Soit R un anneau int`egre de caract´eristique arbitraire et notons Q son corps de fractions. Pour tout sous-ensemble finiF ={x1, . . . , xr}de R, on d´esigne par SF le syst`eme multiplicatif deR[X] des ´el´ements de la forme (X−x1)m1· · ·(X− xr)mr avec mi∈N. On note A:=SF−1R[X].
1) Notonsζ =r
i=1(X−xi). Comme l’inversibilit´e des ´el´ements deSF ´equivaut
`
a l’inversibilit´e de ζ, on aR[X]ζ ≡SF−1R[X]. En particulier, Spec(A) est iso-morphe en tant que sch´ema `a l’ouvert principal D(ζ) ⊆ Spec(R[X]) =A1R. Le compl´ementaire de D(ζ) est l’ensemble des id´eaux premiers de R[X] qui contiennent l’un quelconque des (X−xi).
Lorsque R est un corps, les id´eaux X−xi sont maximaux et D(ζ) est alors le compl´ementaire dansA1R d’un ensemble fini qui s’identifie canonique-ment `a F.
2) Comme Spec(A) est ouvert dansA1R au-dessus deR, il est lisse de mˆeme di-mension relative que A1R. D’autre part, l’´equivalence A≡R[X, Z]/Zζ−1 montre que A est intersection transverse puisque R[X, Z] =Zζ−1, ζ, Zζ (cf. lemme4.5.3).
3) La localisation commute au foncteur Ω, par cons´equent : ΩA/R≡R[X]ζ⊗R[X]ΩR[X]/R≡AdX
et leA-module ΩA/R est libre de rang 1. On a donc ΩiA/R= i
RΩA/R= 0 pour tout i > 1. Le complexe de de Rham
Ω∗A/R, dA/R
est par cons´equent
r´eduit `a deux termes et un morphisme :
0→A−−−−−d−→−−AdX →0
D’autre part, comme A est une alg`ebre de fractions de R[X], la diff´ eren-tielle dA/R est enti`erement d´etermin´ee par la diff´erentielle dR[X]/R et l’on a la formule bien connue :
d
P(X)/ζm
= P(X)ζm−P(X)m ζm−1
ζ2m dX .
4) Pour chaque f ∈Q⊗RA il existeune et une seulefamille {Pf(X), c(f)i,m} v´erifiant :
f =Pf(X) + r
i=1
m∈N\{0}
c(f)i,m
(X−xi)m, avec Pf(X)∈Q[X] et c(f)i,m∈Q.
Existence.Il suffit de le prouver pour f de la forme :
f = P(X)
(X−x1)m1. . .(X−xr)mr, avec d◦(P(X))<r i=1mi. On proc`ede par induction sur m=
mi.
Lorsque m <2 on n’a rien `a prouver. Dans le cas g´en´eral l’un des mi sera non nul, supposons que ce soit m1. On ´ecrit alors P(X) = Q(X)(X−x1) + P(x1) d’o`u l’´egalit´e :
f = Q(X)(X−x1) +P(x1) (X−x1)m1. . .(X−xr)mr =
= Q(X)
(X−x1)m1−1. . .(X−xr)mr + P(x1)
(X−x1)m1. . .(X−xr)mr
o`u le premier terme admet, par l’hypoth`ese inductive, une d´ecomposition du type cherch´e. Pour le second terme, il suffit de supposer P(x) = 1 et nous sommes amen´es `a ´etudier les expressions de la forme :
1
(X−x1)m1. . .(X−xr)mr (‡) o`u il existe au moins deux mi non nuls. Or, comme les xi−xj sont non nuls dans Q puisque R est int`egre, on a les d´ecompositions :
1
(X−xi)(X−xj) = (xi−xj)−1 X−xi
+(xj−xi)−1 X−xj
qui ram`enent les expressions (‡) `a d’autres dans la port´ee de l’hypoth`ese inductive.
Unicit´e.Elle revient `a prouver que si l’on a : 0 =P(X) +
r i=1
m∈N\{0}
ci,m
(X−xi)m,
avec P(X)∈Q[X] et ci,m∈Q, alors P(X) = 0 et ci,m= 0 pour tous i, m. Ceci r´esulte d’arguments ´el´ementaires que nous ne d´etaillons pas.
Ceci ´etant, l’application :
I :Q⊗RA−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→−Qr f −−−−−−−−−−−−−−−−−−−→−
c(f)1,1, . . . , c(f)r,1
est une surjection lin´eaire. En effet, la lin´earit´e r´esulte de l’unicit´e des d´ e-compositions (4) et la surjectivit´e est ´evidente puisque I : 1/(X−xi) → ei
pour tout i= 1, . . . , r.
5) L’application I induit une surjection de Q⊗RHDR1 (A/R) sur Qr qui est bi-jective lorsque R est de caract´eristique nulle, mais elle poss`ede un noyau de dimension infinie autrement.
En effet, comme Q⊗RΩA/R = Q⊗RAdX, nous d´efinissons I : Q⊗R
ΩA/R → Qr par I(f dX) = I(f). De plus, pour tout f ∈ Q⊗RA on a d’apr`es (3) et (4) :
(1⊗d)(f) =Pf(X) − r
i=1
m∈N\{0}
m c(f)i,m
(X−xi)m+1, () de sorte que I ◦d = 0, puisque les d´ecompositions en termes simples des images de 1⊗d ne font intervenir aucun des termes 1/(X−xi).
La surjection I :Q⊗RΩA/R Qr d´efinit donc, par passage au quotient, une surjection :
Q⊗RHDR1 (A/R) = Q⊗RΩA/R im(1⊗d)
−−−−−−−−−−I−−−−−−−−−−Qr
o`u l’´egalit´e est justifi´ee par l’exactitude du foncteur (de localisation)Q⊗R( ).
Lorsque Q est de caract´eristique nulle, on construit facilement une pri-mitive pour tout f ∈ ker(I) et I est bien un isomorphisme. Par contre, en caract´eristique positivepil n’y a pas de primitive pour les ´el´ements de ker(I)
de la forme
c1Xp−1+c2Xp2−1+· · ·+cmXpm−1
et ceci quels que soient m ∈N\{0} et c1, . . . , cm∈Q non tous nuls. En par-ticulier, ces ´el´ements sont non cohomologues et constituent un sous-espace vectoriel de dimension infinie de Q⊗RHDR1 (A/R).
6) On aQ⊗RHDR0 (A/R) = ker(1⊗d). En caract´eristique 0 l’´egalit´e () montre que ker(1⊗d) = Q. En caract´eristique positive p, on a Xpα ∈ ker(1⊗d) pour tout α∈N\{0} et ker(1⊗d) est de dimension infinie.
7) Dans cette partie R:=Fp.
On note ν : Zp → Zp/p =: Fp la projection canonique de l’anneau des entiers p-adiques sur son corps r´esiduel. Pour toute partie finie G de Zp qui rel`eve F,i.e.telle que ν(G) =F, on note BG:=SG−1Zp[X].
a) La r´eduction modulo pd’une Zp-alg`ebreAest laFp-alg`ebre Fp⊗ZpA. On a donc :
Fp⊗ZpBG≡Fp⊗ZpSG−1Zp[X]≡Sν(G)−1 Fp[X] =A. et BG est uneZp-alg`ebre lisse qui rel`eve la Fp-alg`ebre lisse A.
b) Les alg`ebres BGrentrent dans le cadre de la question (6), par cons´equent dimQp(Qp⊗ZpHDR1 (BG)) = #G. Comme les nombres de Betti sont des in-variants pour les Zp-alg`ebres (de type fini), on conclut que BG1≡BG2 d`es que #G1= #G2.
Cette question montre que laFp-alg`ebre lisse A admet des rel`evements Zp-lisses non isomorphes (cf. rappel 5.4.16).
c) Pour toute inclusion d’ensembles G1⊆G2, l’inclusion SG1⊆SG2 donne le morphisme d’alg`ebres canonique habituel h(G2,G1) :BG1=SG−11Zp[X]→ S−G12Zp[X] =BG2.
c-i) D’apr`es les questions questions (1) et (2) on a des isomorphisme : ξ(G) :BG−−−−−−−−−−−−≡−−−−−−−→− Zp[X, Z]
Z
y∈G(X−y)−1· v´erifiant :
ξ(G)
P(X)
y∈G(X−y)m
=P(X)Zm.
c-ii) SoientX :=ξ(G2)◦h(G2,G1)◦ξ(G1)−1(X) etZ :=ξ(G2)◦h(G2,G1)◦ ξ(G1)−1(Z). On a X =X et Z =Z
y∈G2\G1(X−y). En effet, Z re-pr´esente l’inverse de
y∈G1(X−y) dans BG1 tandis qu’il repr´esente l’inverse de
y∈G2(X−y) dans BG2.
c-iii) Pour chaque alg`ebre BG, on note BG sa compl´etion pour la topo-logie p-adique. La compos´ee ξ(G2)◦h(G2,G1)◦ξ(G1)−1 induit une bijectionentre les compl´etions p-adiques :
BG1≡ Zp[X, Z] Remarque. Cette d´emonstration prouve que la mˆeme conclusion est vrai pour tous G1⊆G2⊆Zp[X] v´erifiant ν(Gi) =F.
c-iv) Les alg`ebresBGsont deux-`a-deux isomorphes puisque pourG1etG2
donn´es, on a les isomorphisme de (c-iii) : BG1≡BG1∪G2≡BG2. Con-clusion qui corrobore par le calcul l’assertion (a) du th´eor`eme 5.4.5.
8) Dans cette derni`ere question on choisit R := C et U ⊆ C l’ouvert com-pl´ementaire d’un ensemble fini de nombres complexes F ⊆C. On consid`ere U(C) muni de la topologie transcendante induite par celle de C. Les nombres de Betti de la cohomologie de de Rham des formes diff´erentielles r´eelles de classe C∞ sur U(C) et `a coefficients dans C se d´eterminent `a l’aide de la suite exacte longue de cohomologie `a support compact associ´ee au triplet U(C)⊆C⊇F(C), puis la dualit´e de Poincar´e.
La suite exacte en question en degr´es 0,1 est :
HDR,c0 (U;C)→HDR,c0 (C;C)→HDR0 (F;C)→HDR,c1 (U;C)→HDR,c1 (C;C)→HDR1 (F;C) o`u les derni`eres ´egalit´es r´esultent de la dualit´e de Poincar´e.
6.2 `A propos du compl´ementaire d’une hypersurface lisse de PnC Soit X ⊆PnC une hypersurfaceirr´eductible et lissed´efinie par un polynˆome f ∈C[X0, . . . , Xn] homog`ene de degr´e d. On note U ⊆P1C l’ouvert compl´ emen-taire de X. Comme f est homog`ene l’anneau C[X0, . . . , Xn][1/f] est gradu´e sur Z, ses ´el´ements homog`enes de degr´e z´ero constituent alors un sous-anneau not´e R[U] :=C[X0, . . . , Xn][1/f]0. Le sch´ema U est isomorphe `a Spec(R[U]).
Rappelons rapidement la d´emonstration de ce r´esultat dans le langage des sch´emas.
Pour tout anneau commutatif R, le compl´ementaire d’une hypersurface Y de PnR est isomorphe au sch´ema affine Spec
R[X0, . . . , Xn][1/f]0
o`u f d´esigne le polynˆome homog`ene qui d´efinitY.
D´emonstration : On note d=d0(f) et nous allons supposer que f n’est divi-sible par aucun des Xi, ce qui est toujours possible quitte `a faire un changement lin´eaire des variables {X0, . . . , Xn}. Une remarque fondamentale apparaˆıt dans les diagrammes suivants qui d´ependent de i= 0, . . . , n:
R[X0, . . . , Xn][1/f]0−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−ι−−−−−−−−−−−−−−−−−→− R[X0, . . . , Xn][1/f]
ν
π R[X0, . . . , Xn][1/f]0!
f /Xid" ι
R[X0, . . . , Xn][1/f] Xi−1
La premi`ere ligne est l’injection canonique et l’on montre ais´ement que l’id´eal Xi−1 de l’anneau R[X0, . . . , Xn][1/f] ne contient aucune fraction homog`ene de degr´e 0. Par cons´equent la compos´ee π◦ι est injective. Mais (π◦ι)(Xid/f) est inversible et π◦ιse factorise `a traversν en une injection ι qui est surjective puisque :
Xid−1Xj
f f Xid
−−−−−−−−−−−−ι−−−−−−−→−Xj
On remarque ensuite que les anneaux R[X0, . . . , Xn][1/f]/Xi−1 sont pr´ e-cis´ement les anneaux OU(U ∩ Ui) o`u Ui d´esigne le compl´ementaire dans PnR
de l’hypersurface {Xi = 0}. L’application ι d´efinit donc un homomorphisme d’anneaux R[X0, . . . , Xn][1/f]0→OU(U) qui est un isomorphisme local. On en d´eduit une application
σ:U →Spec
R[X0, . . . , Xn][1/f]0
dont les restrictions aux ouverts U ∩Ui sont des plongements ouverts de sch´ e-mas, en particulier σ est continue.
Pour l’´etude de l’application ensembliste σ nous pouvons supposer que l’an-neau R est r´eduit.
La surjectivit´e de σ r´esulte de l’´egalit´e 3
i
σ(U ∩Ui) = Spec
R[X0, . . . , Xn][1/f]0 .
Comme on a σ(U ∩ Ui) = D(Xid/f), il suffit de montrer que 1 appartient `a l’id´eal X0d/f, . . . , Xnd/f de R[X0, . . . , Xn][1/f]0 ce qui est une cons´equence du fait que fd∈ X0d, . . . , Xnd ⊆R[X0, . . . , Xn].
Enfin, l’injectivit´e de σ r´esulte de ce que pour tous u1, u2∈U avecu1=u2, il existeg∈R[X0, . . . , Xn][1/f]0tel queg(u1)=g(u2). Or, commeU ⊆PnRon sait qu’il existe un polynˆome homog`ene g ∈ R[X0, . . . , Xn] tel que g(u1) =g(u2).
Soit d =d◦(g) alorsg:= (g)d/fd r´epond `a la question.
1) La C-alg`ebre R[U] est de type fini puisqu’elle est clairement engendr´ee par les monˆomes X0m1· · ·Xnmn/f avec
mi= d et comme U est un ouvert de PnC,R[U] est en plus lisse de dimension relative n.
2) Finitude des nombres de Betti dimC
HDRi (U/C) .
C’est un th´eor`eme que les nombres de Betti des vari´et´es lisses sur un corps de caract´eristique nulle sont finis ; il a ´et´e d´emontr´e pour la premi`ere fois sur le corps des nombres complexes par A. Grothendieck dans son article “On the de Rham cohomology of algebraic varieties” (IHES ; Publications Ma-th´ematiques,29, 351–359, 1966). Nous n’avons pas d´emontr´e ce th´eor`eme dans le cours mais le th´eor`eme de comparaison de Grothendieck donne des isomorphismes canoniques HDRi (U/C) ≡ HDRi (U(C)) et la dualit´e de Poin-car´e montre que dimC(HDRi (U(C))) = dimC(HDR,c2n−i(U(C))) de sorte que la finitude des nombre de Betti r´esultera de la finitude de la cohomologie de de Rham `a support compact de U(C) ce qui est expliqu´e dans la question suivante.
3) On consid`ere PnC(C), U(C) et X(C) munis de la topologie transcendante.
Les dimensions des espaces HDR,ci (U(C)), HDRi (PnC(C)) et HDRi (X(C)) est fi-nie puisque la finitude des nombres de Betti des vari´et´es PnC(C) et de X(C) r´esulte de leur compacit´e et celle des nombres de Betti de U(C), du fait que les HDR,ci (U(C)) sont dans la suite exacte longue de cohomologie `a support compact associ´ee au triplet U(C)⊆PnC(C)⊇X(C).
4) Le but de cette question est de montrer que HDRr (U/C) = 0 pour tout r ∈ {0, n}.
a) Annulation des HDRn+i(U(C)) lorsque i >0 et
HDRn−i(PnC(C))≡HDRn−i(X(C)), pour tout i2 ; HDRn−1(PnC(C))⊆HDRn−1(X(C)).
CommeU est (lisse) de dimensionnle complexe de de Rham alg´ebrique Ω∗U/C est concentr´e en degr´es [0, . . . , n] et donc HDRj (U/C) = 0 pour tout j > n. D’autre part, le th´eor`eme de comparaison de Grothendieck nous dit pr´ecis´ement que puisque U est affine la cohomologie du complexe de de Rham alg´ebrique s’identifie canoniquement `a la cohomologie du faisceau constant CU(C) qui est, `a son tour, canoniquement isomorphe `a la cohomo-logie du complexe de de Rham diff´erentiable `a coefficients dans C d’apr`es le th´eor`eme de comparaison de de Rham.
On a donc HDRn+j(U(C)) = 0 pour tout j >0, et alors HDR,cn−j(U(C)) = 0 pour tout j >0, par dualit´e de Poincar´e. Lorsque l’on reporte cette infor-mation dans la suite exacte longue de cohomologie `a support compact :
→HDR,cn−2(U)→HDRn−2(PnC)→HDRn−2(X)→HDR,cn−1(U)→HDRn−1(PnC)→HDRn−1(X)→HDR,cn (U)
0 ≡ 0 ⊆ ?
on obtient le r´esultat cherch´e.
b) L’anneauHDR∗ (PnC(C)) est isomorphe en tant qu’alg`ebre gradu´ee `aC[T]/Tn o`u T est consid´er´e de degr´e 2. Soit ω ∈ HDR2 (PnC) non nul et notons sa restriction `a X. Le th´eor`eme de Lefschetz «difficile» affirme dans notre cas (X(C) est lisse) que l’application L(∧i) : HDR(n−1)−i(X(C)) → HDR(n−1)+i(X(C)) qui fait correspondreµ→∧i∧µ, est unisomorphisme pour tout i >0.
A l’aide de ce th´eor`eme et des r´esultats pr´ec´edents on prouve : HDRr (U/C) =0, pour tout 0< r < n.
En effet, par le th´eor`eme de comparaison de Grothendieck et la dualit´e de Poincar´e, il revient au mˆeme de montrer que HDR,cr (U(C)) = 0, pour tout n < r <2n.
Pour chaque i >0 on a :
HDR(n−1)−i(PnC(C)) L(T
i)
−−−−−−−−−−−−≡−−−−−−−→−HDR(n−1)+i(PnC(C))
≡
HDR(n−1)−i(X(C)) L(∧
i)
−−−−−−−−−−−−≡−−−−−−−→− HDR(n−1)+i(X(C))
Le morphisme de la premi`ere ligne r´esulte de la structure d’anneau de HDR∗ (PnC) rappel´ee dans l’´enonc´e. Puis, les morphismes verticaux sont don-n´es par la restriction de classes de cohomologie et la question pr´ec´edente a montr´e la bijectivit´e de celui de gauche. Enfin l’isomorphisme de la seconde ligne est celui du th´eor`eme de Lefschetz. La commutativit´e du diagramme r´esulte du fait que le morphisme de restriction est un morphisme de C -alg`ebres et que l’isomorphisme HDR2 (PnC) ≡ HDR2 (X) permet de supposer que la restriction de T `a X est la classe . Les restrictions
HDRn+i(PnC(C))→HDRn+i(X(C))
sont donc des isomorphisme pour tout i0, et lorsque l’on reporte cette information dans la suite exacte longue de cohomologie `a support com-pact :
HDR,cn (U)→HDRn (PnC)→HDRn (X)→HDR,cn+1(U)→HDRn+1(PnC)→HDRn+1(X)→HDR,cn+2(U)→
? 0 ≡ 0 ≡ 0
qui termine par :
→HDR,c2n−1(U)→HDR2n−1(PnC)→HDR2n−1(X)→HDR,c2n (U)→HDR2n(PnC)→HDR2n(X)→0
0 0 0∗ C ≡ C 0
o`u le ‘0∗’ se justifie par une simple raison de dimension : dimR(X) = 2(n−1), on obtient le r´esultat demand´e.
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Index terminologique des s´eries formelles, 19,82 des vecteurs de Witt, 84
au sens des alg`ebres compl`etes, 82 au voisinage ´etale pr`es, 78 intersection compl`ete, 54
tensoriel d’alg`ebres, 10, 11,29 propri´et´e de rel`evement, 60 rel`evement
voisinage ´etale, 60 Witt (vecteurs de), 83
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Alberto Arabia CNRS
Institut de Math´ematiques de Jussieu Th´eorie des Groupes
Mercredi 16 mars 2003