Etude de la re onstru tion d'une image

Nous avis a quis

N

images

Im

sur

N/4

périodes de battement de l'hologramme. Comme nous l'avons vu Se .IV.2.3.2, pour démoduler et hologramme, il sut de sommerles imagesen leurae tant un oe ient de phaseapproprié(Eq.IV.30):

I(x, y, 0) =

N −1

X

m=0

imIm

(V.2)

Unhologramme démodulédeparti ulesde

200 nm

dediamètreestreprésentéFig.V.2 pour

N = 128

. Pour ette mesure, les parti ules sont en dehors du plan fo al du mi ros opeetl'intensitélumineuse provenant d'uneparti uleest étaléesurun grand nombre de pixels(anneaux de dira tion).

25µm

espace réel

Fig. V.2  Hologramme hétérodyne démodulé dans l'espa e réel enregistré hors du plandesparti ules(

|I(x, y, 0)|

2

) représenté enintensité (é helle logarithmique).

Une fois démodulé, l'hologramme est re onstruit à l'aide de la méthode de onvolu- tionstandard quenous avonsexposéeSe .IV.2.2. Contrairement à latransforméede Fresnel, ettete hniquede re onstru tion permetd'obtenir unpasd'é hantillonnage spatialindépendant de ladistan ede re onstru tion dansleplanre onstruit.

La méthode de onvolution standard onsiste à simuler lapropagation de lalumière dans l'espa e de Fourier. Pour ela, l'hologramme dans l'espa e des fréquen es spa- tiales

˜

dis rète à deuxdimensions. Comme l'hologramme est enregistrédans une ongura- tion hors axe, les résidus des ordres de dira tion parasites subsistant après la dé- modulation sont supprimés par ltrage spatial. Nous obtenons ainsiun hologramme de Fourier ltré

I(k˜

x, ky, 0)

à partir duquel la lumière est propagée numériquement dansl'espa edeFourier jusqu'àladistan edere onstru tion

z

désirée. Pour efaire, haquepixel del'hologramme ltré

I(k˜

x, ky, 0)

est multipliépar letermede phase:

exp

ik

2

x+ ky2

k

z

!

(V.3)

Ceterme dephaseest al ulépour ha une desvaleurspertinentesde

kx

et

ky

(pour

z

et

k

donnés) et orrespond don à une matri e à deux dimensions de mêmes di- mensions que

I(k˜

x, ky, 0)

. Enn, l'image re onstruite dansl'espa e réel

I(x, y, z)

est obtenue en ee tuant une transforméede Fourier dis rète inverse à deuxdimensions de l'hologramme propagéltré

I(k˜

x, ky, z)

.

Dans ette sous se tion, nous détaillons les étapes du pro édé de re onstru tion en lesétayant par desrésultatsexpérimentaux.

V.1.2.1 Analyse de l'image dans l'espa e de Fourier

L'hologramme en intensité dans l'espa e de Fourier

| ˜I(kx, ky, 0)|

2

est représenté Fig.V.3en é helle logarithmique.

-1

+1

0

espace de Fourier

Fig.V.3TransforméedeFourier2Ddel'hologramme(

| ˜I(kx, ky, 0)|

2

)représentéeen intensité suivant une é helle logarithmiquearbitraire. Lesè hes -1,0 et 1désignent les diérentsordres de dira tion ontenus dansl'hologramme démodulé..

Comme l'onde de référen e

ER

est plane et parallèle au plan du déte teur, sa transforméedeFourier (ordre0), situéeau entrede l'espa edesfréquen esspatiales en

(kx, ky) ≈ (0, 0)

(è he0),seprésentesouslaformed'unetâ hepeuétendue.L'ho- logramme ayant étéenregistrédansune onguration horsaxe, les ordres +1(è he

+1) et -1 (è he -1) sont dé entrés et leur position peut être ajustée en modiant l'angle

θ

entre lesfais eaux objetetréféren e. Dans lamesureoù es deuxordres de dira tion portent une information spatialement ri he, ils sont plus étendus que la référen e. Ils présentent une symétrie ir ulaire dont l'extension spatiale orrespond au ne de ve teurs d'onde que de l'obje tif de mi ros ope, d'ouverture numérique donnée,est apablede olle ter.

Enthéorie(Se .IV.2.3.2),aprèsladémodulation,lesordresdedira tionparasites 0et -1sont nuls etseul l'ordre +1 estnon nul e quipermetde ne re onstruire que l'objet virtuel, améliorant ainsi la qualité de l'image nale. Cependant, omme on peut le voir Fig.V.3, les ordres 0 (

(IS

+ IR)

, è he 0) et -1 (

(E

∗

S.ER)

, è he -1) persistent.Celaest dûauxtrès légèresmouvementsdu dispositifexpérimental oude l'é hantillon et auxvariations aléatoires d'intensité d'émission de la sour e laser. La variationd'intensitédelasour elumineuseseréper uteaussibiensurlebrasréféren e quesurlebrasobjet.Enraisondelafaiblessedel'intensitélumineusediuséepardes nanoparti ulesetdel'ajustementdugainholographiqueparlebiaisdel'intensitédela référen e,dansleplandudéte teur,l'ondederéféren eauneintensitébienplusélevée que elledusignal.Ainsi, lesvariations d'amplitudedelaréféren esontplusgrandes que ellesdusignal, equiexpliqued'unepartquel'intensitérésiduelle

|ER|

2

(ordre0) soitnettement plusimportanteque elledel'ordre-1(

(E

∗

S.ER)

)etd'autrepartquele terme

|ES|

2

,quidevraitapparaître souslaformed'undisque entré dansl'espa ede Fourier,nesoitpasvisible.Laquasiabsen ede etermedire testd'ailleursunebonne illustration du fort gain permis par l'ampli ation interférométrique. Enn, grâ e à ladéte tionhétérodyneetàladémodulation del'hologramme, l'ordre+1 (

(ES.E

∗

R)

, è he +1),signalpertinent permettant lare onstru tiondel'image virtuelle,esttrès intense omparé l'ordre -1.

SurlaFig.V.3,onobserveégalementunsignalparasiteen roixsurlesaxes

kx

= 0

et

ky

= 0

.Cesignalparasitedansl'espa e deFourierestdûenpartie auxdimensions niesdu apteur quiengendrent unfenêtrage spatialdu signal:La matri e CCDne apte les ondes signal et référen e que sur une partie restreinte de l'espa e. Soient

Int(x, y)

et

Intf en(x, y)

l'intensité de lalumière dans tout l'espa e et elle reçue par le apteur.Dansl'espa e réel, larelationqui lie esdeuxquantités est:

Intf en(x, y) = Int(x, y).Fen(x, y);

(V.4)

où la fon tion

Fen(x, y)

vaut 1 sur la surfa e du apteur et est nulle ailleurs. Elle dénitles dimensionsdu apteurde longueur

Lx

etde largeur

Ly

:

Fen(x, y) = ΠLx

2

,

Ly

2

(x, y)

(V.5)

Ainsi,dansl'espa edeFourier,l'intensitélumineusefenêtrée

˜Intf en(kx, ky) = T F [Intf en(x, y)]

est:

où

⊗

est le produit de onvolution et la fenêtre spatiale dans l'espa e de Fourier

˜

Fen(kx, ky)

estdénie par :

˜

Fen(kx, ky) = LxLy

sinc(πkxLx) sinc(πkyLy)

(V.7) L'allure de la transforméede Fourier de lafenêtre est représenté Fig.V.4. L'eet du fenêtragespatialdûauxdimensionsniesdu apteursetraduitparunsignalen roix, plus intenseau entre, suivant les axes

kx= 0

et

ky

= 0

dansl'espa ede Fourier.

Fig. V.4 Eet dufenêtrage spatiallié auxdimensions du apteurdans l'espa e de Fourier (é helle logarithmique).

Lesignalparasiteen roixdépenddon desdimensionsdu apteurmaisaussidubruit de le ture pixel à pixel. Suivant les mesures,l'intensité relative de e signal parasite varieparrapportà elledestroisordres dira tésparl'hologramme. Par onséquent, il apparaît plusou moinsintense d'unemesureà l'autre.

Enn, nous remarquons la présen e de signaux parasites dans les deuxième et quatrièmequadrantsdel'image Fig.V.3(è hesp).Ceux- isontliésàlaprésen ede frangesparasitesdansl'hologramme

I(x, y, 0)

,fréquentenimagerie ohérentelorsque seproduisent desréexions parasites dansledispositifexpérimental.

V.1.2.2 Filtrage spatial et zero padding

Nousavonsvudansleparagraphe pré édent que, malgréladéte tionhétérodyne et ladémodulation, dessignaux parasites, tels quedes résidus de la référen e (0)et de l'image réelle (-1), ainsi que les réexions parasites dans le montage et le signal "en roix", persistent. Néanmoins, omme nous allons le voir dans ette se tion, la ontributionde essignaux parasitesbienlo alisés dansl'espa ede Fourier peutêtre grandement diminuée grâ e àun ltrage spatial.

Envue de séle tionner l'image virtuelle du

1

er

ordre etde supprimer totalement les ordres -1 et 0, l'hologramme

I(k˜

x, ky, 0)

est ltré spatialement dans l'espa e de Fourier, ommenousl'avonsexpliquéSe .IV.2.3.1.Ainsi,danslamatri e

1392 × 1024

de l'espa e desfréquen es spatiales

| ˜I(kx, ky, z = |

2

(a)

(b)

-1

+1

0

espace de Fourier

espace de Fourier_{zéro padding}

Fig.V.5TransforméedeFourier2Ddel'hologramme(

| ˜I(kx, ky, 0)|

2

)représentéeen é helle logarithmique(a). Filtrage spatial de la zone en adrée en (a) et zero padding dansl'espa edesfréquen es spatiales(

| ˜IF(kx, ky, 0)|

2

)(b).

l'ordre +1 (zone en adrée en pointillé Fig.V.5 (a)) est séle tionnée puis opiée au entre d'une matri e nulle

512 × 512

(zero padding) omme on peutle voir Fig.V.5 (b).Remarquonsque etteséle tion estpossible grâ eàla ongurationhorsaxequi ex entrel'imagevirtuelledansl'espa edesfréquen esspatiales.Enpratique,l'intérêt du zero padding est de pla er lazone séle tionnée dansune matri e dont les dimen- sionsen nombre de pixels sont des puissan es de 2, e qui rend le al ul numérique des transformées de Fourier dis rètes beau oup plus rapide. Dans e as pré is, le zero padding a également pour eet de réduire la résolution de l'image re onstruite puisque le nombre de points de la matri e de zero padding est inférieur à elui de la matri e d'a quisition (voir Se .IV.2.3.1). Pour la déte tion d'objets sub-longueur d'onde telles que les nanoparti ules, ette perte de résolution est peu importante puisque laprin ipale limitation dans l'imagerie de nano-objets est la dira tion op- tiqueetnonl'é hantillonnage par le apteur.Pour éviter ette pertede résolution,il faudraitinsérerlazoneséle tionnéedansunematri edezeropadding deplusgrandes dimensions,au prix d'untemps de al ul a ru.

Enn, latranslation de l'ordre+1 au entre dudomaine desfréquen es spatiales permetdepla erl'imagevirtuelleau entredel'imagere onstruite.Malgréle entrage de l'ordre +1 dans l'espa e de Fourier, on observe une translation des objets dans l'image re onstruite en fon tion de la distan e de re onstru tion. Il s'agit d'un eet indésirableliéàla ongurationd'enregistrement horsaxequipeut êtresuppriméen multipliant l'hologramme dans l'espa e réel, avant re onstru tion, par un terme de phase ompensant la variation de hemin optique de l'onde signal en fon tion de la position surlamatri e de pixels. En eet,l'onde signal estin linée d'unangle

θ

par rapportà l'onde de référen ese propageant suivant l'axe

z

.Dansle plandu apteur

θx

θ

x

y

z

CCD

k

θy

Fig. V.6  Représentation de l'angle

θ

entre les ondes signal et référen e et de ses proje tions

θx

et

θy

sur lesplans

(x, z)

et

(y, z)

respe tivement.

est :

exp



−i2π

λ

[sin(θx)x) + sin(θy)y]



(V.8)

où

θx

et

θy

sontrespe tivement les anglesqueforment l'onde signalave l'axe

z

dans les plans

(x, z)

et

(y, z)

(voir Fig.V.6). Ainsi, en multipliant l'image dans l'espa e réelleparletermedephaseopposé

exp +i

2π

λ[sin(θx)x) + sin(θy)y]

,on ompenseles variations de heminoptiqueet, lorsqu'onre onstruitl'imagepropagée, onn'observe plusdetranslationdesobjetsdansl'imageenfon tiondeladistan edere onstru tion. Remarque :Lesangles

θx

et

θy

sontdéterminésà l'aidedelaformuledesinterféren es

sin(θα) =

_iλ_α

en mesurant les interfranges

ix

et

iy

de la gure d'interféren e (espa e réel) suivantles axes

x

et

y

respe tivement.

Dans le document Imagerie et spectroscopie de nanoparticules d'or en microscopie optique plein champ (Page 137-142)