Domaines de stabilit´e `a pente constante

! p_∗=0 " ∞ kx=0

v∗(kx, 2p∗+ 1) cosh(ip∗πy/R)e^i(kxx−ω(kx,2p∗+1)t) dkx

+ ∞ ! p_∗=0 " ∞ kx=0

v∗(kx, 2p∗) sinh(ip∗πy/R)e^i(kxx−ω(kx,2p∗)t) dkx .

(3.29) Le mˆeme raisonnement appliqu´e `a la perturbation de hauteur du fond h conduit ´egalement `a des nombres d’onde transverses discrets. En revanche, la perturbation de hauteur du fond est antisym´etrique lorsque p est impair, et vice versa. Deux exemples de ces modes sont repr´esent´es sur la figure 3.5.

3.2.1.2 Domaines de stabilit´e `a pente constante : une interpr´etation du vieillissement

vieillissement

`

A chacun des modes discrets introduits au § 3.2.1.1, correspond une relation de dispersion ω(kx, p) ≡ ω(kx, pπ/R). Le taux de croissance associ´e σ(kx, p) v´erifie

σ(kx, p) ∼

kx→∞− γk2 x

1 + Sγ^{. (3.30)}

Le taux de croissance de chaque mode admet donc un maximum global, not´e σm(p). Le mode le plus instable pm est tel que

σm(pm) = max

p∈N(σm(p)). (3.31)

Fig. 3.4 – Sch´ema d’un canal `a fond ´erodable et berges rigides, dont le § 3.2.1 pr´esente l’analyse de stabilit´e.

transverse des perturbations. Si p est impair (p = 2p_∗ + 1), v_∗(k_x, p) = v_∗(k_x, −p)

et la perturbation de vitesse est sym´etrique par rapport `a l’axe des x ; au contraire, si p est pair (p = 2p_∗), v_∗(k_x, p) = −v_∗(k_x, −p) et la perturbation de vitesse est

antisym´etrique. La perturbation de vitesse transverse peut donc ˆetre d´ecompos´ee en une somme discr`ete de modes alternativement pairs et impairs :

v(x, y, t) = ∞ X p∗=0 Z _∞ kx=0

v_∗(k_x, 2p_∗+ 1) cosh(ip_∗πy/R)e^i(kxx−ω(kx,2p∗+1)t) dk_x

+ ∞ X p∗=0 Z _∞ kx=0

v_∗(k_x, 2p_∗) sinh(ip_∗πy/R)ei(kxx−ω(kx,2p∗)t) dk_x .

(3.29) Le mˆeme raisonnement appliqu´e `a la perturbation de hauteur du fond h conduit ´egalement `a des nombres d’onde transverses discrets. En revanche, la perturbation de hauteur du fond est antisym´etrique lorsque p est impair, et vice versa. Deux exemples de ces modes sont repr´esent´es sur la figure 3.5.

3.2.1.2 Domaines de stabilit´e `a pente constante : une interpr´etation du vieillissement

`

A chacun des modes discrets introduits au § 3.2.1.1, correspond une relation de dispersion ω(kx, p) ≡ ω(kx, pπ/R). Le taux de croissance associ´e σ(kx, p) v´erifie

σ(k_x, p) ∼

kx→∞− ^γk

2

x

1 + Sγ^{. (3.30)}

Le taux de croissance de chaque mode admet donc un maximum global, not´e σm(p). Le mode le plus instable p_m est tel que

σ_m(p_m) = max

3.2. Morphog´en`ese des micro-rivi`eres 79 200 400 600 800 x -20 -10 0 10 20 y 200 400 600 800 x -20 -10 0 10 20 y

Fig. 3.5 – Exemples de modes de l’instabilit´e de bancs, pour p = 1 (au-dessus) et p = 2 (au-dessous), dans le cas d’un ´ecoulement laminaire. Les valeurs des param`etres sont R = 55.0, F = 2.71, S = 0.0875, γ = 1 et β = 3.75. Les fl`eches repr´esentent le champ de vitesse pour une perturbation d’amplitude ² = 0.3 et les niveaux de gris la topographie du fond h. Les ´echelles sont arbitraires. Les modes repr´esent´es sont les deux plus instables pour le jeu de param`etres ci-dessus. Leurs nombres d’onde longitudinaux et pulsations sont k_x = 0.00665, ω = 0.0133 + 0.00846i pour p = 1 et

80 Motifs d’´erosion dans le plan horizontal

Fig. 3.6 – Bancs altern´es dans l’Ornain, `a Bar-le-Duc, France. Le lit est compos´e de gravier grossier, et les berges ne sont pas ´erodables. La largeur totale de la rivi`ere est d’environ 30 m. (Photographie : S. Jozan.)

L’existence de p_m est garantie par le terme de diffusion de l’´equation de transport de s´ediments (1.29), proportionnel `a γ :

σ(k, ψ) ∼

k→∞− ^γk

2

1 + Sγ^{, (3.32)}

o`u ψ d´esigne l’angle que forme le vecteur d’onde avec la direction x, et k est la norme du mˆeme vecteur d’onde. Si les hypoth`eses de lin´earit´e demeurent valides suffisamment longtemps au cours du d´eveloppement d’une instabilit´e, le mode p_m finira par dominer tous les autres. D´eterminer pm donne donc une indication sur la forme de la premi`ere instabilit´e susceptible d’ˆetre observ´ee au cours d’une exp´erience. Si l’on consid`ere un ´ecoulement `a pente fix´ee, la valeur de pm d´epend du nombre de Froude et du rapport d’aspect de l’exp´erience (voir figure 3.7). `A titre illustratif, consid´erons uniquement les modes p = 1 et p = 2. En d´eterminant num´eriquement la valeur des maxima σm(1) et σm(2), il est possible de tracer le diagramme de stabilit´e de la figure 3.8, o`u sont repr´esent´es les domaines de pr´edominance de ces deux modes.

Le diagramme de la figure 3.8 permet de proposer une explication qualitative du vieillissement des rivi`eres. Comme nous l’avons vu dans le § 2.2, une micro-rivi`ere parcourue par un ´ecoulement capable d’´eroder ses berges s’´elargit au cours du temps, jusqu’`a atteindre sa largeur d’´equilibre ´eventuelle, ou jusqu’`a d´eborder. Dans le cas d’un ´ecoulement laminaire, la conservation du d´ebit d’eau Qw impose, en ordre de grandeur :

Q_w ≈ UHW. (3.33)

3.2. Morphog´en`ese des micro-rivi`eres 81 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 -0.06 -0.04 -0.02 0.00 kx Σ

Fig. 3.7 – Taux de croissance σ de divers modes de l’instabilit´e de banc, en fonction du nombre d’onde kx. Les valeurs des param`etres fixes sont β = 3.75, γ = 1, S = 0.0875. Courbe en trait plein : R = 20.3 et F = 3.94. Pointill´es courts : R = 35.0 et F = 3.21. Pointill´es longs : R = 55.0 et F = 2.71. Ces trois couples de valeurs pour (F, R) appartiennent `a la courbe repr´esentant l’´elargissement d’une rivi`ere dans le diagramme de la figure 3.8. Pour chaque couple (R, F ), la courbe en trait gras correspond au mode p = 1, tandis que la courbe en trait fin correspond au mode

p = 2. Dans le premier cas, aucun des deux premiers modes n’est instable. Dans le

second cas, seul le premier mode est instable. Enfin, dans le dernier cas, les deux modes sont instables, mais le mode p = 2, dont le taux de croissance est sup´erieur, correspond `a l’instabilit´e dominante.

conduit `a la relation suivante :

F = F₀(R/R₀)−3/8. (3.34) La courbe correspondante, trac´ee dans le diagramme de stabilit´e pour des valeurs typiques issues des exp´eriences de M´etivier et Meunier (2003), traverse successive-ment les trois domaines : stable, p = 1 et p = 2. Ceci correspond qualitativesuccessive-ment aux ´etapes successives du vieillissement d’une micro-rivi`ere, qui voit dans un pre-mier temps son lit s’´elargir sans briser l’invariance en x, puis le d´eveloppement d’une instabilit´e sinueuse de type m´eandre, lui-mˆeme suivi par l’´emergence de motifs en tresses.