Dans cette th`ese, nous avons consid´er´e les propri´et´es des mod`eles cosmologiques homog`enes en th´eories tenseur-scalaires et nous avons cherch´e `a contraindre ces th´eories en ´etudiant ces mod`eles. Nous avons proc´ed´e en deux ´etapes.
Dans une premi`ere ´etape, nous avons recherch´e quelles caract´eristiques (comportements asymptotiques [154, 155], singularit´es[156, 157], sym´etries[158], etc) un Univers homog`ene devait poss´eder et quelles m´ethodes utiliser (solutions exactes[159, 160], ´etudes asymptotiques[161], formalisme Hamiltonien[42], etc) afin de d´efinir une th´eorie tenseur-scalaire en accord avec ces caract´eristiques. Ces m´ethodes se basent essentiellement sur:
– la recherche de solutions exactes
Ceci ne s’applique qu’`a un nombre tr`es restreint de th´eories mais a ´et´e, de notre point de vue, un excellent moyen de d´ecouvrir la grande vari´et´e des th´eories tenseur-scalaires, des mod`eles de Bianchi et les sources de leur complexit´e. De plus, la recherche de solutions exactes est pr´esente tout au long de notre travail, nous permettant de v´erifier et de valider les r´esultats issus d’´etudes plus g´en´erales. Elles repr´esentent donc en cela un ´el´ement clef.
– la consid´eration d’hypoth`eses purement th´eoriques
Consid´erer qu’un Univers homog`ene est d´epourvu de singularit´e ou respecte une sym´etrie de Noether permet de fortement contraindre une th´eorie tenseur-scalaire. Dans le premier cas cependant nous n’avons pas pu ´etudier de th´eories poss´edant des champs scalaires massifs. Dans le second cas, nos r´esultats ont ´et´e obtenus pour les mod`eles isotropes FLRW. Nous avons tent´e de les ´etendre aux mod`eles anisotropes mais sans r´eel succ`es. Il semblerait que la m´ethode de calculs des sym´etries de Noether doive ˆetre adapt´ee d’une mani`ere ou d’une autre.
– des consid´erations d’ordre dynamique
L’expansion de l’Univers, l’acc´el´eration de cette expansion ou son isotropie sont autant de phases dynamiques que l’Univers traverse ou a travers´e de mani`ere certaine et qui peuvent nous servir `a contraindre les th´eories tenseur-scalaires afin qu’elles les reproduisent.
Pour cette premi`ere ´etape, nous concluons qu’un grand nombre de mod`eles cosmologiques anisotropes et de th´eories tenseur-scalaires peuvent ˆetre contraints en ´etudiant leurs ´equations de champs issues du forma- lisme Hamiltonien[78] `a l’aide des m´ethodes d’analyse des syst`emes dynamiques[25] et en recherchant les processus menant `a l’isotropisation[105].
La deuxi`eme ´etape a alors consist´e `a appliquer cette m´ethode `a l’ensemble des mod`eles de Bianchi de la classeA[109, 127, 129] et `a des th´eories tenseur-scalaires poss´edant jusqu’`a trois fonctions ind´etermin´ees du champ scalaire[116, 162](fonction de gravitation, potentiel, fonction de Brans-Dicke, etc).
Du point de vue de l’analyse des syst`emes dynamiques, nous avons d´etect´e trois familles de points d’´equilibre, correspondant `a trois mani`eres diff´erentes pour l’Univers de s’isotropiser et les avons appel´ees classe 1, 2 et 3. Nous nous sommes int´eress´es `a la classe 1 et avons obtenu des r´esultats consistant en:
1. La localisation des points d’´equilibre isotropes stables.
2. Les conditions n´ecessaires `a leur existence et contraignant les th´eories tenseur-scalaires. 3. Les comportements asymptotiques du champ scalaire, des fonctions m´etriques et du potentiel. Ceux de ces r´esultats d´ecrivant o`u li´es `a des comportements asymptotiques ont ´et´e calcul´es sous l’hypoth`ese que l’Univers tend suffisamment vite vers son ´etat d’´equilibre. Math´ematiquement parlant cela signifie qu’`a l’approche de l’isotropie, les diverses variables figurant dans les ´equations de champs tendent suffisamment vite vers leurs valeurs `a l’´equilibre afin que l’on puisse n´egliger leurs variations dans les calculs. Nous avons montr´e comment cette hypoth`ese pouvait ˆetre lev´ee en ce qui concerne la fonctionℓ. En revanche pour les autres variables, une ´etude des perturbations `a l’approche de l’´equilibre s’av`ere n´ecessaire et des progr`es devront ˆetre faits dans ce sens pour compl´eter l’´etude des processus d’isotropisation de classe 1.
Au final, l’´etat dans lequel se trouve l’Univers lorsqu’il atteint l’isotropie pr´esente des caract´eristiques int´eressantes. En particulier pour les champs scalaires minimalement coupl´es, cet ´etat isotrope peut ˆetre r´esum´e de la mani`ere suivante:
– L’univers est en expansion tel que les fonctions m´etriques tendent vers des puissance ou des exponen- tielles du temps propre et le potentiel respectivement disparaˆıt commet−2ou tend vers une constante.
– La pr´esence de courbure favorise une acc´el´eration tardive et la quintessence. – L’univers est asymptotiquement plat.
– Il existe un lien entre les th´eories tenseur-scalaires menant `a l’isotropisation et celles permettant un aplatissement des courbes de rotation des galaxies spirales.
Lorsque le champ scalaire est non minimalement coupl´e, nous avons pu contraindre les th´eories tenseur- scalaires de telle fac¸on qu’elles soient compatibles avec l’isotropisation et d´eterminer les comportements asymptotiques des fonctions dans le r´ef´erentiel d’Einstein mais il est impossible d’obtenir ces comporte- ments sans quadrature dans le r´ef´erentiel de Brans-Dicke.
L’ensemble de ces r´esultats est illustr´e par de nombreuses applications analytiques et num´eriques. Ces derni`eres ont ´et´e r´ealis´ees `a l’aide de m´ethodes de Runge-Kutta que nous avons impl´ement´ees en Java. Java est un langage peu utilis´e en sciences o`u on lui pr´ef`ere fortran. Il poss`ede pourtant de nombreuses qualit´es, la premi`ere ´etant d’ˆetre totalement gratuit. D’un point de vue technique, c’est un langage objet et ceci nous a permis de s´eparer les m´ethodes d’int´egration des syst`emes `a int´egrer en classes distinctes. Ceci fait, pour int´egrer un syst`eme d’´equation avec une m´ethode de Runge-Kutta, il n’y a plus qu’`a ´ecrire les ´equations sous forme d’une nouvelle classe et il n’est plus besoin de r´eimpl´ementer la m´ethode num´erique. Evidement, la mˆeme chose est possible avec Fortran mais la structure du d´eveloppement est alors beaucoup moins claire et ce langage n’est pas portable. En effet, une fois l’application java compil´ee, elle fonctionne sur n’importe quel environement (windows, linux, mac, etc), diminuant ainsi les coups de d´eveloppement. Enfin, il est ´egalement vrai que des int´egrations num´eriques peuvent ˆetre faites avec des logiciels comme Math´ematica mais elles manquent de souplesses car l’on ne dispose pas des codes sources de ces applica- tions et l’on est donc limit´e par leur langage.
Ce qui reste `a accomplir est encore immense mais nous esp´erons avoir d´efini un cadre de travail op´erationnel capable de guider de futures recherches sur le sujet de l’isotropisation des cosmologies homog`enes mais ani- sotropes en th´eories tenseur-scalaires. Entre autres perspectives, il serait important de prendre en compte les cas de potentiels ou de fonctions de Brans-Dicke n´egatifs. Ceci correspondrait alors `a un non respect de la condition d’´energie faible, hypoth`ese qui revient constamment dans la litt´erature mais qui manque encore de motivations physiques. Plus important, il serait utile de g´en´eraliser nos r´esultats aux mod`eles dont la convergence vers l’´etat isotrope n’est pas suffisamment rapide pour n´egliger les termes du second ordre pourℓ (hypoth`ese de variabilit´e) ou pour les variables dont nous nous sommes servi pour r´e´ecrire les ´equations Hamiltoniennes. Enfin, une derni`ere possibilit´e importante consisterait en l’´etude des classes d’isotropisation de type 2 et 3 qui n’ont ´et´e abord´ees que num´eriquement `a travers des applications. Un axe de recherche possible serait donc d’obtenir des r´esultats analytiques. En particulier la classe 3, s’est r´ev´el´ee ˆetre le moyen d’isotropisation privil´egier de certaines th´eories tenseur-scalaires poss´edant un champ scalaire complexe comme le montre la discussion de la section 1.3 de la partie IV.