Etude des ´etats isotropes

Les points d’´equilibre du syst`eme (1.12-1.14) tels que_{x = 0 et y 6= 0 sont donn´es par:}

(x,y,z) = (0, ± (3 − ℓ2)1/2/(6√2),ℓ/6) (1.16)

Ils sont d´efinis siℓ2_{< 3. y et z devant atteindre l’´equilibre, il faut donc que ℓ tende vers une constante nulle} ou non et telle que ˙_{ℓ → 0. Lin´earisant l’´equation (1.12) au voisinage de l’´equilibre, on trouve qu’asympto-} tiquement la variable_{x se comporte en Ω → −∞ comme:}

x → x0e3Ω−

R ℓ2_dΩ

Cadre de validit´e de nos r´esultats

Avant d’aller plus loin, ces premiers calculs nous offrent l’opportunit´e de parler de la stabilit´e de nos r´esultats. Ceux ci peuvent ˆetre s´epar´es en plusieurs cat´egories:

1. La localisation des points d’´equilibre isotrope. 2. Les conditions n´ecessaires `a leur existence.

3. Les solutions exactes associ´ees aux points d’´equilibre.

La premi`ere cat´egorie est ind´ependante de toute approximation. Les deux autres ne le sont pas et d´ependent de la vitesse `a laquelle l’´etat d’´equilibre est atteint ou, plus pr´ecis´ement, `a laquelle d’une part la fonctionℓ et d’autre part les variables(y,z) tendent vers leurs valeurs `a l’´equilibre.

En ce qui concerneℓ, nous verrons dans la troisi`eme partie de cette section qu’il est possible de d´eterminer asymptotiquement le comportement deφ(Ω) et donc de ℓ(Ω). Par cons´equent, il est possible de ne faire aucune approximation surℓ comme le montre le calcul (1.17) ci-dessus: quelle que soit la vitesse `a laquelle

ℓ tend vers sa valeur `a l’´equilibre, la pr´esence du termeR ℓ2_{dΩ permet de prendre en compte la variation}

deℓ2_{. Cependant, afin d’obtenir des r´esultats sous formes ferm´ees et comparables entre eux, nous ferons en} g´en´eral l’hypoth`ese suivante que nous appellerons ”hypoth`ese de variabilit´e deℓ”:

– Lorsqu’`a l’´equilibreℓ2 _{tend vers une constanteℓ}2

0, nulle ou non, avec une variationδℓ2 telle que

ℓ2_{→ ℓ}2

0+ δℓ2,R ℓ2dΩ → ℓ20Ω + const.

Afin de montrer que l’on peut math´ematiquement s’affranchir de cette hypoth`ese, les r´esultats de cette sec- tion seront tous exprim´es en tenant compte de l’int´egrale deℓ2<sub>puis de l’hypoth`ese de variabilit´e deℓ. De</sub> plus, nous appliquerons nos r´esultats aux cas de deux th´eories tenseur-scalaires, respectivement en accord et en d´esaccord avec cette hypoth`ese. Dans les sections suivantes, elle sera syst´ematiquement employ´ee et v´erifi´ee lorsque nous ferons des applications.

En ce qui concerney et z, nous consid´ererons que leurs variations δy et δz `a l’approche de l’´equilibre sont suffisamment petites pour ˆetre n´egligeable. Par exemple, lorsque nous calculons (1.17), nous prenons en compte la mani`ere dontℓ approche sa valeur asymptotique puisque nous ne faisons pas l’hypoth`ese de variabilit´e deℓ. En revanche nous ne faisons rien de semblable pour y que nous avons simplement remplac´e par sa valeur `a l’´equilibre dans les ´equations de champs sans tenir compte deδy. Ce probl`eme ne peut pas ˆetre r´esolu aussi ”facilement” que celui en rapport avecℓ. Il est possible que l’´etude des perturbations des solutions exactes puisse apporter des ´el´ements de r´eponses mais ce n’est pas garanti car elle pourrait forte- ment d´ependre de la sp´ecification des formes deω et U en fonction du champ scalaire.

Pour r´esumer, tous nos r´esultats impliquant le calcul d’une approche asymptotique d’une quantit´e au voisi- nage de l’´equilibre seront valables lorsque l’Univers atteint suffisamment vite l’´etat isotrope. La restriction

surℓ peut ˆetre lev´ee en ne faisant pas l’hypoth`ese de variabilit´e mais cela semble plus difficile pour les va-

riablesy et z. Aussi, nous ferons syst´ematiquement l’hypoth`ese que ces variables approchent suffisamment vite leurs valeurs `a l’´equilibre. Ces restrictions seront ´egalement valables pour les variablesk et w que nous d´efinirons plus tard, respectivement associ´ees `a la pr´esence d’un fluide parfait et `a celle d’un second champ scalaire ou de courbure.

Comportements asymptotiques

Appliquant l’hypoth`ese de variabilit´e de <sub>ℓ `a (1.17), lorsque ℓ tend vers une constante non nulle, x →</sub> e(3−ℓ2_)Ω

et verse3Ω _{sinon. Cette variable disparaˆıt donc bien lorsqueΩ → −∞ et que la condition de} r´ealit´e des points d’´equilibre,ℓ2_{< 3, est respect´ee.}

Dans le mˆeme temps, l’´equation (1.12) montre quex est une fonction monotone de Ω: lorsque x est ini- tialement positive (n´egative), elle est asymptotiquement croissante(d´ecroissante).x est donc ´egalement de signe constant. En se servant de l’expression (1.7) de la fonction lapse_{N et du fait que dt = −NdΩ, on} en d´eduit queΩ(t) est une fonction d´ecroissante (croissante) du temps propre t lorsque x, ou de mani`ere ´equivalente l’Hamiltonien, est initialement positive (n´egative). Par cons´equent, un Hamiltonien initialement positif est une condition initiale n´ecessaire pour que l’isotropie en <sub>Ω → −∞ se produise aux ´epoques</sub> tardives. Enfin derni`ere remarque en se qui concerne les fonctions monotones. Nous pouvons calculer que

dgij/dΩ = −2e−2Ω+βij(1 − ˙βij). Compte tenu de ce que nous avons dit sur la monotonie de x et de

l’expression des d´eriv´ees deβijpar rapport `aΩ, il vient que les βijsont des fonctions monotones du temps propret et que par cons´equent chaque fonction m´etrique ne peut avoir au plus qu’un extremum durant son ´evolution. Nous avions d´emontr´e ce point d’une toute autre mani`ere dans [42] `a l’aide du formalisme Ha-

miltonien ADM.

Pour d´eterminerφ(Ω), on se sert de l’´equation (1.15) pour ˙φ qui s’´ecrit asymptotiquement: ˙

φ = 2 φ

2_U φ U (3 + 2ω)

Dans cette derni`ere expression l’hypoth`ese de variabilit´e deℓ n’est pas faite mais par contre on n´eglige la variationδz de la variable z `a l’approche de l’isotropie. C’est la forme asymptotique de la solution de cette ´equation qui nous donnera le comportement asymptotique deφ en fonction de Ω. On en d´eduira donc ℓ(Ω)

etU (Ω) qui sont 2 fonctions donn´ees du champ scalaire. En particulier, connaˆıtre ℓ(Ω) permettra de v´erifier

les conditions n´ecessaires `a l’isotropie, notre hypoth`ese surR ℓdΩ et donc de calculer la forme asymptotique des fonctions m´etriquesΩ(t) et du potentiel U . En effet, utilisant d’une part le comportement asymptotique

de_{x et d’autre part la relation dt = −NdΩ et la d´efinition de y, on trouve qu’`a l’approche de l’isotropie}

Ω(t) et U se comportent respectivement comme:

dt = −12πR30x0e− R ℓ2_dΩ dΩ et U = e2 R ℓ2dΩ

soit en tenant compte de l’hypoth`ese de variabilit´e deℓ

dt = −12πR30x0e−ℓ

2_Ω

dΩ et

U = e2ℓ2Ω

Cette hypoth`ese nous permet de calculer que lorsqueℓ2 <sub>tend vers une constante non nulle, les fonctions</sub> m´etriques tendent vers tℓ−2 <sub>et le potentiel verst</sub>−2<sub>. En revanche, lorsque ℓ</sub>2 <sub>tend vers z´ero, l’Univers</sub> tend vers un mod`ele de De Sitter et le potentiel vers une constante cosmologique. Si l’hypoth`ese n’est pas v´erifi´ee, il est impossible de d´eterminer sans l’aide de quadratures ces comportements asymptotiques.