Discussion et applications

Nos r´esultats concernent une th´eorie tenseur-scalaire massive et minimalement coupl´ee sans autre forme de mati`ere. C’est la plus simple des th´eories que nous allons consid´erer et la m´ethode utilis´ee ci-dessus va nous servir de guide pour les th´eories suivantes. Nous avons restreint notre ´etude aux fonctionsU et 3 + 2ω positives et `a une isotropisation de classe 1. Lorsque l’on suppose que la fonctionℓ et les variables y et z tendent suffisamment vite vers leurs valeurs `a l’´equilibre, nous avons les r´esultats suivants:

Soit une th´eorie tenseur-scalaire minimalement coupl´ee et massive et la quantit´eℓ d´efinie par ℓ = φUφ

U(3+2ω)1/2.

Le comportement asymptotique du champ scalaire `a l’approche de l’isotropie est donn´e par la forme de la solution en_{Ω → −∞ de l’´equation diff´erentielle ˙φ = 2} φ

2_U φ

U(3+2ω). Une condition n´ecessaire `a l’isotropisa-

tion de classe 1 est queℓ2_{< 3. Si ℓ tend vers une constante non nulle, les fonctions m´etriques tendent vers} tℓ−2

et le potentiel disparaˆıt commet−2_{. Siℓ tend vers z´ero, l’Univers tend vers un mod`ele de De Sitter et}

le potentiel vers une constante.

En ce qui concerne l’interpr´etation du nombre 3, on peut montrer intuitivement qu’il est li´e `a la dimen- sion de l’Univers. En effet, pour l’expliquer, d´efinsons deux nombres a et b:

– Le premier,a, vaut 6 et provient de l’expression du volume de l’Univers en fonction du facteur d’´echelle,V = R3_{= R}a/2_{. Il vaut donc deux fois la dimension de l’espace.}

– Le second,_{b, vaut 12 est peut ˆetre d´ecompos´e en 2 ∗6. Le 6 provient cette fois de l’´ecriture du scalaire} de courbure `a l’aide de la d´ecomposition 3+1 de l’espace-temps. Le2 est celui du terme cin´etique pour le champ scalaire ˙φ2 <sub>et apparaˆıt lorsque l’on calcule le moment conjugu´e deφ en variant le</sub> Lagrangien par rapport `a ˙φ.

On trouve alors que le3 intervenant dans la contrainte ℓ2_{< 3 n´ecessaire `a l’isotropisation, est d´efini comme</sub> le rapporta2<sub>/b = 3 et semble donc clairement li´e `a la dimension de l’espace que l’on consid`ere.}

L’hypoth`ese de variabilit´e deℓ peut ˆetre lev´ee et les r´esultats s’expriment alors `a l’aide de l’int´egrale de ℓ2 _{comme montr´e ci-dessus. Ils sont en accord avec le ”Cosmic No Hair theorem” de Wald[49] qui dit}

que les mod`eles homog`enes initialement en expansion avec une constante cosmologique positive (sauf le mod`ele de Bianchi de type IX) et un tenseur d’´energie-impulsion satisfaisant les conditions d’´energies fortes et dominantes tendent vers un mod`ele isotrope de De Sitter pour lequel l’expansion est exponen- tielle. Ici, lorsque l’on consid`ere une constante cosmologique ou lorsque<sub>ℓ → 0 telle que l’hypoth`ese de</sub> variabilit´e deℓ est v´erifi´ee, l’Univers lorsqu’il s’isotropise tend bien vers un mod`ele de De Sitter et le po- tentiel vers une constante. En revanche, lorsqueℓ tend vers z´ero et que l’hypoth`ese de variabilit´e de ℓ n’est pas v´erifi´ee, le potentiel ne tend plus vers une constante et l’Univers n’approche plus un mod`ele de De Sitter. En guise d’application, nous allons examiner les cas des th´eories tenseur-scalaires d´efinies par la forme de la fonction de couplage de Brans-Dicke

(3 + 2ω)1/2

φ =

√ 2 et les formes de potentiels

U = emφ

et

U = φm

On rappelle que nos r´esultats repr´esentent des conditions n´ecessaires et que par cons´equent, lorsque dans les applications qui vont suivre nous parlons d’isotropisation, c’est toujours sous r´eserve que ces conditions soient ´egalement suffisantes.

Le potentiel en exponentiel deφ poss`ede une longue histoire. L’isotropisation des mod`eles de Bianchi avec ce potentiel a d´ej`a ´et´e ´etudi´ee dans [86] et va ainsi nous permettre de tester nos r´esultats. Il a ´et´e montr´e que tous les mod`eles de Bianchi(except´e le mod`ele de Bianchi de typeIX lorsqu’il se contracte) s’isotropisaient aux ´epoques tardives lorsquem2<sub>< 2. Si m = 0, l’Univers tend vers un mod`ele de De Sitter</sub> car le potentiel est une constante et sinon il est en expansion tel quee−Ω_{→ t}2m−2

. Sim2_{> 2, les mod`eles} de Bianchi de typeI, V , V II et IX peuvent s’isotropiser aux ´epoques tardives. En utilisant nos r´esultats, nous voyons qu’asymptotiquement:

φ → mΩ

La condition n´ecessaire `a l’isotropisation de classe 1 s’´ecritm2_{< 6 et les comportements asymptotiques des} fonctions m´etriques sont bien en accord avec ce qui a ´et´e pr´edit dans [86]. La diff´erence entre les r´esultats de ce dernier papier et le nˆotre porte sur la nature de l’intervalle dem autorisant l’isotropisation puisque nous trouvons une limite sup´erieure pour celui ci. La figure 1.1 illustre la convergence des variablesx, y

et_{z vers leurs valeurs `a l’´equilibre pour m = −1. Lorsque m}2> 6, l’isotropisation de classe 1 n’est plus

0 1 2 3 4 5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 x 0 1 2 3 4 5 0.75 0.775 0.8 0.825 0.85 0.875 0.9 y/( R0^3) 0 1 2 3 4 5 -0.12 -0.1195 -0.119 -0.1185 -0.118 z

FIG. 1.1 –Evolution des variablesx, y et z lorsque(3+2ω)1/2_φ =√2, U = emφ_,R3 0= (

√

24π)−1etm = −1 avec les valeurs initiales (x,y,z,φ) = (0.87,0.25, − 0.12,0.14). ℓ = 1/√2, x tend vers 0, y(πR30)−1vers

√

3 − ℓ2_/(6πR3 0

√

2) = 0.91 et z vers ℓ/6 = 0.12 en

accord avec l’expression des points d’´equilibre.

possible car la valeur dey `a l’´equilibre serait complexe. Une simulation num´erique de ce cas est montr´ee sur la figure 1.2 lorsque_{m = −3.2: l’Univers tend toujours vers un ´etat d’´equilibre mais cette fois anisotrope}

carx tend vers une constante non nulle et donc les fonctions β±d´ecrivant l’isotropie, vers l’infini.

Examinons maintenant le cas d’un potentiel en puissance du champ scalaire. On a alors:

ℓ → √m

2φ

et `a l’approche d’une isotropie de classe 1, si celle-ci se produit, le champ scalaire se comporte comme

0 2 4 6 8 10 12 14 0.37 0.38 0.39 0.4 0.41 0.42 0.43 x 0 2 4 6 8 10 12 14 0 0.1 0.2 0.3 0.4 y/( R0^3) 0 2 4 6 8 10 12 14 -0.265 -0.26 -0.255 -0.25 z

FIG. 1.2 –Evolution des variablesx, y et z lorsque(3+2ω)1/2φ =

√

2, U = emφ,R30= (

√

24π)−1et_{m = −3.2 avec les valeurs initiales}

(x,y,z,φ) = (0.87,0.25, − 0.12,0.14). L’Univers ne s’isotropise pas: le syst`eme tend vers un point d’´equilibre anisotrope tel que les fonctions β±

d´ecrivant l’anisotropie divergent.

On doit donc avoirm < 0 afin que le champ scalaire soit r´eel et on d´eduit que ℓ2_{tend vers z´ero comme}

m(4Ω)−1_{. Par cons´equent,R ℓ}2_{dΩ ne tend pas vers une constante mais diverge comme} m

4 ln(−Ω) et nous

devons tenir compte de cette int´egrale dans nos r´esultats: l’hypoth`ese de variabilit´e deℓ n’est pas ici v´erifi´ee. Levant cette hypoth`ese, on trouve alors que le potentiel tend vers z´ero comme_(−Ω)m/2et les fonctions m´etriques versexph( 4−m

48πR3 0x0t)

4 4−m

i

. Pour que cette quantit´e diverge positivement, il faut donc quem < 4 ce qui est toujours v´erifi´e puisquem < 0. Ce cas est illustr´e sur la figure 1.3 o`u l’on voit tr`es nettement que la convergence des variablesy et z vers leurs valeurs `a l’´equilibre est beaucoup plus lente que dans l’application pr´ec´edente. Ceci signifie que l’Univers approche ”lentement” son ´etat isotrope et l’on pourrait alors penser que, en plus de lever l’hypoth`ese de variabilit´e deℓ, les variations δy et δz des variables y et z dont nous parlions dans la sous-section pr´ec´edente devraient ´egalement ˆetre prises en compte. Cependant, il semble que ces derni`eres corrections ne soient pas n´ecessaires. Ceci peut par exemple ˆetre v´erifi´e en comparant l’´evolution asymptotique de<sub>z correspondant th´eoriquement `a z → ℓ/6 → −(12</sub>√_−Ω)−1avec l’int´egration num´erique de la figure 1.3 pour les grandes valeurs deΩ.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 0 0.2 0.4 0.6 0.8 x 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 0.999825 0.99985 0.999875 0.9999 0.999925 0.99995 0.999975 y/(R0^3) 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 -0.006 -0.005 -0.004 -0.003 -0.002 z

FIG. 1.3 –Evolution des variablesx, y et z lorsque(3+2ω)1/2_φ =√2, U = φm_,R3 0= (

√

24π)−1_{etm = −1 avec les valeurs initiales}

(x,y,z,φ) = (0.87,0.25, − 0.12,0.14). x tend vers 0, y(πR3

0)−1vers1 et z vers 0 en accord avec l’expression des points d’´equilibre. Remarquons

que les variablesy et z tendent beaucoup moins vite vers leurs valeurs `a l’´equilibre que sur le graphe 1.2. Ceci est du `a la ”lenteur”de la convergence

deℓ vers z´ero qui se r´epercutent alors sur la variation de ces variables.

Lorsque quem > 0, une isotropisation de classe 1 ne semble plus possible car alors le champ scalaire serait complexe. Les int´egrations num´eriques semblent indiquer que le champ scalaire devient n´egatif pour un temps_{Ω fini. Par cons´equent, si l’isotropisation doit se produire en −∞, il semble n´ecessaire que m soit un} entier afin que le potentiel ne soit pas complexe. Les int´egrations num´eriques ne permettent pas d’en dire plus car elles ´echouent lorsque_{φ → 0, signalant peut ˆetre la pr´esence d’une singularit´e.}