Existence des rel` evements des alg` ebres lisses

eve-ment d’alg`ebres lisses sur un couple hens´elien nœth´erien de l’article [E] de Ren´ee Helkik (cf. loc. cit.§4 p. 580).

5.2.7. Th´eor`eme : Soient R un anneau commutatif arbitraire et I un id´eal de R. TouteR-alg`ebre lisse se rel`eve en uneR-alg`ebre lisse.

D´emonstration : Soit B une R-alg`ebre lisse et fixons une pr´esentation finie deR-alg`ebre :B =R[X1, . . . , XN]/J. LeB-module J/J²est alors projectif de type fini. Notons C :=

S

^∗_B^{(J/J2) la B-alg`ebre sym´etrique de J/J2, de sorte}

que Spec(C) est le fibr´e conormal `a Spec(B) dans le plongement Spec(B)⊆A<sup>N</sup><sub>R</sub> d´etermin´e par la pr´esentation ci-dessus (4.5.6). Notons f : Spec(C)→Spec(B) le morphisme de sch´emas induit par l’homomorphisme structural de B dans C. L’homomorphisme de B-alg`ebres σ0 : C → B, nul sur J/J², donne le morphisme de sch´emas _«section nulle_» Spec(σ0) : Spec(B) → Spec(C). On a f◦Spec(σ0) = id_Spec(B).

Comme ces donn´ees sont conformes aux hypoth`eses de la proposition 5.2.1-(b), on peut fixer pour la suite une R-alg`ebre (intersection compl`ete) lisse C qui rel`eve C. On a ainsi le diagramme des morphismes canoniques ci-apr`es.

(D⁾

LeC-moduleM :=C⊗B

J/J²

est projectif de type fini et, quitte `a remplacer C par un voisinage ´etale de I dansC, nous pouvons supposer, par la propri´et´e de rel`evement du couple (R,I), qu’il existe un C-module projectif de type fini

M dont la r´eduction modulo I est isomorphe `a M. L’alg`ebreD :=

S

^∗C(M) est lisse sur C puisque M est projectif de type fini (4.3.7).

Compl´etons le diagramme (D) par les morphismes canoniques indiqu´es ci-dessous :

(D⁾

o`u ∆ d´esigne la«section diagonale»du morphisme structural de Spec(C⊗BC) vers Spec(C). Il s’agit du morphisme de sch´emas associ´e `a l’homomorphisme de C-alg`ebres δ:

S

^∗C(M)→C d´efini par la forme C-lin´eaire :

δ_M :M =C⊗B

J/J²

−−−−−−→−−C =

S

^∗B

J/J²

c⊗v −−−−−−→−− c·v (‡) Comme D est l’alg`ebre sym´etrique de M,

l’homomor-phisme δ admet un rel`evement en un morphisme de C-al-g`ebres δ :D →C si et seulement la forme C-lin´eaire δ_M : M →C se rel`eve en une formeC-lin´eaireδ_M :M →C. Le diagramme

ci-apr`es, o`u les lignes d´esignent les morphismes de r´eduction modulo I, ex-plique l’existence du rel`evement δ_M comme cons´equence du fait que M est un C-module projectif. La section diagonale :

Spec(C)−−−−_Spec(δ)−−−−−−−^∆−−−−−−−−→−Spec

C⊗BC

= Spec

S

^∗C(M)

se rel`eve donc bien en une section ∆ : Spec(C) → Spec(D) du morphisme structural Spec(D)→Spec(C).

Nous avons ainsi le diagramme commutatif suivant :

o`u les morphismes horizontaux sont ceux d´etermin´es par la r´eduction moduloI. On remarquera ´egalement que le module δM est en fait un id´eal deC puisque δ est un morphisme de C-alg`ebres. Enfin, l’´equivalence B ≡ C/δM r´esulte, quant `a elle, de la d´efinition de δ (‡). (Heuristiquement, Spec(B) apparaˆıt comme l’intersection de la section nulle et de la section diagonale de la fibration Spec(

S

^∗C(M))Spec(C).)

Nous montrons maintenant que laR-alg`ebre B :=C/δM est lisse.

Compte tenu des constructions pr´ec´edentes, on dispose de la suite d’applica-tions

M −−−−−−−−−−−−^δ−−−−−−−→−C−−−−−−^d−−−−^C/R−−−−−−−−−→−Ω_C/R−−−−−−−−−−−−^ν−−−−−−−−Ω_C/B=M (∗) o`u ν est la surjection donn´ee par la seconde suite fondamentale associ´ee `a l’ho-momorphisme structural de R-alg`ebres de B dans C. Les applications δ et ν sontC-lin´eaires et lorsque l’on tensorise chaque terme de (∗) par C/δM =B, l’application compos´ee 11<sub>B</sub>⊗(d<sub>C/B</sub>◦δ) le devient ´egalement ; le morphisme de C-modules 11<sub>B</sub>⊗(ν◦d<sub>C/B</sub>◦δ) :B⊗CM →B⊗CM est alors l’identit´e d’apr`es la d´efinition mˆeme de δ dans (‡).

Ceci ´etant, le C-module ΩC/R est projectif car C est lisse sur R, et le mor-phisme ν se rel`eve en un morphisme deC-modules ν. On a :

Ω_C/R^ν M

 



 

 Ω_C/R−−−−−−−−−−−−^ν−−−−−−−−Ω_C/B=M

o`u les morphismes verticaux sont ceux d´etermin´es par la r´eduction modulo I. La suite (∗) tensoris´ee par B se rel`eve donc en une suite de morphismes de C-modules :

B⊗CM−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→−−B⊗CΩC/R−−−−−−−−−−−−−⊗−−−−−−→−B⊗CM

ξ  (∗∗)

dont la compos´ee, not´ee ξ, est l’identit´e modulo I. Le conoyau de ξ est donc annul´e par la r´eduction modulo I, ce qui signifie que I·coker(ξ) = coker(ξ).

Comme M est de type fini, un argument comme pour le lemme de Nakayama montre que l’id´eal dans C, annulateur de coker(ξ), contient un ´el´ement de la formeg= 1 +x·c, avec x∈I, de sorte que, quitte `a remplacer C par le localis´e C_g (voisinage ouvert de I dans C), on peut supposer ξ surjectif. Mais alors, comme B⊗CM est unB-module projectif, il suit que ker(ξ) est un facteur di-rect de B⊗CM annul´e ´egalement par la r´eduction modulo I. Par cons´equent, en rempla¸cant une fois de plus si besoin C par un nouveau voisinage de I dans C, on peut supposer le morphisme ξ bijectif.

On a d’autre part la factorisation de 11_B⊗(d_C/R◦δ) en : B⊗CM−−−−−−−−^δ−−−−− δM

(δM)²

−−−−−−−−∂−−−→−−B⊗CΩC/R 11B⊗(d_C/R◦δ)





o`u ∂ est le morphisme de la premi`ere suite fondamentale associ´ee `a la surjec-tion canonique C B = C/δM. La bijectivit´e de ξ implique alors que le morphisme ∂ admet une r´etraction. La R-alg`ebre B est par cons´equent lisse d’apr`es 4.3.5et le th´eor`eme est d´emontr´e.

5.2.8. Remarque : Soient A uneR-alg`ebre lisse etA uneR-alg`ebre lisse relevant A.

PosonsX:= Spec(A),S:= Spec(R) et soitf :X→S le morphisme structural. Il con-vient de souligner que si le th´eor`eme5.2.7affirme en toute g´en´eralit´e l’existence deA, il ne donne en revanche aucune information sur l’image def.

On d´emontre que lorsque R est nœth´erien, im(f) est n´ecessairement ouvert dans S (voir [Har]§III ex. 9.1 p. 266) et l’on a im(f) =S pour tout anneau de valuation discr`ete R(5.4.9). Mais en dehors de ces cas, l’´egalit´e im(f) =Sn’a aucune raisona priorid’ˆetre v´erifi´ee. Autrement dit, le th´eor`eme n’exclut pas que l’on puisse avoirk(P)⊗A=0, pour certains id´eaux premiers deR. L’exercice4.3.4fournit bien d’exemples de ce ph´enom`ene.

En effet, soitGun groupe ab´elien fini de cardinalm:=|G|et soitpun nombre premier ne divisant pasm. LaFp-alg`ebre A:=Fp[G] est alors lisse et isomorphe `a la r´eduction modulo p de laZ-alg`ebre lisseA:={1, m, m², . . .}⁻¹Z[G]. Il est clair dans cet exemple queFq⊗A=0 pour tout nombre premierqqui divise m; l’image du morphisme struc-tural f : Spec(A)→Spec(Z) est, dans ce cas, le compl´ementaire de l’ensemble (fini) de tels nombres premiers.

5.2.9. Le probl`eme de l’unicit´e des rel`evements d’une alg`ebre lisse. Le

Dans le document des sch´ emas (Page 74-78)