Experimental design and manipulations

Neste trabalho, os procedimentos utilizados para a calibração do problema PMP foram os utilizados pelos trabalhos de Howitt et al (2012), para a calibração da função CES, e para a calibração da função custo quadrática, dos trabalhos de Medellín-Azuarra et al (2009) e Maneta et al (2009a).

O processo de calibração do modelo PMP consiste de 5 (cinco) fases. A primeira fase consiste numa análise dos dados obtidos para o ano de referência. Neste estágio, é necessário que a margem bruta de cada cultura sobre os custos variáveis seja positiva. Se os retornos líquidos forem negativos, o modelo PMP irá zerar a quantidade produzida da cultura impactando na calibração do modelo.

Em relação aos dados utilizados neste trabalho, observou-se que algumas culturas (feijão, milho e laranja) apresentavam retornos líquidos negativos. Para estes casos, foi necessária a exclusão da cultura para a região e a exclusão das regiões onde a área irrigada da cultura foi representativa. Alguns perímetros cuja produção dessas culturas era intensiva, apresentaram uma representatividade do uso da água em relação ao volume total muito baixa para a estimação dos valores economicos. Com isso, perímetros como Manga de Baixo (45% de representatividade), Rodelas (50%) e Gloria (48%), foram descartados da devida estimação. Para todos os outros perímetros a representatividade foi superior a 80%, considerada uma representatividade satisfatória, inclusive com perímetros com mais de 95% do volume observado. Assim, os dados finais trabalhados consistiram de um mix contendo onze (11) culturas para doze (12) regiões e os mesmos quatro insumos.

O segundo estágio é a solução do modelo de programação linear da etapa i descrito na seção 4.2.1. Nesta etapa é fundamental observar os desvios entre os valores das variáveis de decisão obtidos e os valores observados para o ano de referência (considera-se nesta etapa como válido um desvio máximo de 1% dos valores observados). Outro teste, proposto por Howitt et al (2012), consiste em observar o número de preços sombras (multiplicadores de Lagrange) diferentes de zero das restrições de calibração (eqs. 39) (subconjunto preferível) adicionando ao número

desses mesmos valores (também chamados duais) diferentes de zero das restrições de insumos (subconjunto marginal) (eqs. 38). Este número deverá ser igual ao número de atividades produtivas (áreas plantadas com culturas) maiores que zero da região. Se esse teste não se verificar, significará que o modelo não possui uma boa informação de custo para calibrar o conjunto completo de culturas, apresentando assim soluções interiores para algumas culturas sem valores sombra de calibração para elas.

Para este trabalho foram observados 110 multiplicadores de Lagrange referente às restrições de calibração (eqs. 39) e 13 valores sombra em relação as restrições de recursos (eqs. 38). Este valor corresponde ao número de culturas diferentes de zero em todas as regiões (ver tabelas 2 a 5 do anexo II). Neste momento, foram também verificados os resultados obtidos em comparação com os valores observados. Todos os valores das variáveis de decisão calculadas por cultura apresentaram desvios menores do que o 1% aceitável.

Na figura 2, extraída de Howitt et al. 2012 é possível visualizar todas as etapas e testes da calibração do modelo SWAP. Neste trabalho utilizou-se até o estágio 4 para a calibração. Os estágios 5 e 6 observam o comportamento do consumidor das culturas produzidas. Como tanto a quantidade demandada da produção, quanto o preço das culturas foram consideradas exógenas, esses estágios não foram necessários.

Figura 2. Estágio e testes de calibração do modelo SWAP extraído de Howiit et al (2012)

A terceira etapa consiste em derivar os parâmetros para a função de produção com elasticidade de substituição constante (CES) para cada região e cultura a ser utilizada no programa de maximização não linear. Nesta etapa, seguiu-se o procedimento formulado por Howitt (1995), também apresentado em Howitt et al (2012). Foram calibrados os seguintes parâmetros da função de produção CES definida na equação (35): 𝑣, 𝜌𝑖,

𝛽𝑔𝑖𝑗 𝑒 𝜏𝑔𝑖 ( ver tabelas 11 a 52 do anexo III).

Para o parâmetro 𝑣, utilizou-se o pressuposto de retornos constantes de escala, adotando-se 𝑣 = 1. Este pressuposto tem como limitação o fato de não considerar a heterogeneidade dos fatores, ou seja, duas áreas com medidas iguais e mesma quantidade de insumos produzirá a mesma quantidade de produto, sem levar em consideração a qualidade da terra e a eficiência dos trabalhadores.

O parâmetro 𝜌𝑖 foi considerado, em todas as culturas e perímetros, o mesmo para todos

os insumos e foi definido por 𝜌 =𝜎−1

𝜎 , onde 𝜎 é a elasticidade de substituição dos

insumos. Neste trabalho, a elasticidade de substituição adotada foi 0.4, valor derivado do trabalho Maneta et al (2009a) e Torres et al (2012), que calibraram o modelo PMP

para sub-bacias no Médio São Francisco, e usaram valores de 0.25 até 0.8 para estas elasticidades de substituição. Seus resultados mostraram variações ínfimas nos resultados finais nesta faixa.

Os 𝛽_𝑔𝑖𝑗 foram obtidos usando os resultados das condições de primeira ordem do processo de maximização da etapa i, ou seja, das condições de primeira ordem da maximização linear do lucro (eqs. 37).

Os valores dos custos variáveis dos fatores 𝑤𝑗, a menos da terra, utilizados na equação

41, serão dados pelo custo individual de cada insumo (ver tabela 6 no anexo II) adicionado do custo marginal e o custo de oportunidade do insumo j, obtidos dos resultados do programa linear de maximização do lucro resolvido na primeira etapa de calibração do modelo PMP. (HOWITT et al, 2012)

Usando as condições de primeira ordem do problema de maximização não linear (eqs. 41, 42 e 43) tem-se que o valor do produto marginal do insumo j para cada cultura é igual ao custo marginal e o custo de oportunidade6 deste insumo j. Podendo-se escrever então a partir da derivação da equação 41 que:

𝛽_𝑗𝑋_𝑗𝜌−1𝜏𝑈 1 𝜌−1 _{= 𝑤} 𝑗 (44) Onde, 𝑈 = ∑ 𝛽_𝑔𝑖𝑗𝑋_𝑔𝑖𝑗𝜌𝑖 𝑗 .

Para os quatro insumos utilizados neste trabalho, dividindo as condições de primeira ordem e, também pelo conceito de retornos constantes de escala (∑𝑗𝛽𝑗 = 1), têm-se:

6 _{Este custo de oportunidade será dado pelo custo individual do insumo adicionado do valor dual da}

restrição do recurso (𝜆𝑔𝐿, 𝜆𝑔𝑊, 𝜆𝑔𝑆, 𝜆𝑖𝑔,𝑡𝑒𝑟𝑟𝑎𝑟 )e, quando vinculada, ou seja, quando não houver variável de folga na restrição de calibração (valor sombra maior que zero), ao valor dual da restrição de calibração 𝜆𝑖𝑔,𝑡𝑒𝑟𝑟𝑎𝑐 .

𝛽₁ = 1 [1 +𝑋1 𝜌−1 𝑤1 ∑ 𝑤𝑗 𝑋_𝑗𝜌−1 𝑗≠1 ] (45) 𝛽₂ = 𝛽₁𝑤2 𝑤₁( 𝑋₁ 𝑋₂) 𝜌−1 (46) 𝛽3 = 𝛽1 𝑤₃ 𝑤1 (𝑋1 𝑋3 ) 𝜌−1 (47) 𝛽₄ = 𝛽₁𝑤4 𝑤₁( 𝑋₁ 𝑋₄) 𝜌−1 (48)

Os valores obtidos com a calibração encontram-se nas tabelas 11 a 14 do anexo III deste trabalho.

Para o parâmetro 𝜏𝑔𝑖, utilizou-se a função de produção para os betas calculados e os

valores referentes ao ano base, a partir da igualdade entre a função de produção e os valores de produção observados e identificados na equação abaixo pela multiplicação entre a produtividade de cada cultura em cada região e a quantidade de terra irrigada utilizada (tabelas 9 e 2 do anexo II respectivamente).

𝜏_𝑔𝑖 = (_~𝑥𝑦𝑙𝑑 𝑙𝑎𝑛𝑑) 𝑥~𝑙𝑎𝑛𝑑 (∑ 𝛽_𝑔𝑖𝑗𝑥~_𝑔𝑖𝑗𝜌𝑖 𝑗 ) 𝑣 𝜌 (49)

Os valores calibrados do parâmetro 𝜏_𝑔𝑖 podem ser observados na tabela 15 do anexo III deste trabalho.

A etapa 4 do procedimento de calibração está relacionada aos parâmetros da função custo quadrática da terra, dada pela equação 40. Os valores a calibrar são 𝛼_𝑖𝑔 𝑒 𝛾_𝑖𝑔 (ver tabelas 16 a 53 para os valores calibrados para a faixa de elasticidade)

Considerando-se um equilíbrio de mercado competitivo, tem-se que o valor do produto marginal do fator terra (determinado no ano base por 𝑃_𝑖𝑔𝑃𝑀𝑔_{𝑖𝑔,𝑡𝑒𝑟𝑟𝑎}), deve ser igual ao

custo marginal do insumo, logo:

𝑃𝑖𝑔𝑃𝑀𝑔𝑖𝑔,𝑡𝑒𝑟𝑟𝑎= 𝐶𝑚𝑔𝑡𝑒𝑟𝑟𝑎 = 𝛼𝑖𝑔+ 𝛾𝑖𝑔𝑥𝑖𝑔,𝑡𝑒𝑟𝑟𝑎 (50)

Onde 𝑃𝑖𝑔 é o preço da cultura i na região j e adotando-se, para o ano de referencia, a

produtividade marginal do fator como sendo o parâmetro de produtividade da cultura (𝑦𝑙𝑔^ ) (ver tabela 9 do anexo II). Dessa maneira, isolando 𝑃_𝑖𝑔e substituindo 𝑥_{𝑖𝑔,𝑡𝑒𝑟𝑟𝑎} =

𝑌

𝑦𝑙𝑔^ , onde 𝑌 é a função de produção (eq. 36), obtém-se

𝑃_𝑖𝑔 = 𝛼𝑖 𝑦𝑙𝑔^ + 𝛾𝑖𝑔

𝑌_𝑖

𝑦𝑙𝑔^ 2 (51)

Derivando a equação 51 em relação a Y e utilizando o conceito de elasticidade de oferta da cultura (𝜂_𝑖 =𝜕𝑌𝑖

𝜕𝑃𝑖

𝑃𝑖

𝑌𝑖) e os valores observados para o ano base (ver tabelas 2 e 10 do anexo II), pode-se escrever o parâmetro 𝛾_𝑖𝑔 calibrado na forma de:

𝛾𝑖𝑔= 1 𝜂𝑖 𝑣𝑖𝑔𝑦^𝑙𝑔 𝑥 ~𝑖𝑔,𝑡𝑒𝑟𝑟𝑎 (52)

Para a elasticidade de oferta, devido à falta de estudos empíricos que apresentem esses valores na região e devido a pouca disponibilidade dos dados para a sua estimação, neste trabalho, utilizar-se-á uma faixa de valores, baseada em recomendações de pesquisadores que já calibraram o modelo para varias partes do mundo (ex. Josué Medellin-Azzuara). Desta forma, foram obtidas diversas curvas de demanda relacionadas com elasticidades de oferta entre 0.2 e 2. Os valores obtidos de 𝛾_𝑖𝑔 para todas as culturas, perímetros e elasticidades de oferta utilizadas podem ser vistos nas tabelas 35 a 53 do anexo III deste trabalho.

Assim, será possível observar o comportamento dos valores duais finais da água obtidos para situações de baixa elasticidade (0.2) e alta (2.0), verificando por fim sua variabilidade. Para a calibração do parâmetro 𝛼_𝑖𝑔, usa-se a equação de custo marginal

dada em (40):

O custo marginal da terra é determinado pela etapa i do problema PMP, ou seja, pela solução do problema de maximização do lucro linear, dado pelas equações 37, 38 e 39. O mesmo foi dado pelo custo individual do fator para o período base (𝑤~_𝑖𝑔) (ver tabela 6 no anexo II) adicionado dos valores sombra das restrições de recursos e de calibração

(𝜆_{𝑖𝑔,𝑡𝑒𝑟𝑟𝑎}𝑟 𝑒 𝜆_{𝑖𝑔,𝑡𝑒𝑟𝑟𝑎,}𝑐 respectivamente). Dessa maneira, combinando-se estes resultados

com a equação acima, obtém-se 𝛼_𝑖𝑔 por:

𝛼_𝑖𝑔 = 𝑤~_𝑖𝑔 + 𝜆_{𝑖𝑔,𝑡𝑒𝑟𝑟𝑎}𝑟 + 𝜆_{𝑖𝑔,𝑡𝑒𝑟𝑟𝑎}𝑐 − 𝛾_𝑖𝑔𝑥~_{𝑖𝑔,𝑡𝑒𝑟𝑟𝑎} (53)

Os resultados 𝛼𝑖𝑔 obtidos neste trabalho podem ser visualizados nas tabelas 16 a 34 do

anexo III

Por fim, a etapa cinco, consiste em obter os resultados do modelo de programação não linear com esses parâmetros e sem as restrições de calibração. Os valores das variáveis de decisão devem reproduzir os dados de produção observados. Neste caso, diferenças de até 1% serão consideradas normais devido a possíveis perturbações na calibração.

Neste trabalho, com a função de produção CES e a função custo quadrática da terra calibrada, conforme esta seção, foi efetuada a terceira etapa do modelo e a observação dos resultados propostos. Os resultados acerca da alocação dos insumos entre as culturas e regiões permaneceram apresentando variações em relação aos valores observados menores que 1%, podendo considerar, dessa maneira, o modelo bem calibrado.