Evolution non-lin´eaire d’une onde plane sinuso¨ıdale . 119 ´

Formation d’un front Comme nous l’avons vu au § 3.2.1.1, ce sont les condi-tions d’imperm´eabilit´e et de rigidit´e des berges qui imposent la forme en bancs altern´es de l’instabilit´e de bancs (voir `a ce sujet l’article r´ecent de Hall (2007), dans le cas des rivi`eres naturelles). En rempla¸cant les conditions `a la berge en y = ±1/2 par des conditions p´eriodiques, nous nous ramenons au cas du § 3.1.1, pour lequel l’´equation de dispersion est d´efinie pour un nombre d’onde k ´el´ement de R2. Il est alors possible d’´etudier num´eriquement l’´evolution non-lin´eaire d’une onde plane si-nuso¨ıdale isol´ee. La figure 3.27 permet de comparer l’onde plane initiale avec le mode non-lin´eaire correspondant pour t = 3 : le mod`ele pr´esent´e dans cette ´etude semble bien pr´edire la formation d’un front. Les effets non-lin´eaires apparaissent plus clai-rement si l’on trace l’´evolution du mˆeme mode non-lin´eaire dans l’espace des phases

120 Motifs d’´erosion dans le plan horizontal

Fig. 3.26 – Motifs d’´erosion en chevrons obtenus exp´erimentalement `a l’Institut de Physique du Globe de Paris, dans un canal droit soumis `a un ´ecoulement d’eau per-manent (au-dessus ; photographie : ´E. Lajeunesse, L. Malverti et l’auteur). Motifs d’´erosion en chevrons obtenus num´eriquement (au-dessous), la d´eriv´ee de la topo-graphie h selon la direction y est repr´esent´ee par les niveaux de gris. Le nombre de Froude exp´erimental est de l’ordre de 1. Il est nul dans la simulation num´erique. Defina (2003) et Hall (2006) ont r´ecemment obtenu des r´esultats similaires pour des rivi`eres turbulentes, par des m´ethodes respectivement num´erique et analytique. Voir ´egalement la figure 1.4, qui pr´esente des chevrons d’´erosion en milieu naturel.

3.3. ´Evolution non lin´eaire de l’instabilit´e de bancs 121 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 -1.2 -1.1 -1.0 -0.9 -0.8 n h

Fig. 3.27 – Croissance d’un mode non-lin´eaire d’instabilit´e de banc. `A l’instant initial (t = 0), la topographie est perturb´ee par une onde plane sinuso¨ıdale (trait pointill´e) : h0(x, y) = −1 + ²0sin(2π(x/Λ + y)), avec ²0 = 0.1 et Λ = 4. `A l’instant (t = 3), ce mode tend `a former un front (trait plein). Les valeurs des param`etres sont β = 5, S = 0.1, γ = 1 et F = 0. La coordonn´ee d’espace n correspond `a la direction propre de l’onde.

(figure 3.28). La d´eformation de l’ellipse correspondant `a la perturbation initiale r´e-v`ele un enrichissement spectral du mode, caract´eristique des effets non lin´eaires. Le spectre de Fourier de ce mode `a l’instant t = 3 quantifie cet enrichissement spectral (figure 3.29).

Hall (2006) a ´etabli l’´equation d’amplitude qui repr´esente l’´evolution non-lin´eaire des bancs altern´es dans une rivi`ere turbulente, au voisinage du seuil d’´erosion. Cette formulation du probl`eme conduit `a la formation de chocs d’´erosion, dont la res-semblance avec les motifs exp´erimentaux et num´eriques que nous avons obtenus est frappante. L’application aux micro-rivi`eres de la m´ethode d´evelopp´ee par cet auteur apparaˆıt donc naturellement comme une voie prometteuse.

D´estabilisation du front La formation d’un front d´ecrite au paragraphe pr´e-c´edent sugg`ere que les chevrons de la figure 1.4 sont la forme stationnaire6 d’un mode non-lin´eaire, dont la stabilit´e initiale serait d´ecrite par le mod`ele d’´ecoulement et d’´erosion de la pr´esente ´etude. En revanche, les exp´eriences pr´eliminaires pr´e-sent´ees au § 3.3.2.1 mettent en ´evidence la stabilisation des chevrons au-del`a d’une certaine amplitude, ce que ne pr´edit pas notre mod`ele (pour un nombre de Froude nul). En effet, si l’amplitude du mode non-lin´eaire ´etudi´e au paragraphe pr´ec´edent

6Cette forme stationnaire semble se d´eplacer `a vitesse constante, en ce sens il s’agit peut-ˆetre d’un soliton.

122 Motifs d’´erosion dans le plan horizontal -1.2 -1.1 -1.0 -0.9 -0.8 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 h €€€€€€€€€ ¶h ¶n + _{+ + +} + + + + + + +

Fig. 3.28 – D´eformation du mode non-lin´eaire de la figure 3.27 dans l’espace des phases. L’ellipse correspondant `a l’instant initial (`a l’int´erieur des autres courbes) se d´eforme sous l’effet de la non-lin´earit´e des ´equations de l’´ecoulement et du transport de s´ediments. Le passage de chaque courbe vers la courbe qui l’entoure correspond `a un pas de temps d’amplitude 0.3. La courbe ext´erieure correspond `a l’instant t = 3. Chaque croix indique la position x = 0.

0 1 2 3 4 5 6 ⁷ 8 9 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 Mode Amplitude

Fig. 3.29 – Enrichissement non-lin´eaire du spectre spatial de l’onde d’´erosion re-pr´esent´ee sur la figure 3.27. Les disques (respectivement les cercles) repr´esentent l’amplitude de chacun des modes de la s´erie de Fourier de l’instabilit´e `a l’instant

t = 3 (respectivement t = 0). La croissance du mode fondamental (mode 1)

3.3. ´Evolution non lin´eaire de l’instabilit´e de bancs 123 0 1 2 3 4 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 t lnH €€€€€€€€€€€^A 2 Ε0L

Fig. 3.30 – ´Evolution de l’amplitude A du mode non-lin´eaire de la figure 3.27, calcul´ee sur deux maillages carr´es diff´erents : 1600 mailles (trait pointill´e) et 6400 mailles (trait plein). La similarit´e des r´esultats de ces deux calculs conforte la validit´e de la r´esolution num´erique. La d´ecroissance de l’amplitude du mode non-lin´eaire au del`a de l’instant t ≈ 3.46 tend `a d´emontrer l’incapacit´e du pr´esent mod`ele `a pr´edire la stabilisation d’un front progressif d’´erosion (au moins pour un nombre de Froude nul).

croˆıt bien jusqu’`a atteindre un maximum, elle d´ecroˆıt ensuite pour atteindre un ni-veau inf´erieur `a celui de l’amplitude de d´epart. La figure 3.30 illustre ce ph´enom`ene. L’utilisation de deux tailles de mailles diff´erentes ne modifie pas sensiblement ce r´esultat, confortant ainsi l’hypoth`ese d’une d´efaillance du mod`ele plutˆot que de la m´ethode de r´esolution num´erique employ´ee.

3.3.2.3 Pr´edictions de la th´eorie lin´eaire

Seule la prise en compte des termes non-lin´eaires des ´equations de l’´ecoulement et du transport de s´ediments permet de pr´edire la formation et l’´eventuelle stabilisation d’un front. Cependant, si l’amplitude de cette onde est suffisamment faible, la th´eorie lin´eaire du § 3.1 peut fournir une approximation de la vitesse de groupe du front d’onde. En effet, pour les longueurs d’onde tr`es courtes, qui forment l’essentiel du spectre d’un front, l’´equation de dispersion (3.13) peut ˆetre approch´ee par

ωc(k, ψ) = lim k→∞ω(k, ψ) = − ^ik 2γ 1 + Sγ − ^{5k cos(ψ)(1 + 3β(1 + Sγ) + (−1 + β + Sβγ) cos(2ψ))} 2(1 + Sγ) (−5 + 3F2(1 + cos(2ψ))) ^{, (3.138)} o`u k et ψ d´esignent respectivement la norme du vecteur d’onde, et l’angle form´e entre la direction propre de l’onde et l’axe x. La th´eorie lin´eaire conduit donc `a une

124 Motifs d’´erosion dans le plan horizontal

vitesse c_l pour le front, dont l’expression est la suivante

cl(ψ) = < µ ∂ωc ∂k ¶ = − ^{5 cos(ψ)(1 + 3β(1 + Sγ) + (−1 + β + Sβγ) cos(2ψ))} 2(1 + Sγ) (−5 + 3F2(1 + cos(2ψ))) ^{. (3.139)} Pour des valeurs du nombre de Froude sup´erieures `a F_c =^p5/6, il existe un angle

ψc pour lequel la vitesse cl diverge. Cette divergence correspond au ressaut hydrau-lique, qui se forme lorsque la vitesse des ondes de gravit´e vaut exactement la vitesse moyenne du fluide (dans la direction normale `a la perturbation du fond). Une ex-plication possible pour la formation des motifs d’´erosion en chevrons serait de les consid´erer comme la trace d’une instabilit´e li´ee au ph´enom`ene de ressaut hydrau-lique. En effet, les ondes stationnaires produites par les ´ecoulements d’eau `a petit nombre de Reynolds dans les canaux `a surface libre d´eforment cette surface selon des motifs en chevrons, sans que le fond du canal soit ´erodable. Ces motifs sont produits par l’intersection des caract´eristiques des ondes de gravit´e. L’allure de la vitesse c_l, trac´ee pour des valeurs r´ealistes des param`etres (voir figure 3.31), contredit cette proposition. En effet, l’angle aigu des chevrons observ´es exp´erimentalement (voir fi-gures 3.26 et 1.4) est de l’ordre de 30◦, ce qui correspond `a une valeur de ψ nettement sup´erieure `a la valeur de ψ_c. Notons ´egalement que la vitesse des fronts c_l est bien positive pour ces valeurs de l’angle des chevrons, conform´ement aux observations exp´erimentales.

3.3. ´Evolution non lin´eaire de l’instabilit´e de bancs 125 0 А4 А2 -150 -100 -50 0 50 100 ^{90° 60° 30° 0°} Ψ cl

Angle aigu des chevrons

Fig. 3.31 – Allure de la vitesse c_l des fronts d’´erosion pr´edite par la th´eorie lin´eaire, en fonction de l’angle form´e par la direction propre de l’onde avec l’axe des x, dans un cas particulier. Les valeurs des param`etres sont β = 5, S = 0.05, γ = 1 et F = 1. Les valeurs correspondantes de l’angle aigu des chevrons, indiqu´ees sur la bordure sup´erieure du cadre, illustrent la distinction entre le ph´enom`ene d’instabilit´e d’´ero-sion consid´er´e dans la pr´esente ´etude, et une instabilit´e de type ressaut hydraulique (mise en ´evidence par la divergence de c_l).

Chapitre 4

Ph´enom`enes invariants dans la

direction transverse

4.1 Rides form´ees par un ´ecoulement laminaire `a

surface libre

Les r´esultats expos´es ci-dessous (§ 4.1) sont le fruit du travail de K.-D. Nguyen Thu-Lam, qui a collabor´e avec nous de juin `a aoˆut 2007, sous la direction de P.-Y. Lagr´ee.