Notre r´eseau de Petri Flou est un mod`ele de sc´enario. Lors de la confrontation de ce mod`ele `a un ´episode r´eel observ´e, les diff´erentes situations le composant ne seront pas toutes totalement actives. L’activation partielle de situations peut ˆetre le r´esultat d’er-reurs de perception. Elle peut ´egalement correspondre, et c’est le cas qui nous int´eresse le plus, au fait que la situation r´eelle ne correspond pas tout `a fait `a la situation prototypique qui a ´et´e d´ecrite. Chaque activation de situation peut ˆetre interpr´et´ee comme une preuve suppl´ementaire que le sc´enario qui se d´eroule correspond bien au sc´enario mod´elis´e. On se retrouve donc dans le cadre d’un probl`eme de fusion de ces preuves afin d’´evaluer `a quel point un mod`ele de sc´enario correspond `a la r´ealit´e observ´ee. Nous avons r´ealis´e cette fusion de preuves en nous appuyant sur deux outils :
γ
. op´erateur binaire respectant des contraintes de commutativit´e, associativit´e, monotonie et valeurs aux limites
Evaluation d’un contexte distance 1 0 proche loin proche et loin distance 1 0 1 0 tirer(P)
P est loin P est proche P distance 1 0 1 0 tirer(P)
P est loin P est proche P distance 1 0 1 0 tirer(P)
P est loin P est proche P
Les deux situations sont simultanément vraies
Figure 6.2: Exemple de transition floue entre situations
M´eta-mod`ele : RdP flou synchronis´e
– la mesure floue comme indicateur de l’importance d’un ensemble de situations par rapport au contexte associ´e.
– les int´egrales floues pour la fusion effective des ´el´ements de preuve (degr´e d’ac-tivation des diff´erentes situations), en se basant sur leur importance respective (mesure floue).
6.4.1 Mesure floue
En 1970, Sugeno a introduit la notion de mesure floue (Sugeno, 1977). Soit X un ensemble fini δ et P (x) ε l’ensemble de tous ses sous-ensembles. Une mesure floue est
une fonction g respectant les conditions suivantes :
domaine : g : P (X)→ [0, 1] (6.5)
valeurs aux limites : g(∅) = 0, g(X) = 1 (6.6)
Monotonie : A⊆ B ⇒ g(A) ≤ g(B) (6.7)
Les ´el´ements xi ∈ X sont interpr´etables comme des ´el´ements d’information tendant `a estimer la pr´esence de ce que l’on cherche (cf. crit`eres dans l’aide `a la d´ecision multicri-t`eres). La mesure floue g({x}) fournit l’importance que revˆet l’´el´ement d’information x par rapport `a ce que l’on cherche. La mesure floue g({xi, . . . xk}), indique l’importance de la pr´esence de l’ensemble des ´el´ements d’information xi, . . . xk. On retrouve cette in-terpr´etation dans les trois contraintes pr´ec´edentes. En particulier, l’´equation 6.6 indique qu’en l’absence d’information (∅), on n’a aucun r´esultat. Si, en revanche, toutes les in-formations sont disponibles (X), alors on a ce que l’on cherche. L’´equation 6.7 indique que plus on a d’information, plus on est en pr´esence de ce que l’on cherche. Dans notre cas, l’´el´ement d’information est la situation. Ce que l’on cherche, c’est la pr´esence d’un contexte. La mesure floue indique l’importance de la pr´esence d’un ensemble de situations dans l’identification d’un contexte.
En pratique, la construction d’une mesure floue commence par la d´etermination par un expert de l’importance de chacune des sources d’information (gi) :
X ={x1, . . . , xn} : ∀i, gi
= g({xi}) (6.8)
Ces valeurs gi sont appel´ees les densit´es floues associ´ees `a X. Ces densit´es floues ´etant fournies, il s’agit alors de construire la mesure floue sur la totalit´e de P (X). Le passage d’un singleton `a un sous ensemble quelconque de X peut se faire grˆace `a l’op´erateur d’union.
δ
. Il est ´egalement possible de d´efinir une mesure sur un ensemble infini
ε
Evaluation d’un contexte
Remarque : les ´equations 6.5, 6.6 et 6.7 d´efinissant une mesure floue n’imposent aucune contrainte sur g(A∪ B). Sugeno a propos´e une famille particuli`ere de mesures floues en ajoutant une contrainte suppl´ementaire sur g(A∪ B) : il s’agit des λ-mesures floues.
6.4.2 λ-mesure floue
L’objectif des λ-mesures floues est de pouvoir construire la mesure g sur la totalit´e de P(X) `a partir des densit´es floues gi (importance des sources ´el´ementaires d’information fournies par un expert). Cette construction est possible grˆace `a la contrainte impos´ee sur g(A∪ B) (´equation 6.9) :
λ >−1 et λ 6= 0, ∀A, B ∈ P (X), A ∩ B = ∅ :
gλ(A∪ B) = g(A) + g(B) + λg(A)g(B) (6.9)
La valeur de λ n’est pas fix´ee par l’utilisateur. Elle doit ˆetre calcul´ee afin de respecter la valeur aux limites g(X) = 1 (voir Tahani et Keller (Tahani & Keller, 1990)).
6.4.3 Int´egrale de Choquet
L’importance de la pr´esence d’un ensemble de situations pour la reconnaissance d’un contexte est sp´ecifi´ee (la λ− mesure floue g). On dispose ´egalement `a partir des donn´ees de perception de l’activation d’une situation : la moyenne des activations floues instantan´ees (voir section 6.3.2). Appelons h(si) cette activation. La prochaine ´etape consiste `a fusionner les activations des situations, gradu´ees par leur degr´e d’importance, afin d’´evaluer l’appartenance `a un contexte. Cette fusion est le rˆole de l’int´egrale floue de Choquet (voir (Grabish, 2006) par exemple).
L’int´egrale floue de Choquet d’une fonction h (activation floue des situations) par rapport `a une mesure floue g (importance de ces situations) est donn´ee par l’´equation6.10
Z X f = n X i=1
(h(σ(i))− h(σ(i + 1)))g(Ai) (6.10)
o`u σ est une permutation sur l’ensemble des situations permettant d’ordonner ces si-tuations par ordre d’activation d´ecroissant h(σ(i)) > h(σ(i + 1)) et Ai correspond au sous-ensemble des situation ordonn´ees `a partir du rang i : Ai ={σ(i), σ(i + 1), . . . , σ(n)}
M´eta-mod`ele : RdP flou synchronis´e Sous-ensemble X de S g(X) ∅ 0 { s1 } 0.14 { s2 } 0.45 { s3 } 0.12 { s1, s2 } 0.71 { s1, s3 } 0.29 { s2, s3 } 0.67 { s1, s2, s3 } 1.0
Table 6.1: Exemple de mesure floue pour un contexte form´e de 3 situations.
6.4.4 Exemple d’´evaluation d’un sc´enario
Consid´erons par exemple un sc´enario compos´e de 3 situations : S ={s1, s2, s3}. Un expert fixe tout d’abord le degr´e d’importance (densit´e floue) de la pr´esence de chaque situation pour la reconnaissance du sc´enario. Ce sont par exemple les valeurs g1 = 0.14, g2 = 0.45 et g3 = 0.12. A partir de l’´equation 6.9, cette densit´e peut ˆetre calcul´ee sur l’ensemble des sous-ensembles de S (voir table 6.1). Soit O l’observation d’une s´equence de situations et de leur degr´e d’activation h correspondant. Cette s´equence est d´ecoup´ee en sous-s´equences correspondant au sous-ensemble de la mesure floue. Les activations individuelles des situations sont dans un premier temps combin´ees au sein de ces sous-ensembles par l’int´egrale de Choquet (equation 6.10). La note obtenue correspond `a l’estimation de pr´esence du sous-groupe correspondant de situations. Toutes ces notes interm´ediaires sont de nouveau combin´ees par l’int´egrale de Choquet afin d’obtenir la note finale de correspondance entre la perception et le contexte. Ce processus est r´esum´e Figure 6.3.