Diagramme de stabilit´e

Les exp´eriences pr´eliminaires d´ecrites au § 3.3.2.1, au cours desquelles un substrat granulaire est ´erod´e par un ´ecoulement laminaire `a surface libre, conduisent `a la formation de deux types de motifs distincts : les chevrons, d´ecrits au § 3.3 et les rides, dont traite le pr´esent chapitre. Le diagramme de la figure 4.3 r´esume les r´esultats exp´erimentaux, ainsi que ceux des analyses de stabilit´e lin´eaire des § 4.1.2.1 et 3.2.1.3, qui concernent respectivement les rides et les bancs altern´es (dont nous supposons qu’ils sont les pr´ecurseurs des chevrons).

136₁₃₄ Ph´enom`enes invariants dans la direction transversePh´enom`enes invariants dans la direction transverse Γ"1 Γ"5 Γ"10 0 1 2 3 4 5 6 #20 0 20 40 60 80 100 k PSfrag replacements !(ω)

Fig. 4.2 – Taux de croissance de rides form´ees par un ´ecoulement laminaire, en fonction du nombre d’onde k, pour diff´erentes valeurs du param`etre de diffusion γ. Le nombre de Reynolds, la pente moyenne de l’´ecoulement et l’exposant de la loi d’´erosion, valent respectivement Re = 300, S = 0.02 et β = 3.75. Si la valeur de γ n’influence que mod´er´ement l’instabilit´e de bancs, elle modifie en revanche

consid´e-rablement le taux de croissance et la longueur d’onde des rides les plus instables. InfluenceGammaTauxCroissanceDunes

En utilisant l’expression du temps caract´eristique Tedonn´ee par l’´equation (4.45), on peut d´eterminer les domaines du plan (Re, S) o`u le taux de croissance des rides permet leur observation. L’´etablissement de cette courbe de stabilit´e requiert des temps de calcul num´erique tr`es ´elev´es lorsqu’augmente la valeur du nombre de Rey-nolds. L’´epaisseur de la sous-couche visqueuse est en effet d’ordre H/Re1/3, ce qui impose de raffiner le pas d’espace de la r´esolution num´erique lorsque Re croˆıt. Ceci explique que la courbe de stabilit´e des rides ne parcourt pas la totalit´e de l’espace des param`etres sur la figure 4.3. Le domaine de stricte instabilit´e des bancs est re-pr´esent´e sur le mˆeme plan. La grande majorit´e des motifs observ´es entrent bien dans leur domaine th´eorique d’instabilit´e. L’incertitude quant `a la valeur du param`etre γ empˆeche la comparaison directe des taux de croissance de chaque type d’instabilit´e. Au regard des r´esultats exp´erimentaux pr´eliminaires r´esum´es dans la figure 4.3, les pr´edictions des th´eories de stabilit´e lin´eaires associ´ees `a l’apparition des rides et des chevrons d’´erosion sont acceptables. La comparaison avec d’autres param`etres des instabilit´es mesurables exp´erimentalement, tels que la vitesse de phase et les longueurs d’onde longitudinale et transverse, devrait permettre d’affiner les mod`eles utilis´es ici, notamment en ce qui concerne la loi d’´erosion.

Fig. 4.2 – Taux de croissance de rides form´ees par un ´ecoulement laminaire, en fonction du nombre d’onde k, pour diff´erentes valeurs du param`etre de diffusion γ. Le nombre de Reynolds, la pente moyenne de l’´ecoulement et l’exposant de la loi d’´erosion, valent respectivement Re = 300, S = 0.02 et β = 3.75. Si la valeur de γ n’influence que mod´er´ement l’instabilit´e de bancs, elle modifie en revanche consid´e-rablement le taux de croissance et la longueur d’onde des rides les plus instables.

En utilisant l’expression du temps caract´eristique T_edonn´ee par l’´equation (4.45), on peut d´eterminer les domaines du plan (Re, S) o`u le taux de croissance des rides permet leur observation. L’´etablissement de cette courbe de stabilit´e requiert des temps de calcul num´erique tr`es ´elev´es lorsqu’augmente la valeur du nombre de Rey-nolds. L’´epaisseur de la sous-couche visqueuse est en effet d’ordre H/Re1/3, ce qui impose de raffiner le pas d’espace de la r´esolution num´erique lorsque Re croˆıt. Ceci explique que la courbe de stabilit´e des rides ne parcourt pas la totalit´e de l’espace des param`etres sur la figure 4.3. Le domaine de stricte instabilit´e des bancs est re-pr´esent´e sur le mˆeme plan. La grande majorit´e des motifs observ´es entrent bien dans leur domaine th´eorique d’instabilit´e. L’incertitude quant `a la valeur du param`etre γ empˆeche la comparaison directe des taux de croissance de chaque type d’instabilit´e. Au regard des r´esultats exp´erimentaux pr´eliminaires r´esum´es dans la figure 4.3, les pr´edictions des th´eories de stabilit´e lin´eaires associ´ees `a l’apparition des rides et des chevrons d’´erosion sont acceptables. La comparaison avec d’autres param`etres des instabilit´es mesurables exp´erimentalement, tels que la vitesse de phase et les longueurs d’onde longitudinale et transverse, devrait permettre d’affiner les mod`eles utilis´es ici, notamment en ce qui concerne la loi d’´erosion.

4.1. Rides form´ees par un ´ecoulement laminaire 137

Rides

stables

Instables

Chevrons instables Stables

0 200 400 600 800 1000 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 Re S

Fig. 4.3 – Les deux principaux motifs d’´erosion observ´es dans un canal laminaire, r´eunis dans le plan (nombre de Reynolds, inclinaison du canal). Les symboles •, ◦ et + repr´esentent respectivement les rides, les chevrons, et l’absence de motif. La zone gris´ee correspond au domaine de stabilit´e stricte des chevrons. La courbe en trait gras indique un taux de croissance dimensionnel ´egal `a 1/30 s−1 pour l’instabilit´e de rides. Le coefficient β vaut 3.75, tandis que γ est choisi ´egal `a 10 pour les rides, et `a 1 pour les bancs (voir § 4.1.2.2). Les ordres de grandeur propos´es dans la pr´esente ´etude correspondent aux r´esultats exp´erimentaux, mais une loi d’´erosion plus d´etaill´ee sera n´ecessaire pour comparer quantitativement les taux de croissance lin´eaires des deux types d’instabilit´e.

138 Ph´enom`enes invariants dans la direction transverse