Experimentations et analyse de performance

Les programmes linéaires développés dans ce chapitre ont été implémentés en utilisant le logiciel ILOG CPLEX sur une station de travail Dell precision 690 du LAAS. Pour évaluer la performance de ces modèles, nous avons utilisé les instances de Baptiste et al. [Baptiste et al. 03]. Pour des instances de problèmes à une machine comptant 80, 100, 120 et 140 travaux, 120 instances pour chaque cas nous ont été fournis par l'auteur avec les ré- sultats détaillés de leur expérimentation, à savoir, la valeur optimale du critère∑Uj (OPT) quand elle est atteinte, ou au moins la valeur de la borne supérieure (BEST) [Sadki 08].

Pour chaque instance testée, nous nous sommes intéressés à déterminer :

- une borne inférieure par la résolution du modèle PLNE5 en relaxant les dates de début au plus tôt ri (LBr) et le temps CPU de résolution ;

- une borne inférieure par la résolution du modèle PLNE5 en relaxant les dates de n au plus tard di (LBd) et le temps CPU de résolution ;

- une borne supérieure UB par la résolution du modèle PLNE4 et au temps CPU cor- respondant.

4.3 Minimisation du nombre de travaux en retard 93

Fichier de données LBr Tcpu(s) LBd Tcpu (s) UB Tcpu (s) LBBap U Bbap Tcpu(s)

P80_1 22 0,05 22 0,05 22 0,03 14 22 204,6 P80_2 23 0,06 23 0,05 23 0,04 20 23 56,5 P80_119 38 401 37 0,41 38 0,49 37 38 66,4 P80_120 33 2,2 33 0,16 39 0,14 38 39 100 P100_1 23 0,07 23 0,1 23 0,05 17 23 486,7 P100_2 37 11,05 37 18,8 37 0,14 29 37 327,7 P100_119 36 0,44 38 0,57 40 434,91 39 40 2218,9 P100_1120 45 4,83 45 0,3 46 0,14 45 46 292,4 P120_1 18 0,08 18 0,07 18 0,02 14 18 717,2 P120_2 34 7,02 34 6,76 34 0,06 26 34 564,9 P120_119 44 8,74 44 1,69 44 17,93 44 44 188,4 P120_120 51 8,41 52 118,15 53 0,27 53 53 121,1 P140_1 28 0,12 29 0,15 30 0,1 22 30 2294,5 P140_2 42 3,01 42 3,12 42 0,17 30 42 2164,2 P140_119 57 44,35 58 192,29 59 1,56 58 60 3600 P140_120 61 1,89 61 1,92 62 0,38 61 62 751

Tab. 4.2: Comparaison des résultats (bornes) pour un échantillon d'instances Nous signalons que lors des expérimentations, nous avons limité le temps de recherche de la solution "optimale" à une heure de calcul. L'optimum est atteint lorsque la borne supérieure UB est égale à une des bornes inférieures LBr ou LBd. Nous donnons dans le Tableau 4.2 les résultats obtenus pour un échantillon d'instances. Les résultats de Bap- tiste et al. sont aussi rapportés dans le tableau ; UBBap représente la valeur de la solution optimale lorsque le temps CPU est inférieur à 1 heure, LBBap est la valeur de la borne inférieure. Pour une instance donnée, par exemple la première instance à 80 travaux, la même borne inférieure (LBr = LBd= 22) est obtenue pour un temps de calcul égal à 0.05 secondes. La borne supérieure, ici égale à la borne inférieure, est obtenue en un temps de calcul égal à 0.03 secondes. Notons aussi que la même solution optimale donnée par LBBap est obtenue au bout de 204.6 secondes (cf. Tableau 4.2) .

Le Tableau 4.3 synthétise les résultats des PLNE ayant permis la détermination des diérentes bornes supérieures et inférieures, à savoir, le pourcentage des instances résolues optimalement en moins d'une heure, ainsi que les temps de calcul minimum, moyen et maximum correspondants. Par exemple, pour les cas des instances à 80 travaux, le solveur renvoie la solution optimale UB dans 98.33% des cas (2 instances parmi les 120 n'ont pas été résolues optimalement), avec un temps de calcul min/moyen/max correspondant à 0.02/ 27.03/ 1757.84 secondes respectivement. Nous remarquons dans la majorité des cas que la solution optimale est atteinte malgré que certaines instances soient diciles à résoudre. Aussi, quelque soit le nombre de travaux considéré, la borne supérieure renvoie un plus grand pourcentage de solutions résolues optimalement, comparativement à celui donné par la borne inférieure LBr ou LBd avec un temps de calcul globalement moins coûteux. Ceci peut facilement s'expliquer par la complexité des modèles ayant permis de

94 Une nouvelle formulation PLNE calculer ces bornes. En eet, le modèle PLNE5 dénit la borne supérieure en supposant que tous les sommets gardent leur position (selon la séquence maître-pyramide) dans la solution optimale des travaux à l'heure même s'ils sont en retard, alors que le modèle PLNE4 détermine une solution optimale (borne inférieure) en autorisant qu'un travail non sommet puisse devenir le nouveau sommet de la solution optimale, et de ce fait, l'espace de recherche est plus important dans le second cas que le premier cas. Les résultats des expérimentations révèlent aussi que la borne inférieure LBd obtenue par relaxation des di est souvent plus ecace que LBr obtenue par relaxation des ri. Ceci est certainement lié à la structure d'intervalles de chaque instance, et est dû au fait que les modications sur les dates de disponibilité ri sont plus importantes que les modications sur les dates échues di.

Instances LBr LBd UB

Instances résolues/ CP U Instances résolues/ CP U Instances résolues/ CP U

n=80 94.16 % 96.66 % 98.33 % (0.01 ; 42.35 ; 1395.54)s (0.02 ;61.15 ; 2363.76)s (0.02 ; 27.03 ; 1757.48)s n=100 82.50 % 81.66 % 94.13 % (0.02 ; 141.15 ; 3531.11)s (0.03 ; 85.70 ; 1318,86)s (0.02 ; 33.84 ; 1778.42)s n=120 80.83 % 84.16 % 85 % (0.02 ; 106.78 ; 1340.29)s (0.04 ; 108.43 ; 2149.83)s (0.02 ; 127.67 ; 2600.95)s n=140 65.83 % 65.00 % 73.33 % (0.05 ; 139.77 ; 1490.64)s (0.03 ; 173.97 ; 3072.82)s (0.02 ; 134.62 ; 2600.95)s Tab. 4.3: Pourcentage et temps CPU des instances résolues optimalement

Dans le Tableau 4.4, nous retrouvons le pourcentage des solutions optimalement at- teintes, i.e., les cas où la borne supérieure est égale à la meilleure borne inférieure (UB = LB = max{LBr, LBd}. Nous distinguons deux cas, selon que l'on considère la totalité des instances testées ou bien seulement celles qui ont été résolues optimalement en moins d'une heure. Comme on peut le remarquer, l'optimalité a été atteinte dans plusieurs cas même si on demeure globalement moins bon que les résultats de Baptiste et al. (cf. Ta- bleau 4.5). Pour les instances de 80 travaux par exemple, 73.21% des solutions trouvées en moins d'une heure sont optimales. La 3ème colonne du Tableau 4.4 illustre les écarts entre la borne supérieure et la meilleure borne inférieure trouvée LB à travers les valeurs min, moyen, max. Par exemple, pour les 120 instances de 100 travaux, la diérence entre la borne supérieure et la meilleure borne inférieure trouvée est de 0 travaux au minimum (ce sont les cas où LB = UB)i, de 2 travaux au maximum, et de 0.39 travaux en moyenne. Nous constatons que la dispersion des valeurs est faible même pour les grandes instances. Enn, le Tableau 4.5 permet une analyse de la performance de notre borne supérieure. Nous nous comparons aux résultats de Baptiste et al. du fait que nous disposons en détail de

4.4 Discussion 95