Rel` evements des modules projectifs

5.2.3. D´efinition :Soit AuneR-alg`ebre. On appellera«voisinage ´etale deI dans A<sub>»</sub>touteA-alg`ebre B ´etalesur A, telle que la r´eduction moduloI du morphisme structural de A dans B est un isomorphisme.

5.2.4. D´efinition : On dira que le couple (R,I) _«v´erifie la propri´et´e de rel` eve-ment» si pour toute R-alg`ebre de type fini A et pour toute pr´esentation libre et finie deA-module projectif de type fini M :

A^p−−−−−^L−→−−A^q−−−−−^Π−→−−M →0, () il existe un voisinage ´etale A_ε de I dans A tel que la pr´esentation de module projectif () se rel`eve `a A_ε.

Th´eor`eme :Pour tout anneauR et tout id´eal I dans R, le couple(R,I)v´erifie la propri´et´e de rel`evement.

D´emonstration : Soit A une R-alg`ebre de type fini et notons A := A/I·A.

Donnons-nous une pr´esentation libre et finie d’un A-module projectif de type fini M :

A^p−−−−−^L−→−−A^q−−−−−^Π−→−−M →0. () CommeM est unA-module projectif, la surjection deA-modules Π admet une section σ, la compos´ee ψ:= σ◦Π∈ End_A(A^q) v´erifie ψ²=ψ et im(ψ) M. L’endomorphisme ψ est donc idempotent et M s’identifie au sous-module de A^q des vecteurs propres associ´es `a la valeur propre 1. On a ainsi une nouvelle pr´esentation libre et finie de M :

A^q−−−−−−¹−−−⁻−−−−−^ψ−−→−−A^q−−−−−−−−−−−→−−M →0, avec ψ²=ψ, (†) qui est un cas particulier des pr´esentations consid´er´ees dans le th´eor`eme et que nous ´etudierons dans un premier temps.

Notons ψ∈EndA(A^q) un rel`evement quelconque de ψ. Comme ψ est idem-potent, on a det(2ψ−1) =±1 et donc det(2ψ−1) =±1 +x, pour un certain x ∈ I. Ainsi, quitte `a remplacer A par le localis´e A_±1+x (voisinage ouvert de I dans A), on peut supposer que l’endomorphisme 2ψ−1 ∈ EndA(A^q) est inversible.

Nous allons montrer maintenant comment d´eformer l’endomorphismeψ(quitte

`

a remplacerA par un voisinage ´etale de I dans A) pour en faire un rel`evement idempotentde ψ.

– Supposons l’id´eal I principal de g´en´erateur not´e π. On a alors ψ²−ψ=πα pour un certain α∈EndA(A^q).

Consid´erons l’alg`ebre de polynˆomes `a q²inconnues A[X^{] :=A[X}1,1, . . . , Xq,q] et notons β∈End_A[X](A[X^]q) l’endomorphisme dont la matrice [βi,j], par rap-port `a la base canonique de A[X^{], v´erifie β}i,j=Xi,j. Soit :

R :=α+ (2ψ−1)β+πβ²∈End_A[X](A[X^{]q), (}‡) de matrice associ´ee [Ri,j]. On pose : A1:=A[X^]/Ri,j.

Le jacobien f := det [∂Ri,j/∂Xk,l] moduloπ est le d´eterminant de la matrice

!∂Ri,j/∂Xk,l

"

qui vaut±1 puisque ! Ri,j

"

= [αi,j] + (2! ψi,j

"

−1)[Xi,j], ce qui implique que l’application tangente `a l’application affine R : A<sup>q</sup> → A<sup>q</sup> est un isomorphisme de valeurs propres ±1 ´etant donn´e que ψ est idempotent. On a donc f =±1+πP pour un certain P ∈A[X], et l’alg`ebre A_1,f =A[X^]f/Ri,j est, par cons´equent, intersection compl`ete ´etale sur A (voir exercice 4.5.5). De plus, la r´eduction moduloπ de A_1,f,i.e.A[X^]Ri,j

, est clairement isomorphe (par le morphisme structural) `aA puisque (2ψ−1) est inversible. LaA-alg`ebre A1,f est donc un voisinage ´etale de π dans A.

Nous ´etudions maintenant le probl`eme de la commutation de ψ et de π·β. Comme πα = ψ<sup>2</sup>−ψ commute `a ψ et que R est nul dans EndA1,f(A1,fq), l’´egalit´e (‡) donne :

[ψ, πβ] =−π(2ψ−1)⁻¹(β[ψ, πβ] + [ψ, πβ]β).

Notons [ti,j] la matrice de l’endomorphisme [ψ, πβ] relative `a la base canonique de A<sub>1,f</sub><sup>q</sup>. Le d´eveloppement de la derni`ere ´egalit´e donne lieu `a une ´egalit´e de la

forme :  observera, en passant, que A_ε est ´egalement une intersection compl`ete ´etale sur A.) qu’il existe une intersection compl`ete ´etaleA_ε sur A et un rel`evement idempo-tent ψ ∈EndA(A<sub>ε</sub><sup>q</sup>) de ψ∈End<sub>A</sub>(A<sup>q</sup>) . est clairement une intersection compl`ete lisse, voisinage ´etale de I dans Aet le diagramme induit suivant est commutatif :

Et, toujours par hypoth`ese inductive, il existe uneAε-alg`ebre, intersection com-pl`ete ´etale (Aε)ε, voisinage de π1 dansA<sub>ε</sub> (donc intersection compl`ete ´etale et voisinage deI dansA), telle queψ se rel`eve en un idempotentψ∈End_(Aε)ε((Aε)εq).

Ceci ´etant, posons M_ε := im(ψε). Comme ψε est un endomorphisme idem-potent, on a A^q_ε=M_ε⊕im(1−ψε), et M_ε est unA_ε-module projectif de type fini. La pr´esentationA^q_ε−−−−−¹−−−⁻−−−−−^ψ−−−→−^ε−A^q_ε→M_ε→0 est donc un rel`evement de la pr´ e-sentation de module projectif (†), ce qui termine la d´emonstration du th´eor`eme pour ce type de pr´esentations.

On reprend maintenant la donn´ee d’une pr´esentation de module projectif de la forme g´en´erale () :

A^p−−−−−^L−→−−A^q−−−−−^Π−→−−M →0.

Fixons une section σ de Π et notons ψ := σ ◦ Π. D’apr`es l’´etude pr´ec´ e-dente, il existe une A-alg`ebre A_ε˜, intersection compl`ete ´etale et voisinage de I dans A, telle que l’idempotent ψ ∈ End<sub>A</sub>(A<sup>q</sup>) se rel`eve en un idempotent ψε˜∈EndAε˜(A^q_ε˜). Notons L1∈HomAε˜(A^p_ε˜,A^q_ε˜) un rel`evement quelconque de L et posonsLε˜= (1−ψε˜)◦L1de sorte que la r´eduction modulo I de Lε˜s’identifie toujours `a L:

A^p_ε˜−−−−−₍₁−−−−−−₋−−−−_ψ−^L−−−−−^ε−^˜−−−−−−−−−−→−

˜ ε)◦L1

A^q_ε˜

↓↓ ↓↓

A^p−−−−−−−−−−−−−−−−−−^L−−−−−−−−−−−−−−→−A^q−−−−−−−−−−−−−−M →0

Mais, siLε˜rel`eve bienL, rien n’assure,a priori, que son conoyau soit projectif, ce pour quoi il suffirait que l’on ait im(Lε˜) = im(1−ψε˜), puisqueψε˜est idempo-tent. Or, le conoyauK de l’inclusion im(Lε˜)⊆im(1−ψε˜) est un A<sub>ε˜</sub>-module de type fini dont la r´eduction modulo I est nulle, autrement dit, on a I·K <sup>=</sup>K<sup>.</sup> Il existe par cons´equent un ´el´ement g de A<sub>ε˜</sub> congruent `a 1 modulo I, tel que le foncteur (exact) de localisation A_ε,g˜ ⊗Aε˜( ) annule K (Nakayama). On pose alors Aε := Aε,g˜ et Lε := 11_Aε⊗Lε˜. (On remarquera que la A-alg`ebre Aε est toujours intersection compl`ete ´etale et voisinage de I dans A.)

L’image de Lε s’identifie bien maintenant `a l’image de l’idempotent 11Aε⊗ (1−ψε˜) de suppl´ementaire Mε := im(11_Aε⊗ψε˜). Le Aε-module Mε est donc projectif de type fini, et nous avons la pr´esentation :

A^p_ε−−−−−−−^L−−−−^ε−−→−A^q_ε−−−−−−−−−−−−−−M_ε→0 qui est un rel`evement de ().

5.2.5. Remarque :La preuve de l’existence du rel`evement ψ se simplifie remarquable-ment dans le cas o`u l’id´eal I est nilpotent (plus g´en´eralement lorsque chaque ´el´ement de I est nilpotent). Dans ce cas on peut prendre Aε:=A. En effet, dans ce cas, on a

ψ²−ψ =α, pour un certain id´eal de type fini I⊆I et un ´el´ement α ∈I·EndA(A^q) qui commute clairement `a ψ. Supposonsα∈(I)^r·EndA(A^q) et posons :

ψ:=ψ+ (1−2ψ)⁻¹α . L’endomorphismeψ rel`eveψ et v´erifie :

ψ²−ψ= (1−2ψ)⁻²α²=:α∈(I)^2r·EndA(A^q).

de sorte que l’it´eration de cette id´ee permet, grˆace `a la nilpotence de I, de construire un rel`evementidempotent ψ_ε∈End_A(A^q) de ψ.

5.2.6. Existence des rel`evements des alg`ebres lisses. Le th´eor`eme suivant