2.3 Les filtres connexes flous
2.3.1 Connexité des ensembles flous
La notion de connexité des ensembles flous a fait l’objet de différentes définitions comme celle pro- posée par Rosenfeld (1979) ou encore celle de Nempont et al. (2008), la plus répandue étant la première. Ces notions de connexité peuvent être représentées et manipulées de façon appropriée par une hypercon- nexion (Serra, 1998; Braga-Neto et Goutsias, 2003b). Nous notonsH ⊆ F l’ensemble des ensembles flous connexes au sens d’une de ces définitions.
Connexité de Rosenfeld (1979)
La connexité floue la plus simple a été introduite par Rosenfeld (1979). L’idée est d’associer un degré de connexité entre deux points dans un ensemblef ∈ S en utilisant la définition suivante :
Définition 2.3.1. Le degré de connexité dans un ensemble flouf ∈ S entre deux points p et p′deΩ2est
(Rosenfeld, 1984, 1992, 1998) : cf(p, p′) = max L∈{cheminp,p′} (min pi∈L f (pi))
avec{cheminp,p′} l’ensemble des chemins de p vers p′en utilisant la connexité discrète surΩ.
En utilisant cette définition, on peut introduire la notion de composante connexe associée à un point en utilisant la définition suivante :
Définition 2.3.2. La composante connexe associée à un pointp∈ Ω est exprimée comme : ∀p′∈ Ω ˜Γpf(p′) = cf(p, p′)
La définition 2.3.1 implique que le degré de connexité entre deux pointsp et p′ d’un ensemble flou
connexef est égal à min(f (p), f (p′)). D’un point de vue topologique, si on considère un ensemble flou
connexe comme un paysage, la définition 2.3.2 implique qu’en partant de son unique sommet (qui peut être un plateau), on ne peut que descendre ou stagner. On définira de manière plus générale un ensemble connexe de la manière suivante :
Définition 2.3.3. Un ensemblef ∈ S est un ensemble connexe flou ssi toutes ses α-coupes sont connexes
au sens de la connexité discrètecd(Rosenfeld, 1979).
L’idée derrière cette définition est que l’on considère qu’un ensemble flou est connexe si chacune de
ses α-coupes contient au plus une composante connexe au sens binaire (c.f. figure 2.4). On notera H1
l’ensemble des composantes connexes deS selon cette définition. Hyperconnexion de Braga-Neto et Goutsias (2003b)
Bien que très intuitive, la définition précédente a pour défaut majeur d’être assez stricte. En effet, pour qu’un ensemble flou soit considéré comme connexe, il faut que toutes sesα-coupes le soient. Cela peut
poser problème lorsque des petites variations dans l’ensemble flou invalident cette définition. De plus, étant une mesure en tout ou rien, il se pose aussi un problème de continuité. Pour contourner ces problèmes, on peut utiliser les travaux de Braga-Neto et Goutsias (2003b) dans le but d’assouplir la définition précédente. Pour se faire, on définit une hyperconnexionH1τ, qui représente l’ensemble des ensembles flous connexes modulo le paramètreτ qui correspond à la limite de ce que l’on considère comme connexe :
1 0 Ω (a) 1 0 Ω (b)
FIG. 2.4 – Illustration de H1. (a) Ensemble flou connexe selon la définition 2.3.3. (b) Ensemble non connexe.
Définition 2.3.4. Pour toutτ ∈ [0, 1], l’hyperconnexion H1
τ s’exprime de la manière suivante :
H1
τ={f ∈ S/∀α ≤ τ, fαest connexe}
En d’autres termes on s’autorise à avoir plusieurs composantes connexes dans lesα-coupes pour des α > τ comme on peut le voir à la figure 2.5. Toujours dans l’optique d’assouplir la notion de connexité, on
peut définir un degré de connexité à partir de cette hyperconnexion.
1 0 Ω τ = 0.35 (a) 1 0 Ω τ = 0.1 (b)
FIG. 2.5 – Illustration deH1τ. (a) Ensemble appartenant àH10.35. (b) Ensemble appartenant àH10.1. Le degré de connexité du premier ensemble est supérieur à celui du deuxième bien que visuellement, ce dernier semble le plus connexe.
Définition 2.3.5. Le degré de connexité d’un ensemble flou en fonction des hyperconnexions{H1τ, τ ∈
[0, 1]} s’exprime comme :
∀f ∈ S c1(f ) = maxτ ∈ [0, 1]/f ∈ H1τ
Hyperconnexion proposée par Nempont et al. (2008)
Le problème avec l’hyperconnexion précédente est que des faibles variations dans la fonction d’appar- tenance d’un ensemble flou ne sont pas traitées de la même manière si elles apparaissent pour des niveaux
d’α-coupes élevés ou pour des niveaux d’α-coupes faibles. Pour cette raison, Nempont et al. (2008) ont
introduit une nouvelle hyperconnexion reposant sur un nouveau degré de connexité d’un ensemble flou. Ce denier repose sur le degré de connexité de deux points dans un ensemble flou.
Définition 2.3.6. Le degré de connexité c2
f entre deux pointsp, p′ deΩ dans un ensemble flou f ∈ S
s’exprime comme :
Ce degré de connexité s’obtient en faisant le constat que pour tout ensemble flouf , pour tout couple
de points(p, p′) ∈ Ω, on a toujours c
f(p, p′) ≤ min(f(p), f(p′)), ce qui permet de dire que l’expression
cf(p, p′) = min(f (p), f (p′)) que vérifie un ensemble flou au sens de la définition 2.3.3 est équivalente à
cf(p, p′)≥ min(f(p), f(p′)). En substituant l’inégalité par une implication de Lukasiewicz (on écrit a≤ b
sous la formemin(1, b + 1− a) pour b = cf(p, p′) et a = min(f (p), f (p′))), on obtient c2f(p, p′) comme
degré de satisfaction pour cette inégalité (Nempont et al., 2008).
Ce degré de connexité entre deux points permet d’associer un degré de connexité à un ensemble flou : Définition 2.3.7. Le degré de connexitéc2d’un ensemble flouf ∈ S s’exprime comme :
c2(f ) = min
p,p′∈Ωc
2 f(p, p′)
En utilisant ce degré de connexité, on peut définir une nouvelle hyperconnexion dont les ensembles qui la composent doivent avoir un degré de connexité supérieur ou égal à un seuil (c.f. figure 2.6).
Définition 2.3.8. Pour toutτ ∈ [0, 1], l’hyperconnexion H2
τ est définie comme :
H2τ=f ∈ S/c2(f )≥ τ 1 0 Ω 1 − τ = 0.65 (a) 1 0 Ω 1 − τ = 0.1 (b)
FIG. 2.6 – Illustration deHτ2. (a) Ensemble appartenant àH20.35. (b) Ensemble appartenant àH10.9. Composante connexe floues
Le but de ce chapitre étant de fournir une extension dans le cadre du flou des filtres connexes, il nous faut établir la notion de composante connexe floue. De manière générique, on considérera à présent que l’on utilise une hyperconnexionH du même genre que celles décrites précédemment (H1,H1τouH2τ) sans s’y limiter. On peut donc déduire la définition suivante :
Définition 2.3.9. L’ensemble des composantes connexes floues incluses dans un ensemble flouf ∈ S notée H(f) est constitué des plus grands éléments de H plus petits que f.
La figure 2.7 illustre cette définition dans le cas oùH = H1. Selon l’hyperconnexion choisie, on étend la définition de ˜Γpfde la manière suivante :
Définition 2.3.10. ∀f ∈ S, ∀p ∈ Ω Γpf est la composante connexe incluse dansH(f) qui maximise le degré d’appartenance au pointp.