Expérimentations sur images synthétiques

Dans le but d’évaluer la robustesse de la méthode, nous l’avons testée sur deux images synthétiques respectivement dégradées avec un bruit Gaussien et un bruit de Poisson. L’expérimentation reprend le principe, tout en étant plus complète, de celles utilisées pour l’évaluation des méthodes de construction d’image floues en déployant un patron sur les niveaux de gris d’une image nette et en utilisant les filtres de rang. L’image originale est composée de 25 disques disposés dans un fond uniforme comme illustré à la figure 4.11. Les niveaux de gris des disques en partant du coin en haut à gauche, vers le coin en bas à droite sont décroissants à partir de l’intensité du fond (égale à275) moins un. Cela permet de considérer

des disques avec un rapport contraste à bruit (RCB) croissant. Sans bruit, une simple notion de zones plates classique en plus d’un critère sur la taille des disques permet de tous les récupérer. Dans notre expérimen- tation, nous évaluons la capacité à extraire les mêmes zones à partir d’une IIF en utilisant la notion floue de zones plates.

Expérimentations

Dans chaque cas, l’image dégradée est décomposée sur une base d’ondelettes introduite par Daubechies (1988) en utilisant quatre niveaux de décomposition. Les coefficients d’ondelettes sont alors convertis en nombre flous dans le but de générer une image d’intervalles flous en utilisant la méthode décrite dans les sous-sections précédentes. Pour extraire les disques, les images floues sont filtrées en utilisant le filtre présenté à l’équation 4.1.

Tout comme dans les expérimentations précédentes, le résultat de ce filtre sera interprété en utilisant l’opérateur agg. Un exemple de détection dans l’image de la figure 4.11(b) est donné à la figure 4.11(e). Idéalement, l’ensemble flou résultant de la détection est égal à un dans les disques et à zéro dans le fond. Ainsi, pour chaque disque, on calcule une mesure de similitude (Rifqi, 1996) avec l’ensemble net égal à un dans le disque considéré et à zéro dans le reste de l’image dans le but d’évaluer comment se comporte la méthode pour différents rapports contraste à bruit. En pratique la mesure suivante a été utilisée :

∀(f1, f2)∈ S2 S(f1, f2) =

P

p∈Ωmin(f1(p), f2(p))

P

p∈Ωf2(p)

Evidemment, la quantité de flou introduite dans l’image va jouer un rôle important sur la capacité à extraire les disques de l’image. En utilisant le théorème 4.3.2, la mesure de similitude précédente pour les différents disques peut facilement être évaluée pour divers valeurs de qfpp sans avoir besoin de reconstruire une image floue à chaque fois.

Bruit gaussien

La figure 4.12 illustre les capacités de détection de l’approche sur l’image de la figure 4.11(b), qui contient du bruit gaussien d’écart type de 16,5. On observe que pour chaque rapport contraste à bruit, il y a une quantité de flou par pixel optimale pour la détection du disque correspondant. De trop petites valeurs de qfpp ne permettent pas de reconnecter les disques tandis que de trop grandes valeurs tendent à fusionner le disque et le fond ne permettant ainsi aucune détection. Un second aspect clé est que comme ces valeurs optimales dépendent du rapport contraste à bruit du disque cible, il n’est pas possible de construire une unique image floue qui permette de détecter de manière optimale chacun des disques. Les valeur optimales de qfpp pour les disques de faible contraste sont proches de0 alors qu’elles sont bien plus grandes pour

des disques mieux contrastés. Néanmoins, dans un cadre de détection, des compromis peuvent être trouvés. En effet, si on choisit une qfpp optimisant la détection d’une structure assez contrastée, la détection de structures plus contrastées sera au moins d’aussi bonne qualité : dans la plupart des applications, un masque imparfait représentant les structures recherchées peut suffire pour initialiser d’autres traitements comme par exemple de la segmentation.

On peut se référer aux images des figures 4.11(d), 4.11(e) et 4.11(f) pour avoir un aperçu des détections dans l’image bruitée pour différentes quantités de flou. On remarque que pour de faibles qfpp, les premiers disques qui commencent à apparaître sont les moins contrastés (c.f. figure 4.11(d)). Néanmoins ils ne sont que faiblement détectés. Si on augmente la quantité de floue dans l’image, on peut obtenir une détection correcte de quasiment tous les disques (c.f. figure 4.11(e)). Seuls les deux moins bien contrastés posent

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

(g) (h) (i)

FIG. 4.11 – (a) Image originale composée de 25 disques de différents contrastes. (b) La même image corrompue avec un bruit gaussien (écart type de 16,5). (c) La même image avec un bruit de Poisson. (d), (e) et (f) Exemples de détection à partir de l’image (b) pour des qfpp égales à 3,5, 6, 12. (g), (h) et (i) Exemples de détection à partir de l’image (c) pour des qfpp égales à 3,5, 6, 9.

problème : l’un n’étant pas détecté et l’autre faiblement. Enfin le dernier exemple (c.f. figure 4.11(f)) illustre le critère d’optimalité de la quantité de flou à introduire. En effet, on peut remarquer que les disques les mieux contrastés sont mieux détectés que dans l’exemple précédent alors que les disques les plus faiblement contrastés sont moins bien détectés (colonne de gauche). On remarquera enfin que dans certains cas comme par exemple dans la figure 4.11(f), des structures autres que les disques sont détectées. Cela est dû au critère utilisé pour extraire les disques. En effet, on n’utilise que l’aire des composantes connexes, ainsi des composantes reconnectées de manière artificielle peuvent aussi correspondre à ce critère. De plus les images présentées étant des images d’agrégation, le fait que certaines de ces zones soient connexes aux disques ne signifie pas qu’elles soient réellement connexes dans l’image floue puisque les détections peuvent provenir de niveaux de gris différents. De manière pratique, ce fait se vérifie, de plus lorsque les disques sont vraiment connexes dans l’images floue à des zones reconnectées de manière abusive, les définitions de connexité d’un ensemble flou nous assurent que les degrés d’appartenance décroissent rapidement comme on peut le voir par exemple sur le second disque de la seconde colonne dans la figure 4.11(f). Enfin, on peut aussi ajouter qu’à cause de l’imperfection de l’image floue, un disque est représenté par plusieurs zones plates floues dans l’image floue, ainsi en ne considérant pas celles précédemment décrites, en utilisant par exemple un critère plus évolué que simplement l’aire, on peut tout de même détecter les disques. Finalement, dans la

0 5 10 15 20 25 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 RCB qfpp

FIG. 4.12 – Evolution de la similitude entre les disques présents dans l’image de la figure 4.11(a) et leur dé- tection en utilisant l’équation 4.1 couplée à l’opérateur agg, dans l’image corrompue avec un bruit gaussien de la figure 4.11(b). Les similitudes sont données en fonction du rapport contraste à bruit et de la quantité de flou par pixel introduite dans l’image floue.

mesure où le but de l’expérience n’est pas ici de faire un détecteur de disque, mais plutôt de vérifier si ces disques sont présents dans l’image floue et s’ils peuvent être récupérés, cela n’a que peu d’impact sur les conclusions que l’on peut tirer de cette expérimentation.

Bruit de Poisson

Dans le cas d’une image contenant un bruit de Poisson, on ne peut pas utiliser directement l’approche de débruitage par ondelettes dont les seuils optimaux sont fournis par GCV. En effet cette technique fait l’hypothèse que le bruit présent dans l’image est gaussien (Jansen, 2001). Néanmoins, on peut appliquer un pré-traitement sur l’image nette en utilisant les travaux de Anscombe (1948) visant à stabiliser la variance du bruit. De cette manière, on obtient des données avec une distribution plus proche du cas gaussien. Ce pré-traitement consiste à appliquer la fonction de transfert suivante :

tf(x) = 2

r

x +3

8

L’évolution de la détectabilité pour cette configuration de bruit est différent du cas gaussien comme on peut le voir dans la figure 4.13. Ici, de petites valeurs de qfpp permettent de détecter en premier les disques de fort contraste à bruit. Ce résultat est assez intuitif dans la mesure où le fond a une intensité plus grande que celle des disques, ce qui a pour conséquence que le bruit à l’intérieur de ces derniers devient de plus en plus faible à mesure que le contraste augmente (l’intensité du disque, et par conséquent la variance du bruit diminuent). La variation autour de ces zones plates étant plus faible, une quantité de floue moins importante est requise pour les extraire. Enfin, les conclusions à propos des valeurs optimales de qfpp et de leur dépendance au contraste sont encore valides.

Tout comme dans le cas gaussien, on peut se référer aux figures 4.11(g), 4.11(h) et 4.11(i) pour apprécier le résultat de la détection dans les images floues construites à partir de l’image bruitée de la figure4.11(c) . La première image illustre le fait que les disques les plus contrastés sont les premiers à être détectés lorsque l’on augmente progressivement la quantité de flou dans l’image. La deuxième figure illustre un compromis sur la quantité de flou à utiliser pour extraire de manière correcte un grand nombre de disques. Enfin en comparant cette dernière détection à la troisième image, on peut s’apercevoir que les remarques sur l’optimalité de la quantité de flou à introduire dans l’image sont toujours valables : les disques les mieux contrastés sont mieux détectés alors que les moins bien contrastés se dégradent.

0 5 10 15 20 25 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 RCB qfpp

FIG. 4.13 – Evolution de la similitude entre les disques présents dans l’image de la figure 4.11(a) et leur détection en utilisant l’équation 4.1 couplée à l’opérateur agg, dans l’image corrompue avec un bruit de Poisson de la figure 4.11(c). Les similitudes sont données en fonction du rapport contraste à bruit et de la quantité de flou par pixel introduite dans l’image floue.