Le manque de modélisation n’est pas le seul problème de l’approche précédente lorsque l’on désire considérer des images qui contiennent du bruit statistique. En effet, il n’est pas possible d’utiliser un en- semble flou pour représenter ce type de variation. Cela a pour conséquence de rendre les images floues inaptes pour ce type d’applications. Une solution pour pallier ce problème serait de modifier la définition de ces images, en utilisant par exemple des variables aléatoire floues (Lopez-Diaz et Gil, 1997), pour faire en sorte qu’elles soient capables de représenter ce type de dégradation. Cependant, la structure des don- nées serait encore plus complexe et donc très difficile à manipuler. Une autre solution peut être de tenter de supprimer la composante correspondant au bruit. Après discussion de ce principe, nous allons présenter une manière simple de le mettre en œuvre en utilisant des filtres de débruitage classiques et en illustrant les résultats que l’on peut obtenir sur la même image synthétique que précédemment. Enfin nous proposerons une approche générale pour construire une image floue à partir d’un filtre de débruitage quelconque.
4.2.1
Débruitage d’images et construction d’image floues
Dans le but de se débarrasser du bruit contenu dans les images nettes, de nombreuses méthodes de dé- bruitage existent. Malheureusement, ces dernières dépendent souvent d’un paramètre et ne produisent pas un résultat parfait (on n’obtient pas l’image originale sans bruit). La plupart du temps, on obtient un compro- mis entre la suppression du bruit et la conservation de l’information présente dans l’image. Généralement, les paramètres sont fixés de telle manière à ce qu’ils optimisent un critère qui modélise ce compromis. Bien sûr, différent critères donnent généralement différents paramètres avec différentes propriétés. Par exemple on peut vouloir être sûr de conserver les structures faiblement contrastées en contrepartie d’une réduction sommaire du bruit dans l’image. Au contraire, on peut vouloir une image sans bruit et ce même si des struc- tures disparaissent. En définissant de tels critères à cette étape, on prend de manière implicite une décision qui peut donc résulter en une perte d’information qui peut se révéler problématique sur des traitements qui doivent être faits en aval. Pour illustrer cela, on peut prendre l’exemple d’une image dans laquelle on recherche des zones iso-denses faiblement contrastées. Une étape de débruitage peut faire disparaître complètement ces zones et rendre leur détection par un filtre (connexe ou autre) impossible.
Pour éviter ce genre de problèmes, on peut essayer de garder le plus d’information possible dans le but de prendre une décision plus tard (au moment de la détection par exemple). De manière concrète, on peut essayer de reporter l’imprécision des paramètres du filtre de débruitage pour obtenir une imprécision sur les niveaux de gris débruités. Dans ce contexte, on remarquera qu’une image floue est tout à fait adaptée pour gérer ce genre d’information. De plus comme on l’a vu dans les chapitres précédents, un cadre théo- rique permet de définir des filtres permettant de tirer parti de l’imprécision de ces images pour prendre des décisions.
4.2.2
Construction d’image floues à partir de filtres de rang
Principe
Pour illustrer le principe de construction d’une image floue à partir d’une méthode de débruitage, on peut prendre l’exemple de filtres de rang. L’idée est de combiner plusieurs filtres de rang pour obtenir un
intervalle flou représentant les niveaux de gris possibles après débruitage. Pour l’exemple nous considére- rons les trois filtres de rang suivants : la dilatation, l’érosion et le filtre médian, en faisant l’hypothèse que les niveaux de gris obtenus après filtrage d’une imageI∈ I par les deux premiers filtres correspondent aux
valeurs de niveau de gris qui ne sont pas possibles et que le résultat du filtre médian donne les valeurs de niveaux de gris les plus possibles. De manière intuitive, on peut justifier ce choix en considérant que la dila- tation et l’érosion, qui sont généralement de mauvais filtres en terme de débruitage, fournissent des bornes pour les valeurs possibles de niveau de gris alors que le filtre médian a un meilleur comportement en terme de régularisation et donc de débruitage. On peut donc construire une INF en associant pour chaque pixel
p de l’image, le nombre flou F (p,∗) défini comme un triangle qui vaut 1 pour la valeur de niveau de gris
obtenu par le filtre médian,0 pour les valeurs obtenues par érosion et dilatation et des degrés intermédiaires
entre ces dernières comme illustré à la figure 4.3.
G
Ω G
0 1
gmin gmedgmax
FIG. 4.3 – Etape de construction de nombres flous à partir de filtres de rang. (a) Image1D originale en noir
filtré par une érosion (en rouge), une dilatation (en bleu) et un filtre médian (en vert). (b) Construction d’un niveau de gris flou pour le point marqué en gris dans (a) à partir des résultats des trois filtrages.
Dans ce type de procédé, la composante statistique est supprimée par l’étape de filtrage, et l’imprécision à propos de ce filtrage est introduite sur les niveaux de gris dans l’image floue.
Exemple de filtrage
Pour valider l’approche, on peut reprendre l’exemple de détection de la section précédente comme illustré à la figure 4.4. Dans cet exemple, l’image floue est construite à partir des trois filtres de rang utilisés précédemment (min, max et médian). Les figures 4.4(d), 4.4(e) et 4.4(f) présentent trois coupes associées aux niveaux de gris10, 20 et 40 de l’image ainsi construite. On remarquera tout d’abord que pour chaque
disque on retrouve la marque du contour pour tous les niveaux de gris compris entre celui du fond et celui du disque considéré. Cela s’explique par le fait que l’étape de filtrage par l’érosion et la dilatation vont introduire une grande imprécision au niveau des contours : le minimum dans le voisinage va venir du fond alors que le maximum va venir du disque. On remarquera aussi l’aspect légèrement morcelé de l’image qui est dû au filtrage médian. Enfin, on remarquera qu’il n’y a plus de trous dans les zones plates détectées comme on peut le voir à la figure 4.4(c) : ici la représentation par une fonction d’appartenance en forme de triangle des niveaux de gris est suffisante car il n’y a plus l’aspect du support infini du bruit gaussien (ce dernier est en partie éliminé par les filtrages).
4.2.3
Application du principe d’extension pour construire des images floues
On peut continuer sur l’idée précédente sur la transformation de la composante de bruit en imprécision de débruitage. En effet si on reprend le raisonnement de manière générale en considérant un filtre dépendant d’un paramètre quelconque, en supposant que l’on est capable de formuler l’imprécision sur notre critère de débruitage en définissant une fonction d’appartenance sur ce paramètre, on peut utiliser le principe d’extension (Zadeh, 1975) pour générer une image floue.
On peut définir une telle approche de manière générique. SoitI ∈ I une image nette, Υγ un filtre de
débruitage avec γ un paramètre permettant d’influer sur le comportement de ce filtre. Si on est capable
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
(g) (h) (i)
FIG. 4.4 – Exemple d’extraction de zones plates en fonction d’un critère d’aire sur l’image (b), version bruitée de (a). Les images (d), (e) et (f) représentent les coupesF (∗, 10), F (∗, 20) et F (∗, 40) de l’image
floue avant filtrage construite à partir de filtres de rang. Les images (g), (h) et (i) représentent ces mêmes coupes après filtrage. L’image (c) représente l’agrégation du résultat du filtrage de tous lesF (∗, g), g ∈ G
en utilisant l’opérateur agg.
gris de chaque pixel un degré d’appartenance. Le principe d’extension nous donne :
∀I : Ω → G, ∀p ∈ Ω, ∀g ∈ G F (p, g) = sup
Υγ(I)(p)=g µγ
Cette méthode est illustrée dans la figure 4.5. Le problème d’une telle approche est le besoin de calculer un grand nombre d’images débruitées (une par valeur deγ). Pour cette raison, nous nous intéresserons dans
le reste de ce chapitre à une méthode dédiée qui est une extension du débruitage par ondelettes dans le cadre des ensembles flous.