La détection automatique de cancers permet de fournir au radiologue des outils très utiles dans sa tâche de dépistage du cancer du sein. Parmi les signes qu’il est intéressant de détecter on peut citer les microcal-
cifications, les masses et les distorsions architecturales. Une grande panoplie de techniques existe pour les détecter en mammographie conventionnelle.
Avec l’arrivée de la tomosynthèse, l’intérêt d’outils de détection automatique reste d’actualité. Comme on l’a vu, la quantité de méthodes proposées dans la littérature pour détecter des signes suspects dans ce nouveau type d’imagerie est moins importante que pour la mammographie conventionnelle. Cependant des travaux d’une certaine maturité proposent déjà des solutions prometteuses. Dans ce contexte nous propo- sons une chaîne à deux canaux permettant la détection d’opacités et de distorsions architecturales. Pour cela nous introduisons plusieurs outils reposant sur la logique floue. Ces derniers seront étudiés dans les différents chapitres de ce manuscrit. Nous montrerons aussi que notre approche est compétitive par rapport aux méthodes de référence.
Chapitre 2
Filtres connexes flous
La segmentation de structures dans les images médicales est souvent exprimée comme l’extraction de ré- gions connexes de radiométrie stable (Mumford et al., 1988; Leclerc, 1989; Zhu et Yuille, 1996). Les filtres connexes que l’on retrouve dans la littérature entre autres dans les travaux de Klein (1985); Vincent (1993); Serra et Salembier (1993); Heijmans (1997) ont été introduits à cet effet et ont montré leur intérêt notam- ment pour accomplir des tâches de filtrage et de segmentation (Salembier et Serra, 1995; Salembier et al., 1998; Vincent, 1993).
Cependant ces filtres semblent moins bien adaptés pour répondre à un problème de reconnaissance tel que l’extraction d’objets supposés connexes, de radiométrie stable et répondant à certains critères (tels qu’un cardinal a priori). En effet ne sont considérées comme zones plates que des régions de radiométrie constante, ce qui n’est pas le cas des objets recherchés en raison, en particulier, du bruit qui affecte l’image. Il en va de même pour les filtres connexes construits à partir de seuillages successifs de l’image dans la mesure où le bruit joue un rôle sur la qualité des composantes connexes extraites par leur intermédiaire.
Plutôt que de filtrer les images avant de réaliser la reconnaissance, ce qui constitue l’approche clas- sique, nous intégrons dans la représentation de l’image l’imprécision affectant les intensités observées. Les ensembles flous fournissent un cadre approprié pour la représentation de cette imprécision, ainsi que pour la représentation des régions. L’image est alors représentée sous forme d’image floue où le niveau de gris en chaque point est modélisé par une quantité floue (ensemble flou défini sur l’ensemble des niveaux de gris possibles). En couplant ce type de représentation à des définitions classiques de connexité floue, on peut proposer une approche innovante par rapport à ce qui existe dans la littérature pour assouplir la notion de zone plate (Wilkinson, 2007; Braga-Neto et Goutsias, 2003a), mais aussi plus généralement aux définitions de filtres connexes.
Dans un premier temps, nous donnerons quelques rappels sur ce que sont les filtres connexes et comment ils sont utilisés avec des images à niveaux de gris. Ensuite, nous introduirons un nouveau formalisme pour représenter l’imprécision contenue dans les images. Ce dernier nous permettra dans un troisième temps de proposer une extension dans le domaine des ensembles flous des filtres connexes. Nous finirons enfin par présenter une utilisation concrète de ce nouveau type de filtrage sur des images de tomosynthèse du sein.
2.1
Les filtres connexes
Nous notonsΩ l’espace discret Zn muni d’une connexité discrètec
d et représentant le support des
images à niveaux de gris. En notantG l’ensemble des niveaux de gris d’une image, on définira I comme l’ensemble des images à niveaux de grisI : Ω→ G. On notera 2Ωl’ensemble des sous-ensembles deΩ.
Les filtres connexes pour les images à niveaux de gris reposent essentiellement sur la capacité d’extraire des composantes connexes binaires de l’image et de les filtrer grâce à un opérateur connexe binaire. Le but de cette section n’étant que de donner une idée de ce que sont les filtres connexes, nous rappellerons brièvement dans un premier temps la définition binaire de ce type d’opérateurs, puis nous parlerons de leurs extensions aux images à niveaux de gris pour enfin finir par un tour d’horizon sur les grandes classes d’opérateurs connexes dédiés à ces dernières images.
L’annexe A regroupe quelques notions qui servent de base aux travaux proposés dans ce chapitre. On pourra aussi se référer à d’autres ouvrages pour approfondir ces notions (Klette et Rosenfeld, 2004).
2.1.1
Opérateurs connexes binaires
Un opérateur connexe binaire repose sur la notion de connexité. Ainsi on dira qu’un ensemble est connexe s’il vérifie la définition suivante.
Définition 2.1.1. Un ensembleN ∈ Ω est connexe si pour tout couple de points de cet ensemble, il existe
un chemin (au sens de la connexitécddéfinie surΩ) reliant ces deux points tels que tous les points de ce
chemin appartiennent àN .
(a) (b) (c)
FIG. 2.1 – Filtrage d’un ensemble binaire (a) avec un opérateurφ connexe (b) et un opérateur φ non connexe
(c).
Définition 2.1.2. L’ensembleC(N) des composantes connexes d’un ensemble N ⊆ Ω est l’ensemble des ensembles connexes de taille maximale inclus dansN .
Définition 2.1.3. Pour tout ensemble netN , on définit la composante connexe associée à un point p comme
l’ensemble des pointsp′∈ Ω tels que ˆΓpN(p′) = 1 avec ˆΓ défini comme :
∀(p, p′)∈ Ω2 Γˆp
N(p′) =
1 si p et p′sont connexes dansN ou N
0 sinon
Lors de la définition de la connexité discrètecd surΩ, on remarquera que les connexités utilisées dans
N et son complémentaire N ne sont pas forcement les mêmes. Par exemple si on utilise une 4-connexité
pour l’objet (N ), on devra utiliser une 8-connexité pour le fond (N ). On se reportera à l’annexe A.2 pour
plus d’information sur les différents types de connexité.
Enfin on utilisera la définition suivante pour dire qu’un opérateur est connexe : Définition 2.1.4. Un opérateurφ : 2Ω
→ 2Ωest un opérateur connexe si :
∀N ⊆ Ω (C(N ∩ φ(N)) ⊆ C(N)) ∧ (C(N ∩ φ(N)) ⊆ C(N))
Plus concrètement, cela signifie qu’un opérateur est connexe si l’ensemble des composantes connexes contenues dans l’ensemble d’entrée contient les composantes connexes formées par les éléments qui sont passés de l’état d’objet à fond par le filtrage. De même, un tel opérateur doit s’assurer que les composantes connexes formées par les éléments passant du statut de fond à objet sont bien incluses dans l’ensemble des composantes connexes contenues dans le fond de l’ensemble d’entrée. La définition précédente se traduit par l’idée que chaque composante connexe du fond (resp. de l’objet) peut après filtrage parφ soit devenir
complètement de l’objet (resp. du fond) ou rester telle quelle. Il est important de remarquer qu’ainsi une composante connexe ne peut être coupée par l’opérateur. Un opérateur connexe ne peut donc pas créer de nouveaux contours : il peut juste en garder ou en supprimer. La figure 2.1 présente un exemple de ce processus. Dans le cas de l’opérateur connexe (b), un objet (en noir) disparaît alors que dans le cas de l’opérateur non connexe (c), un objet se voit modifié par l’ajout d’une nouvelle composante connexe appartenant au fond (en blanc), invalidant ainsi la première partie de la définition 2.1.4.
2.1.2
Extension aux images à niveaux de gris et filtres de nivellement
Selon la définition donnée par Salembier et Serra (1995), les zones plates (flat-zones) d’une image
I : Ω → G sont les plus grandes régions connexes de Ω sur lesquelles I est constante. Les zones plates
forment une partition de l’image. Leur extraction et leur filtrage peuvent être réalisés efficacement. Cepen- dant la notion d’homogénéité radiométrique considérée est très stricte et peu robuste au bruit qui peut altérer l’image.
Définition 2.1.5. Un opérateur connexeδ :I → I pour les images à niveaux de gris est un opérateur qui
ne crée pas de nouveaux contours dans l’image filtrée, c’est-à-dire que toute zone plate qui peut être extraite de l’image d’entrée est incluse dans une zone plate extraite de l’image filtrée :
∀I ∈ I, ∀p ∈ Ω ˆΓpIp⊆ ˆΓpδ(I)p
avec∀p ∈ Ω l’ensemble Ipdéfinit comme suit :∀p′∈ Ω (p′ ∈ Ip)⇔ (I(p) = I(p′))
Ainsi les zones plates contenues dans l’image d’entrée ne peuvent pas être cassées en deux.
Une grande classe d’opérateurs connexes utilisés dans la littérature (Meyer, 2005) sont les filtres de nivellement. Ces derniers sont des opérateurs connexes qui préservent la direction des transitions locales. Ainsi, un minimum local ne peut pas être transformé en maximum local et inversement. Ces filtres sup- priment entre autres les extrema mais ne peuvent en aucun cas en créer de nouveaux.
Bien sûr, sans autres contraintes sur les définitions, on ne peut généralement pas parler de filtres au sens morphologique du terme dans la mesure où l’on ne peut généralement pas garantir des propriétés comme l’idempotence ou la croissance de tels opérateurs (c.f. annexe A.3 pour plus de détails). On remarquera que selon les applications, des filtres de nivellement n’ayant pas ces propriétés peuvent s’avérer néanmoins inté- ressants. On peut citer pour l’exemple l’arasement volumique introduit par Vachier (2001) ou des variantes qui sont utilisées en classification (Géraud et al., 2004).
2.1.3
Ouvertures d’attribut et filtres d’amincissement (thinning)
D’un point de vue plus pratique, Breen et Jones (1996) ont introduit deux grandes classes de filtres : les ouvertures d’attribut et les filtres d’amincissement. Le principe général est de définir un filtre connexe binaire par l’intermédiaire d’un critèreC qu’une composante connexe doit respecter pour être conservée
dans le but de filtrer tous les seuillages possibles de l’image d’entrée. Plus concrètement, le critère peut être par exemple l’aire de la composante, ou le diamètre d’un disque englobant la composante. De manière générale, on peut écrire un filtreδ de la façon suivante :
∀I ∈ I, ∀p ∈ Ω δ(I)(p) = maxnt/C ˆΓp
Xt+(I)
= 1o
avecXt+(I) l’opérateur de seuillage qui retourne l’ensemble des points dont l’intensité est supérieure ou
égale àt et C un critère à valeur dans{0, 1} que les composantes connexes doivent respecter.
La différence entre ces deux types de filtres réside dans la propriété de croissance queC peut avoir. En
effet, en cas d’absence de cette propriété (cas des amincissements), on ne se trouve plus dans un cadre où le filtre ne fait que réduire des maxima de l’image. Cela a pour effet de produire généralement des images qui contiennent des contours artificiels. Néanmoins les deux types de filtres peuvent avoir des comportements adaptés à différentes applications (simplification d’image, segmentation, etc.). Ces différents filtres sont discutés plus en détails à l’annexe A.4.1.