Approches proactives

Nous avons vu que pour faire face aux aléas lors de la résolution de problèmes d'ordon- nancement, les approches réactives tiennent compte des incertitudes durant la phase dyna- mique du processus de résolution. Une autre orientation, visant à prendre en compte des connaissances sur les perturbations durant la phase de génération de la solution statique ini- tiale, a donné naissance aux approches proactives. Plusieurs méthodes proactives pour l'or- donnancement en présence d'aléas sont proposées dans la littérature [Davenport et al. 01] [Herroelen & Leus 04b] [Sabuncuoglu & Bayiz 09]. Elle se distinguent généralement par le type d'aléas pris en considération, le degré de exibilité fourni, et le niveau de performance à garantir (acceptabilité ou optimalité). On trouve alors des approches basées sur certaines formes de redondances pour tenir compte des incertitudes, des approches stochastiques qui prennent en compte l'incertitude lors du calcul de l'ordonnancement de référence, les approches utilisant une mesure de robustesse, et les approches générant un ensemble d'or- donnancements exibles. Dans la suite nous résumons quelques unes d'entre elles.

Approches basées sur les redondances : Certaines techniques proactives tiennent compte des incertitudes en introduisant des formes de redondances (exibilité temporelle) dans

5.1 Tour d'horizon des méthodes 107 l'ordonnancement prédictif de référence, en prolongeant par exemple certaines durées opé- ratoires ou en augmentant les disponibilités des ressources cela dans le but d'absorber les aléas.

Parmi ces techniques, les approches basées sur l'utilisation de marges de protection temporelle "Temporal protection", en anglais, sont proposées dans [Chiang & Fox 90] et [Gao et al. 95]. Pour tenir compte des éventuelles perturbations de type panne machine, les auteurs proposent une approche robuste basée sur la prolongation des durées des opé- rations. La durée d'une tâche j aectée à une ressource R est alors calculée en ajoutant à sa durée opératoire originale la durée moyenne de panne pouvant se produire durant l'exécution de j par R. Les résultats des expérimentations réalisées pour un problème de type job shop ont montré que l'utilisation de la marge de protection temporelle est perti- nente. Cette marge permet en eet de réduire la déviation, en terme de makespan, entre l'ordonnancement prédictif et celui réalisé. Toutefois, on reproche à la technique de protec- tion temporelle d'autoriser la perte des marges supplémentaires accordées aux opérations en cas de pannes. Pour palier cet inconvenient et permettre une exploitation maximale des ressources, Davenport et al. introduisent dans [Davenport et al. 01] deux techniques : Time Windows Slack et Focused Time Window Slack. TWS et FTWS incorporent des contraintes supplémentaires au problème d'ordonnancement an de minimiser les marges temporelles accordées aux opérations.

Leon et al. dans [Leon et al. 94] proposent une approche basée sur les marges. Dans leurs travaux, les auteurs décrivent une méthode robuste d'ordonnancement et redénissent la fonction d'évaluation en incorporant une mesure de robustesse. Le problème ainsi considéré est un problème job shop soumis à des perturbations liées à l'indisponibilité des machines (pannes). Lors de l'occurrence d'une perturbation, la règle de décalage à droite est utili- sée comme règle de ré-ordonnancement. Le retard de l'ordonnancement S est alors déni comme une variable aléatoire qui exprime la diérence entre l'ordonnancement réel et l'or- donnancement prévu : δ(S) = M(S) − M0(S), M(S) étant la variable aléatoire désignant

la durée totale de S en présence de perturbations, et M0(S), représente la durée totale

de l'ordonnancement S calculée a priori sans présence de perturbation. Puisque M0(S)

est déterministe, il est déduit que E[δ(S)] = E[M(S)] − M0(S) i.e., une valeur faible de

l'espérance mathématique du retard implique que l'ordonnancement est faiblement aecté par les perturbations. Une espérance nulle peut être alors réalisée en insérant des temps morts importants dans l'ordonnancement. Les auteurs proposent une mesure de robustesse R(S) correspondant à une combinaison linéaire de l'espérance mathématique de la durée totale et de l'espérance mathématique du retard, soit, R(S) = r.E[M(S)] + (1 − r).E[δ(S)] avec r ∈ [0, 1]. Il est démontré que R(S) peut être calculée de façon exacte dans le cas d'une seule perturbation, mais qu'elle est très dicile à calculer en cas de plusieurs pertur- bations. Dans ce dernier cas, les auteurs proposent une autre expression pour approcher au mieux la valeur de l'espérance mathématique E[δ(S)] donnée par l'équation suivante :

108 Revue des approches robustes et coopératives RD3 =

∑

i∈Nf slacki(S)/|Nf| où Nf désigne l'ensemble des opérations exécutées sur les

machines pouvant tomber en panne et Slacki(S), la marge libre de l'opération i représen- tant la durée dont i peut être retardée sans augmenter la durée totale de l'ordonnancement S (tout en maintenant l'ordre d'exécution des opérations sur la machine). Un algorithme génétique pour minimiser la mesure de robustesse est ensuite développé. Les résultats des expérimentations ont montré que pour des valeurs de r proches de 1, les performances des ordonnancements qui minimisent la mesure de robustesse sont meilleures que celles qui minimisent le makespan.

Herrolelen et Leus dans [Herroelen & Leus 02] se sont intéressés au problème d'ordon- nancement de type projet lorsque les durées opératoires assignées aux activités du projet sont sujettes à incertitudes. Leur apport se situe dans le développement de modèles de programmation mathématique pour la génération d'un ordonnancement stable capable d'absorber les perturbations sur les durées sans aecter le programme des autres activités. Ils utilisent le concept de marge libre Fij(S) = si(S)− fi(S) dénie comme étant la dif- férence entre la date de début de j et la date de n de i dans l'ordonnancement S, i et j étant 2 activités reliées par un arc dans le graphe disjonctif relatif au problème. Les auteurs suggèrent de faire commencer les activités quelque part entre leur date de début au plus tôt et leur date de début au plus tard. Ils proposent une mesure de robustesse qui minimise la somme pondérée des déviations des dates de début des activités entre le programme réellement exécuté et le programme prédéni, quand une ou plusieurs durées d'activités sont perturbées. La mesure de robustesse permet dans ce cas d'assurer une stabilité sur les dates de début des activités, et l'expression qu'ils minimisent est : ∑n

j=1cj(E[sj]− sj(S)) où cj est le coût de surcharge sur la date de début de l'activité i, sj, étant la variable aléatoire représentant la date de début réelle de j après exécution du projet, et sj(S) dé- signe la date de début de j dans l'ordonnancement proactif. L'expression de l'espérance mathématique E(sj)est donnée en fonction de la marge libre dénie plus haut, de la date de début de j, de la probabilité de perturbation pj assignée à l'activité j et de la longueur de perturbation Lj d'une activité j quand elle est perturbée. Les résultats de simulation rapportés montrent que leur méthode ore de meilleurs résultats relativement à d'autres méthodes testées.

L'idée d'optimiser une mesure de robustesse est aussi utilisée dans les travaux de Sevaux et Sörensen [Sevaux & Sörensen 04]. Les auteurs ont étudié le problème à une ressource avec dates de disponibilité des travaux et avec comme objectif, la minimisation de la somme pondérée des retards. Leur but est de calculer un ordonnancement robuste dont la performance est insensible aux variations des dates de disponibilité des tâches. Les auteurs proposent une méthode de résolution basée sur les algorithmes génétiques et dénissent la fonction d'évaluation robuste suivante : fr(x) = (1/m)∑m_i=1wif (x + δi), où x + δi représente la solution dérivée, wi, le poids associé à la solution dérivée et m, le nombre

5.1 Tour d'horizon des méthodes 109 d'instances générées (xé dans leur cas à 10). Cette fonction ajoute donc du bruit i.e. une variable aléatoire δi, à la solution courante x avant évaluation pour un certain nombre d'instances. Ce bruit représente en fait une modication aléatoire des dates de disponibilité. Les auteurs montrent que l'approche est exible et est facile à implémenter, d'où l'intérêt de prendre en considération la nature non déterministe de certaines données lors du calcul de l'ordonnancement.