R4R˙2 r4 − PL ρ . (2.22)

En prenant r = R alors l’équation de Rayleigh-Plesset apparaît :

P = PL+ ρ  R ¨R + 3 2 ˙ R2− ˙C  . (2.23)

Influence de la viscosité sur la bulle

Ce que nous cherchons à déterminer est la dynamique de l’interface vapeur/liquide. La continuité du tenseur des contraintes nous donne le bilan des forces à l’interface :

Pg + τrr =

R, (2.24)

avec σ la tension de surface à l’interface vapeur/liquide, Pg la pression dans le gaz, τrr la

composante radiale du tenseur des contraintes. En toute généralité, le tenseur des contraintes est :

τij = −P (R) δij + 2η ˙εij +  ζ −2 3η  δij∇ · ~~ u, (2.25)

avec η la viscosité dynamique, ζ la deuxième viscosité, ˙εij le tenseur des contraintes, P (R)

est la pression du fluide à l’interface, δij est un delta de Kronecker. En sachant que l’une de

nos hypothèses est que le liquide est faiblement compressible, le troisième terme du tenseur des contraintes est négligé et il reste :

τij ≈ −P (R) δij + 2η ˙εij (2.26)

Ce qui nous intéresse est la composante radiale du tenseur des contraintes visqueuses :

(34)

Puisque u = R 2R˙ r2 , la composante τrr devient : τrr= −P (R) − 4η ˙ R R. (2.28)

En remplaçant Eq(2.28) et l’Eq(2.23) dans Eq(2.24), il en résulte :

Pg− PL− ρ  R ¨R + 3 2 ˙ R2− ˙C  − 4ηR˙ R − 2σ R = 0, (2.29) d’où : R ¨R + 3 2 ˙ R2 = 1 ρ " Pg− PL+ ρ ˙C − 4η ˙ R R − 2σ R # . (2.30)

L’expression de ˙C(t) se déduit de l’Eq(2.22) avec P = PL et r = L.

Pour r → L, l’Eq(2.15) donne :

ψL(t) = −

˙ RR2

L + C(t).

En utilisant l’Eq(2.21), pour ψL(t), nous obtenons :

˙ C = ¨ RR2 L + 2 ˙ R2R L − 1 2 ˙ R2R 4 L4. (2.31)

Finalement l’équation de Rayleigh Plesset apparait :

R ¨R  1 − R L  + 3 2R˙ 2  1 + 1 3 R4 L4 − 4 3 R L  = 1 ρ(t) " Pg− PL(t) − 4η ˙ R R − 2σ R # (2.32)

Remarquons que si le volume de la bulle est plus petit que celui de la micro-cavité, le terme  R

L 4

est négligeable. Il ne nous reste plus que :

R ¨R  1 − R L  + 3 2 ˙ R2  1 −4 3 R L  ≈ 1 ρ(t) " Pg− PL(t) − 4η ˙ R R − 2σ R # (2.33)

Remarquons également que si nous imposons R

L → 0 et ρ(t) = Cte, nous retrouvons le cas incompressible de Rayleigh-Plesset.

(35)

2.2. LA CAVITATION : ÉVOLUTION TEMPORELLE DU RAYON.

2.2

La cavitation : évolution temporelle du rayon.

En adaptant l’équation de Rayleigh-Plesset à notre cas, c’est-à-dire en tenant compte de la compressibilité de l’eau ainsi que de la taille finie de la micro-cavité, nous avons dérivé une équation différentielle. Un tel système peut être assimilé à un oscillateur couplé composé de deux masses M1 et M2 et trois ressorts de constantes de raideur k1, k2 et km (voir Fig. 2.2).

Les deux masses vont osciller avec une superposition de modes propres.

Fig. 2.2 – Schéma d’un oscillateur couplé composé de deux masses M1 et M2 et de trois

ressorts de constantes de raideurs k1, km et k2.

Dans ce cas de figure pour arriver à diminuer la force appliquée sur la masse M2 pour le

ressort 3 , il suffit de ramener la masse M1 au delà de sa position initiale. Pour y arriver,

la vitesse initiale de cette masse doit être non-nulle. Nous pouvons faire le parallèle entre le cas que nous étudions et ce système de ressorts, en identifiant la force appliquée sur la masse M2 par le ressort 3 avec la pression de l’eau dans la micro-cavité sans bulle. Dans

la partie suivante, nous nous servirons des prédictions du modèle jouet, pour l’appliquer à la cavitation.

2.2.1

Définition des pressions

Considérons à nouveau l’équation de Rayleigh Plesset donnée par l’Eq(2.33) : il reste à définir les pressions Pg et Pl qui sont, respectivement, la pression à l’intérieur de la bulle et

la pression du liquide autour de la bulle :

— Nous fixons Pg à la pression de vapeur saturante Pv et la supposons constante :

Pg = Pv. (2.34)

— Pour la pression dans le liquide, la compressibilité se définit comme suit :

Pl= P0+

1 ψ1

(ρl− ρ0) , (2.35)

(36)

choisis-sons la pression de vapeur saturante Pv comme pression de référence, et la densité du

liquide correspondant à la pression de vapeur saturante sera la densité de référence. Par conséquent la pression du liquide s’écrit :

Pl = Pv+

1 ψ1

(ρl− ρ?l) . (2.36)

Dans cette pression, il y a des constantes comme la pression Pvet la densité ρ?l. Par définition,

la densité ρl est égale à :

ρl =

ml

Vl

, (2.37)

où ml est la masse de liquide, Vl est le volume de liquide.

De plus, nous voulons que le volume ainsi que la masse soient conservés, ce qui nous permet d’écrire :

m0 = mg+ ml (2.38)

Vcav = Vg+ Vl, (2.39)

avec mg la masse de vapeur contenue dans la bulle, Vg le volume de vapeur, Vcav le volume

de liquide contenu initialement dans la cavité avant l’apparition de la bulle. La densité se réécrit comme suit :

ρl =

m0− mg

Vcav− Vg

. (2.40)

Nous devons calculer chaque terme :

— Pour le fluide : m0 = ρiVcav, avec ρi la densité initiale du liquide.

Cependant nous ne connaissons pas la densité initiale de liquide, en revanche nous connaissons la pression du liquide juste avant que la bulle n’apparaisse. Afin de dé-terminer cette densité nous utiliserons l’équation des fluides parfaits de l’Eq(2.36) :

(37)

2.2. LA CAVITATION : ÉVOLUTION TEMPORELLE DU RAYON.

— La masse de vapeur s’écrira donc :

mg = ρGPVg, (2.42)

avec ρGP =

PvM

RGPT

, la densité des gaz parfait, où RGP est la constante des gaz parfaits.

— Comme la bulle est supposée parfaitement sphérique, son volume est simplement donné par son rayon :

Vg =

3 R

3. (2.43)

Ainsi, la pression du liquide prend la forme :

Pl = Pv+ 1 ψ1  m0− ρGPVg Vcav − Vg − ρ? l  . (2.44)

Remarquons que si il n’y a pas de bulle, Vg = 0, la pression est exactement égale à la pression

initiale Pi imposée dans nos hypothèses.

2.2.2

Calcul du rayon de la bulle à l’équilibre

Dans un premier temps, nous cherchons s’il existe un rayon d’équilibre pour notre modèle et dans le cas échéant en donner son expression. Partons de l’équation de Rayleigh-Plesset de l’Eq(2.32), R ¨R  1 −R L  +3 2 ˙ R2  1 − 4 3 R L  = 1 ρl " (Pv − Pl) − 4η ˙ R R − 2σ R # . (2.45)

Recherchons le rayon d’équilibre Req en imposant ¨R = 0 et ˙R = 0. L’équation qui donne

donc le rayon d’équilibre est :

2σ Req + 1 ψ1    m0− 4π 3 ρGPR 3 eq Vcav − 4π 3 R 3 eq − ρ?l    = 0. (2.46)

Nous souhaitons trouver une expression analytique approchée pour Req. La taille de la bulle

est principalement fixée par la taille de la micro-cavité et par la compressibilité de l’eau. A partir de ce constat et en remarquant qu’il y a une solution simple à l’équation, quand

(38)

σ = 0, nous en déduisant que la solution analytique est de la forme :

Req = Req,0+ εReq,1, (2.47)

où ε << 1 est sans dimensions, Req,0 le rayon d’équilibre de la bulle, en négligeant la tension

de surface et Req,1 est l’erreur sur le rayon d’équilibre. Afin de retrouver la solution simple

pour σ = 0, nous poserons que σ = εσ1, ce qui signifie que la tension de surface a des valeurs

très petites.

Le développement limité pour ε → 0, permet de déterminer l’expression de chaque terme :

Req,0 =  3 4π Vcavρ?l − m0 ρ? l − ρGP 1/3 (2.48) Req,1 = σ1 2ψ1(ρGP − ρ?l)  3(m0− ρ? lVcav) ρGP − ρ?l − 3Vcav 2 27(ρGPVcav− m0)(m0− ρ?lVcav) (2.49)

Le rayon d’équilibre est donc égal :

Req ≈  3 4πVcav 1/3 ρ?l − ρi ρ? l − ρGP 1/3 + 2σ 3 ψ1 ρ? l − ρi  ρi− ρGP ρ? l − ρGP  (2.50)

Vérifions la validité de cette solution approchée, en la comparant au résultat numérique donné par Mathematica. Sur la Fig. 2.3 sont tracées les courbes représentative du rayon d’équilibre numérique et celui que nous avons approximé en fonction de la taille de la micro-cavité. Les deux courbes sont indiscernables, le calcul perturbatif se trouve parfaitement justifié.

Nous pouvons vérifier que ce rayon critique est en accord avec les données numériques trouvée à l’aide de OpenFOAM [41] en superposant ces dernières avec le résultat ci-dessus. OpenFOAM est un logiciel libre de simulation numérique modélisant des fluides complexes impliquant soit des réactions chimiques, soit de la turbulence, soit des transferts de chaleurs, ou encore de l’acoustique et de l’électromagnétisme, créé en 2004 par OpenCFD. Nous avons modélisé une bulle de vapeur vibrant dans l’eau, le tout contenu dans une micro-cavité cubique. Initialement la bulle a un rayon égal à 10−5 m avec une pression 107 Pa. L’eau autour de la bulle a une pression initiale égale à 105 Pa. La simulation commence donc par

une différence de pression entre la bulle et l’eau pour permettre au système de tendre vers son équilibre. OpenFOAM ne nous informe pas directement sur l’évolution temporelle du rayon

(39)

2.2. LA CAVITATION : ÉVOLUTION TEMPORELLE DU RAYON.

Fig. 2.3 – Courbe représentative du rayon d’équilibre Req en fonction de la taille de la cavité

avec les paramètres suivants : ρ?L = 1000 kg.m−3, ρGP = 0.59 kg.m−3, ψ1 = 10−7m−2s2.

de la bulle. Il est tout de même possible de trouver comment évolue le rayon de la bulle dans le temps. L’une des informations accessibles est la quantité "alpha". Cette quantité vaut 1 pour l’eau liquide et 0 pour la vapeur d’eau. En ayant la valeur moyenne de "alpha", noté αM, à chaque instant de la simulation et en sachant que le volume de vapeur est égal à 1−αM,

nous remontons au rayon à l’équilibre. En changeant la taille de la micro-cavité, la valeur du rayon d’équilibre varie. Les points correspondants au rayon d’équilibre pour une taille de micro-cavité donnée sont en rouge sur la Fig. 2.4. Sur cette figure, il y a deux courbes : l’une

Fig. 2.4 – Nous représentons sur cette figure les points numériques trouvés à l’aide de OpenFoam (les points rouges). La courbe en noir représente Req pour une compressibilité

ψ1 = 10−7m−2s2.

correspond au rayon avec une compressibilité constante égale à 10−7 m−2s2 (la courbe bleue), la deuxième courbe représente la même fonction mais avec comme paramètre ajustable la compressibilité. Dans ce dernier cas, la compressibilité est plus grande que celle de référence. Cette différence de valeur se justifie de la façon suivante : les parois de la micro-cavité se

(40)

déforment pendant que la bulle oscille. Cette déformation induit une augmentation de la compressibilité de l’eau.

Dans la suite nous définirons un rayon sans dimension par rapport à ce rayon d’équilibre de telle sorte à travailler avec des rayons autour de 1 dans le but d’éviter des erreurs numériques.

2.2.3

Adimensionnement de l’équation de Rayleigh-Plesset

com-pressible

Dans l’optique de résoudre l’équation de Rayleigh-Plesset nous allons adimensionner les équations à l’aide d’un temps caractéristique et d’une longueur caractéristique. Nous choisi-rons le rayon d’équilibre de la bulle comme longueur caractéristique. Quant au temps carac-téristique, nous le déduirons grâce à l’équation. Cependant la densité est fonction du temps, il nous faut linéariser la densité autour de l’équilibre pour nous permettre d’adimensionner l’équation.

Linéarisation de la densité

Lorsque nous divisons par la densité les membres de l’Eq(2.32) nous obtenons :

R ¨R  1 − R L  + 3 2 ˙ R2  1 − 4 3 R L  = Pv − Pl ρl(t) − 4η ρl(t) ˙ R R − 2γ ρl(t)R (2.51)

Cependant nous avons montré dans Chap 2.1.1 que la densité ne dépendait que du temps. Linéarisons la densité comme suit :

ρl = ρl,eq+ ∂Rρl|R=Req(R − Req) (2.52)

Nous trouvons donc une densité de la forme :

ρl = ρl,eq  1 + α R − Req Req  , (2.53) avec α = 4πReq3 1 Vcav − 4π 3 R 3 eq m0− ρGPVcav m0− 4π 3 R 3 eqρGP . (2.54)

(41)

2.2. LA CAVITATION : ÉVOLUTION TEMPORELLE DU RAYON.

En faisant une application numérique, nous trouvons que α ∼ 6·10−3. Pour le reste du calcul, nous supposerons que α est suffisamment petit de façon à pouvoir justifier un développement limité. L’équation de Rayleigh-Plesset devient :

R ¨R  1 −R L  +3 2R˙ 2  1 −4 3 R L  ≈ 1 ρl,eq " (Pv − Pl) − 4η ˙ R R − 2γ R #  1 − αR − Req Req  (2.55)

Nous avons proposé un modèle pour la pression et la densité, ce qui rend l’équation de Rayleigh-Plesset compressible hautement non linéaire.

Adimensionnement de l’équation de Rayleigh-Plesset

Nous adimensionnerons l’équation en utilisant le rayon d’équilibre calculé précédemment, et d’une pulsation que nous déterminerons de sorte à simplifier l’équation. En remplaçant l’Eq(2.44) dans l’Eq(2.55) et en posant : t = s

ωs

où ωs est une fréquence à déterminer grâce

aux propriétés du système, R = Reqr où Req est le rayon d’équilibre de l’Eq(2.50), la forme

sans dimension est :

r¨r (1 − βLr) + 3 2˙r 2  1 − 4 3βLr  = − a1 − r 3 b − r3 − λ  + 4 Re ˙r r + 1 W e 1 r  (1 − α (r − 1)) , (2.56) avec βL = Req L , a1 = m0 4π 3 ρGPReq 3 , b = Vcav 4π 3 Req 3 , ωs= 1 Req s 1 ψ1 ρGP ρl,eq , λ = ρ ? l ρGP , 1 Re = η ρl,eqR2eqωs , 1 W e = 2γ ρl,eqR3eqω2s

Voici quelques valeurs numériques :

L = 10−5m l = 10−5 m d = 10−5 m Pi = −20 · 106 Pa

ψ1 = 10−7 m−2s2 T = 300 K ωs = 1.89 · 107 Hz a1 = 2.32 · 107

Re = 11.46 W e = 1.20574 Pv = 3000 Pa λ = 46166.7

Req= 7.79 × 10−7 m b = 504.41 βL = 0.078

(42)

du système, nous avons pu définir une nouvelle pulsation ωs = 1 Req r 1 ψ1 ρGP ρl,eq . Avec nos paramètres, la fréquence caractéristique de la bulle est de l’ordre 10MHz.

Par la suite, nous avons utilisé ces deux nouvelles quantités connues pour introduire deux nouvelles variables sans dimensions correspondant au rayon et au temps. Dans la section suivante, nous expliquerons pas à pas le calcul de la fréquence propre de vibration de la bulle.

2.3

Calcul de la période

Dans le but de connaitre parfaitement le comportement de la bulle vibrant dans un volume confiné, nous avons besoin de connaitre sa fréquence propre. Dans cette partie, nous présenterons un exemple simple, le pendule, afin d’illustrer la méthode, que nous utiliserons, pour analyser l’équation de Rayleigh-Plesset. Dans un premier temps, le système va être conservatif, en négligeant la viscosité. Nous prendrons en compte la viscosité à la fin de tous ces calculs.

2.3.1

Cas du pendule simple

Calculons la période dans le cas d’un pendule simple pour de faibles amplitudes. Sur la Fig. 2.5 est représenté le schéma d’un pendule simple avec un objet de masse m accroché au bout d’une tige rigide et indéformable par le mouvement. La tige fait un angle θ avec la verticale. Etant donné que la seule force extérieur qui s’applique sur la tige est son poids, alors il est facile de calculer l’énergie totale du système dans le cas conservatif. L’équation connue du pendule simple :

d2θ dt2 +

g

Lsin θ = 0 (2.57)

C’est une équation différentielle non-linéaire du deuxième ordre sans second membre. Cepen-dant il n’y a donc pas de solution analytique simple (les fonctions elliptiques sont solutions d’une telle équation). Néanmoins pour de petits angles, θ << 1, l’équation du pendule se simplifie :

¨

θ + g

(43)

2.3. CALCUL DE LA PÉRIODE

Fig. 2.5 – Schéma d’un pendule simple. Un objet de masse m, est suspendue à une tige indéformable par le mouvement de longueur L et d’épaisseur et de masse négligeables. Nous appelons θ l’angle séparant la tige avec la verticale. Une seule force s’applique sur la balle, son propre poids ~P = m~g.

La pulsation propre du pendule simple est égale à r g

L qui est un résultat connu.

Partons de l’Eq(2.58), et multiplions les deux termes par ˙θ, puis nous intégrons une fois par rapport au temps,

˙ θ2 = g L θ 2 0− θ 2 (2.59)

où θ0est reliée à la constante d’intégration par la condition θ(0) = θ0. Réécrivons l’Eq (2.59),

dθ dt = ± r g L q θ2 0− θ2 (2.60) Z T2 0 dt = s L g Z θ0 −θ0 1 pθ2 0 − θ2 dθ (2.61)

Les deux intégrales donnent :

Z T2 0 dt = T 2 (2.62) Z θ0 −θ0 1 pθ2 0 − θ2 dθ = π (2.63)

Ainsi la période se déduit en remplaçant le résultat de chaque intégrale. Soit ω la pulsation du pendule :

ω = r g

(44)

qui se trouve être la relation à laquelle nous nous attendions. Grâce à ce calcul, nous re-trouvons la pulsation d’un pendule simple avec de faibles oscillations, il est donc intéressant d’utiliser la même méthode pour la vibration de la bulle. La différence avec le pendule simple est que dans le cas de la bulle, l’équation, à analyser, est non-linéaire. Ceci implique que la détermination de la période nécessite le calcul d’une intégrale.

2.3.2

Calcul de l’énergie du système

Dans la suite nous noterons G(r) la partie indépendante de ¨r et de ˙r de l’Eq(2.56) : cette fonction est égale à :

G (r) = −  a1 b − r3 − λ  + 1 W e 1 r  (1 − α (r − 1)) .

Pour toutes les courbes que nous tracerons par la suite, nous utiliserons les paramètres suivants : L = l = d = 10−5m, ψ1 = 10−7m−2s2, ρ?l = 1000 kg.m

−3, ρ

GP ≈ 0.02 kg.m−3 et de

pression initiale Pi = −20 MPa.

Fig. 2.6 – Représentation graphique de G(r) de l’équation de Rayleigh-Plesset compressible.

Sur la Fig. 2.6, G(r) est tracée en fonction du rayon de la bulle. Nous voyons sur le gra-phique que la fonction s’annule en deux points qui correspondent à deux rayons d’équilibre. Le rayon critique instable est le plus petit de ces deux rayons. La bulle oscillera autour du rayon le plus grand. Multiplions les deux membres de l’équation par 2 ˙rr2 et intégrons une

Figure

Fig. 1.4 – Schéma d’un dispositif en hydrogel. Les cubes de coté 70 µm, à l’intérieur de l’hydrogel, contiennent de l’eau
Fig. 1.9 – La pression est tracée en fonction du volume. Les points A et C correspondent aux volumes pour lesquelles la pression est égale à la pression de Maxwell (ou encore pression de vapeur saturante)
Fig. 1.10 – Schèma représentant le transport de la sève dans l’arbre. Deux capillaires sont représentés, l’un appelé xylème (il transporte l’eau vers les feuilles) et l’autre phloéme (il transporte la sève composée de produit de la photosynthèse) [2].
Fig. 2.1 – Schéma d’une micro-cavité. Elle contient de l’eau (en bleu) et une bulle de vapeur (en rouge).
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Références

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