Nous avons choisi de tracer l’évolution de la puissance instantanée en fonction de la fréquence (Figure 3.13). La puissance est simplement obtenue en multipliant la tension et le
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courant. De ce fait et contrairement à la tension et au courant, la puissance est définie comme proportionnelle au carré de l’accélération de l’excitation mécanique imposée à la poutre [ERT 08a]. Étant le résultat d’un produit, son comportement est clairement non monotone face à l’augmentation ou à la diminution des résistances pour les différents modes (Figure 3.13). Afin de mieux décrire la variation en amplitude de la puissance sur ces deux premiers modes de résonance, on choisit de faire un zoom de ces deux modes respectivement à la Figure 3.14et Figure 3.15.
Figure 3.13 Puissances calculées à l’aide de l’approche distribuée en fonction de la fréquence pour différentes valeurs de résistance en limite basse lorsque 𝑹 → 𝟎, en limite haute lorsque
𝑹 → ∞
Figure 3.14 Zoom sur la plage de fréquence allant de 4 à 18Hz, puissances calculées à l’aide de l’approche distribuée en fonction de la fréquence pour différentes valeurs de résistance (mode 1) La valeur maximale de la puissance pour le 1er mode est déduite à partir de la Figure 3.14 parmi un échantillon arbitraire de résistances et correspond à la résistance 𝑅 = 550𝑘Ω à la fréquence 11.52Hz qui se trouve comme attendu être la fréquence de limite basse
97 [ERT 08a]. La résistance pour laquelle la puissance est maximale à une fréquence donnée, est appelée la résistance « optimale ». La détermination de cette résistance est essentielle pour maximiser la récupération d’énergie. En effet, si cette valeur n’est pas atteinte en pratique, la récupération d’énergie est moins efficace. Pour cette poutre, elle est donc proche de 550kΩ pour le 1er mode.
Figure 3.15 Zoom sur la plage de fréquence allant de 200 à 380Hz, puissances calculées à l’aide de l’approche distribuée en fonction de la fréquence pour différentes valeurs de résistance
(mode 2)
Lorsque l’on considère le deuxième mode de vibration, la valeur de résistance de charge est égale à 𝑅 = 50𝑘Ω à la fréquence 280.6Hz, ce qui correspond à la fréquence de limite basse. Notons que les valeurs des résistances utilisées sont choisies arbitrairement afin d’observer une tendance générale. Ainsi la puissance maximale calculée pour chacun des modes de vibrations n’est pas nécessairement la puissance optimale exceptée pour le 1er mode.
Figure 3.16 Variation de la puissance en fonction de la charge résistive en court-circuit et en circuit ouvert à la fréquence de résonance pour le premier mode (mode 1)
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Sur la courbe suivante, comme pour la tension et le courant, nous avons décidé de tracer la variation de la puissance en fonction de la résistance. On observe que la valeur de la puissance croît jusqu’à un optimum pour ensuite décroitre comme l’illustre la Figure 3.16. Le comportement non monotone de la puissance face à l’augmentation de la résistance est le résultat de la multiplication du comportement de la tension avec celui du courant. A l’instar de ce qui a été remarqué pour la tension, la puissance est maximale aux conditions de limite basse pour les résistances situées avant l’intersection des courbes de limite basse et de limite haute, puis au-delà elle est maximale pour la condition de limite haute. En outre, l’allure de la puissance est identique à celle de la tension pour des résistances faibles puisqu’elle suit également l’augmentation de la résistance de façon logarithmique. Notons enfin les courbes de puissance de l’excitation en limite basse et en limite haute sont similaires.
3.4.3. Comparaison des modèles à approches distribués et localisés
Afin de comparer les résultats précédents avec l’approche localisée, les mêmes hypothèses sont reprises. Les simulations sont répétées pour sept valeurs de résistance : résistances de court-circuit et circuit ouvert, 50kΩ, 100kΩ, 210kΩ, 550kΩ et 10MΩ.
Premier constat rassurant, l’évolution de la puissance dans le cas de l’approche à paramètres localisée est similaire à l’approche à paramètres distribués (Figure 3.11). La valeur maximale de la puissance pour le 1er mode est déduite à partir de la Figure 3.17parmi un échantillon arbitraire de résistances :elle correspond à la résistance 𝑅 = 210𝑘Ω à la fréquence 11.19Hz qui est comme attendu la fréquence de court-circuit. L’écart de fréquence avec la précédente résistance optimale calculée avec l’approche à paramètres distribués est de 2.94% tandis que celui calculé pour chaque résistance optimale déterminée avec les deux approches est de 19.95%.
On trace ensuite la variation en puissance en fonction de la valeur de résistance. Une nouvelle fois, des allures identiques sont obtenues pour les deux approches (Figure 3.16 et
99 (a)
(b) Figure 3.17 Zoom sur la plage de fréquence allant de 4 à 18Hz, puissances calculées à l’aide de l’approche distribuée (a) et localisée (b) en fonction de la fréquence pour différentes valeurs de
résistance (mode 1)
Figure 3.18 Variation de la puissance en fonction de la charge résistive en court-circuit et en circuit ouvert à la fréquence de résonance pour le premier mode
100
𝑹𝒍𝒐𝒂𝒅[k𝛀] Méthode à paramètres Puissance [mW] Écart [%] distribués Méthode à paramètres localisés
À la résistance
optimale 205.1mW 170.5mW 20.29%
À la résistance
de limite haute 16.14mW 23.68mW 31.84%
Tableau 3 Confrontation des deux approches à la première fréquence de résonance (11.33Hz) avec les résultats issus des Figures 3.17 et 3.18
Sur le Tableau 3, on note que les écarts en amplitude entre les deux approches sont du même ordre de grandeur mais non négligeables. L’écart en fréquence est en revanche moins important, il varie approximativement de 3%. Dans la suite de notre étude, nous choisirons respectivement d’utiliser les équations données par Erturck [ERT 09a] car la méthode à paramètres distribués apparait plus précise et adaptée à des études multifréquences.