Afin de valider le modèle Bond Graph de la poutre piézoélectrique, les réponses en fréquence de la puissance sont étudiées. La plage de fréquence intéressante pour notre étude varie entre 0.5 et 200Hz [JHA 76]. En accord avec cette plage de fréquence et pour des raisons pratiques [ERT 12], seul le premier mode de vibration de la poutre est étudié, cependant comme nous avons pu le voir précédemment notre modèle a la possibilité de prédire les autres fréquences si nécessaire. Le prototype du convertisseur est testé avec une excitation d’entrée de 1m/s². Pour obtenir ces résultats, la valeur simulée du coefficient d’amortissement pour la première fréquence propre de la poutre est égale respectivement à 𝜉1 = 0.039 et à 𝜉1 = 0.03 pour les modèles à paramètres distribués et à paramètres localisés, tandis que la capacité interne des matériaux piézoélectriques est identique (𝐶0 = 0.225𝑛𝐹). On considère qu’il n’y a pas de masse en bout de poutre (𝑀 = 0). Notons que le coefficient d’amortissement est donné par un décrément logarithmique exempt de vibration, il se déduit facilement par la mesure du déplacement libre de la poutre en imposant une force ponctuelle en bout de celle-ci.
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Figure 3.20 Détermination du coefficient d’amortissement (premier mode de vibration) Le coefficient d’amortissement de la poutre est déterminé en appliquant une excitation manuelle ponctuelle en fin de poutre puis celle-ci relâchée brusquement. La mesure du déplacement après ce lâché dynamique est illustrée à la Figure 3.20. Il décroit avec une tendance logarithmique. A partir des deux premières amplitudes, il est possible d’en déduire le coefficient d’amortissement 𝜉1 du premier mode de vibration en utilisant la relation (31).
𝑙𝑛 𝑥1 𝑥2 =
2𝜋𝜉1 𝜔𝑟
(31)
Figure 3.21 Puissances mesurées pour plusieurs valeurs de résistances externes (premier mode de vibration)
La valeur de la première fréquence propre trouvée expérimentalement est de 91Hz. Cette fréquence propre pourra être réduite en ajoutant une masse en bout de poutre comme nous le verrons dans la partie suivante. En concordance avec les mesures et les simulations, la valeur de la résistance 𝑅𝑙𝑜𝑎𝑑 joue naturellement un rôle important dans le comportement dynamique du système : la Figure 3.21 illustre en effet la variation de la puissance en fonction de la résistance. Cette variation de puissance est analogue à celle mesurée à la Figure 3.18. L’écart
103 mesuré entre les résultats de l’expérience et les simulations avec les méthodes à paramètres distribués et localisés est faible. Ces écarts sont raisonnables compte tenu des approximations effectuées sur les matériaux, la masse et l’amortissement de la structure. On peut donc conclure que ces modèles sont suffisamment représentatifs.
Par la suite, nous nous sommes intéressés à la capacité de ces modèles à prédire l’évolution de l’amplitude de la puissance par rapport à des mesures expérimentales. Les mesures expérimentales sont répétées pour trois valeurs de résistances : 22𝑘Ω, 122𝑘Ω et 222𝑘Ω. Pour maximiser le transfert de puissance, l’impédance de la poutre piézoélectrique doit être identique à l’impédance de sortie de la charge résistive. Dans notre configuration, cette impédance est obtenue pour une résistance de charge 𝑅 = 122𝑘Ω, cette résistance est dite « optimale ». Les résultats en puissance sont donnés respectivement par les Figure 3.22,
Figure 3.23 et Figure 3.24 autour du premier mode de vibration de la structure de poutre
testée. Notons que seule la représentation du premier mode de la structure est possible avec le modèle à paramètres localisés. Ce sont les résultats autour de ce mode qui seront étudiés et comparés aux mesures expérimentales. Rappelons également que la divergence en fréquence entre les modèles Bond Graph multi mode et simple mode avec l’approche à paramètres distribués est de 0.0212% pour le premier mode alors que son amplitude augmente légèrement avec le nombre 𝑟 de modes : 0%, 0.3%, 0.45% et 0.6% lorsque 𝑟 = 1, 2, 3 et 4respectivement avec une valeur de résistance de 100kΩ. En conséquence, le premier mode sera étudié avec le modèle Bond Graph simple mode.
A la lecture des résultats expérimentaux, nous pouvons observer en premier lieu un léger décalage de la fréquence vers la gauche comme l’indique le Tableau 5. Celui est inférieur à 2.84% quelque soit le modèle utilisé.
𝑹𝒍𝒐𝒂𝒅[k𝛀] Méthode à paramètres Fréquence de résonance [Hz]
distribués Méthode à paramètres localisés expérimentale Mesure
22kΩ 93.58Hz 92.47Hz 91Hz Écart [%] 2.84% 1.62% - 𝑅𝑜𝑝𝑡 = 122kΩ 94.38Hz 93.9Hz 92Hz Écart [%] 2.58% 2.07% - 222kΩ 94.38Hz 94.38Hz 92Hz Écart [%] 2.59% 2.59% -
Tableau 5 Confrontation simulation/expérience avec les résultats en fréquence issus des Figures 3.21, 3.22 et 3.23
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En second lieu, on retrouve comme prévu par les simulations une évolution de la puissance qui n’est pas monotone. Pour chacune des résistances, l’optimum en puissance obtenu est différent. De plus, la puissance mesurée avec la résistance optimale 𝑅𝑙𝑜𝑎𝑑 = 122𝑘Ω (Figure 3.22) est la plus élevée. L’amplitude maximale de la puissance se situe aux alentours de 1.38mW pour cette résistance. Naturellement pour les résistances éloignées de cette résistance qui sont 22𝑘Ω (Figure 3.23) et 222𝑘Ω (Figure 3.24), les puissances maximales mesurées à leurs fréquences de résonance sont plus faibles qu’à la résistance optimale et sont respectivement de l’ordre de 0.84mW et 1.28mW.
Figure 3.22 Puissances simulées et mesurées pour une valeur de résistance de 22kΩ
Figure 3.23 Puissances simulées et mesurées pour une valeur de résistance de 122kΩ
Figure 3.24 Puissances simulées et mesurées pour une valeur de résistance de 222kΩ Entre l’expérience et la simulation, on s’aperçoit que les écarts d’amplitude oscillent
105 respectivement pour les modèles à paramètres distribués et localisés entre 5 et 16% et entre 0 et 30%,ce qui est raisonnable compte tenu de leurs approximations quant aux propriétés du matériau et de l’amortissement (Tableau 6). Ainsi, les tendances associées à la puissance sont prédites avec succès et valident notre modèle piézoélectrique sans masse en bout de poutre à la première fréquence de résonance.
𝑹𝒍𝒐𝒂𝒅[k𝛀] Méthode à paramètres Puissance [mW]
distribués Méthode à paramètres localisés expérimentale Mesure
22kΩ 0.9915mW 0.8477mW 0.8483mW Écart [%] 16.88% 0.07% - 𝑅𝑜𝑝𝑡 = 122kΩ 1.456mW 1.1mW 1.385mW Écart [%] 5.12% 20.58% - 222kΩ 1.079mW 0.9015mW 1.287mW Écart [%] 16.16% 29.95% -
Tableau 6 Confrontation simulation/expérience avec les résultats en puissance issus des Figures 3.21, 3.22 et 3.23