Etude de stabilité numérique

Hydrus (Simunek et al., 2008) est un outil de modélisation aux éléments nis de milieu poreux en zone non saturée, et en particulier des sols. Ce logiciel permet de simuler les transferts de liquide et de chaleur ainsi que le transport de solutés. Les transferts de liquide sont modélisés par l'équation de Richards pour les milieux à saturation variable. L'équation de Richards est obtenue à partir des Eq. 3.1 et 3.2 en faisant l'hypothèse d'un milieu diphasique dont la phase gazeuse est à pression constante égale à la pression atmosphérique. Si l'on considère un seul réseau poreux et le terme puits / source nul, on obtient la forme suivante de l'équation de Richards avec h la succion :

∂θL

∂t ^{=−∇ ·}

ρLkikrLg

µL (∇h+ 1) (4.1)

Le transfert de chaleur et le transport de solutés sont modélisés par des équations d'advection -dispersion. Par ailleurs, ce logiciel permet de prendre en compte l'eet de racines et les compor-tements de double porosité - double perméabilité. Cet outil permet entre autres l'utilisation de paramètres de rétention de Van Genuchten ou Brooks et Corey mais ne permet pas l'utilisation de courbes multimodales.

Les paramètres de rétention obtenus expérimentalement (section 3.3.1) tendent à rendre dicile la convergence numérique d'un modèle d'inltration classique, en particulier pour des déchets fai-blement compactés. En eet, comme présenté section 3.3.1, une des caractéristiques des courbes

de rétention des déchets est une très faible pression d'entrée d'air. Lors du déplacement d'un front de saturation, cela implique un très fort gradient de teneur en liquide entre la zone saturée et la zone non saturée. En eet, une faible variation de succion correspond, proche de la saturation, à une forte variation de teneur en liquide (section 3.3.1). La présence de ce fort gradient génère des problèmes de convergence numérique en particulier lors d'un éventuel déplacement du front de saturation.

De manière à mieux évaluer l'impact des paramètres caractéristiques de l'inltration d'un liquide dans un milieu poreux avec un modèle d'inltration classique, une étude a été réalisée avec Hy-drus1D. Cette étude évalue en particulier l'eet de la valeur du paramètre de Van Genuchten α

(m−1) déni section 3.3.1 et se place dans un cadre similaire à celui de l'expérience méso-échelle présentée en détail par la suite section 4.3.2 avec diérentes valeurs de débit, teneur en liquide à saturation et conductivité hydraulique à saturation. Cette expérience consiste en l'injection à débit constant pendant une durée de 2 heures, puis en une période de repos de 1 semaine environ, permettant le drainage gravitaire des liquides dans une cellule d'environ 1 m de hauteur pour une surface de 1 m2.

L'injection est simulée par un débit constant Q pendant 2 heures puis un ux nul en haut du domaine. Le bas du domaine est soumis à une condition de drainage libre. Un modèle de Van Genuchten avec simple porosité est choisi pour décrire la courbe de rétention. Les choix liés à la résolution numérique par défaut de Hydrus1D ont été utilisés (Simunek et al., 2008) avec un maillage de 100 cellules.

Les paramètres présentés Table 4.2 sont constants lors de l'étude. Lors des diérentes tests réa-Tab. 4.2: Paramètres constants pour l'étude de stabilité avec Hydrus1D

Teneur en liquide résiduelle Paramètre de Van Genuchten Tortuosité

θr (m3.m−3) m (-) η (-)

0,15 0,16 0,5

lisés, les variations type de la conductivité hydraulique à saturation ainsi que de la porosité sont présentées Table 4.3. Le paramètre de van Genuchtenαest utilisé comme variable d'ajustement. Les valeurs par défaut des paramètres sont montrées Table 4.4. Les Fig. 4.1, 4.2 et 4.3 montrent les zones de stabilité et d'instabilité du modèle numérique en fonction de la teneur en liquide à saturation, du débit d'inltration et de la conductivité hydraulique à saturation respectivement

Tab. 4.3: Variations des paramètres étudiés pour l'étude de stabilité avec Hydrus1D Porosité totale Débit d'injection Conductivité hydraulique à saturation

εT (m3.m−3) Q (m3.s−1) Ks (m.s−1) 0,4 - 0,7 5,5×10−3 - 4,4×10−2 10−4 - 1

Tab. 4.4: Valeurs de référence des paramètres étudiés pour l'étude de stabilité avec Hydrus1D Porosité totale Débit d'injection Conductivité hydraulique à saturation

εT (m3.m−3) Q (m3.s−1) Ks (m.s−1)

0,55 1,1 ×10−2 10−2

en considérant α comme paramètre critique. Plus la teneur en liquide à saturation est élevée,

0 10 20 30 40 50 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7

Van Genuchten parameter

α

(1/m)

Saturated moisture content (m³/m³) Unstable

Stable

Fig. 4.1: Etude de la stabilité d'un modèle d'inltration simple selon diérentes valeurs de teneur en liquide à saturation

plus la zone stable est importante (Fig. 4.1). Une teneur en liquide à saturation plus importante implique un volume disponible pour le liquide plus important et permet donc un écoulement facilité pour un débit donné. De la même manière, un débit plus faible génère une meilleure stabilité du modèle (Fig. 4.2). Enn, plus la conductivité hydraulique à saturation est forte, plus le modèle est stable à des valeurs de α fortes (Fig. 4.3). En eet, une conductivité hydraulique faible est un frein à l'écoulement. Dans les trois cas, on peut remarquer que les conditions dé-favorables à la création d'un front raide de saturation (forte porosité, faible débit d'injection et forte conductivité hydraulique) sont favorables à la stabilité numérique.

Par ailleurs la valeur de α minimale pour un déchet peu ou pas compacté (section 3.3.1, α = 20 m−1) est indiquée par une droite en pointillé. L'ensemble des valeurs de α pour toutes les

0 10 20 30 40 50 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04

Van Genuchten parameter

α

(1/m)

Injection flow rate (m³/s) Unstable

Stable

Fig. 4.2: Etude de la stabilité d'un modèle d'inltration simple selon diérentes valeurs de débit d'injection 0 10 20 30 40 50 0.0001 0.001 0.01 0.1 1

Van Genuchten parameter

α

(1/m)

Saturated hydraulic conductivity (m/s) Unstable

Stable

Fig. 4.3: Etude de la stabilité d'un modèle d'inltration simple selon diérentes valeurs de conductivité hydraulique à saturation

mesures de courbes de rétention obtenues section 3.3.1 sauf dans le cas fortement compacté sont donc supérieures à cette valeur. On peut observer que, dans les trois cas, la zone stable dans la gamme deα pour les déchets peu ou pas comprimés est très étroite.

Pour le débit de référence, les zones de stabilité pour des valeurs de α de déchets peu ou pas compactés correspond à des valeurs de conductivités hydrauliques très fortes (> 0,02 m.s−1) ou à des porosités très fortes. De telles valeurs de conductivités hydrauliques à saturation sont très supérieures à celles mesurées dans les déchets (section 3.3.2).

Par conséquent, il a été observé que la stabilité numérique pour un modèle d'inltration simple est très dicile à obtenir.

Plusieurs conclusions peuvent être déduites de cette étude. Tout d'abord, les critères de conver-gence peuvent être assouplis. Cependant, il est alors primordial de vérier, lors de l'utilisation d'un logiciel, la validité des résultats grâce à des critères comme par exemple la conservation de la masse. Par ailleurs, il est possible que les descriptions classiques de l'écoulement en milieu poreux doivent être adaptées pour prendre en compte la nature hétérogène des déchets. La faible pression d'entrée d'air peut dès lors être interprétée comme l'eet de l'existence d'écoulements préférentiels qui doivent être pris en compte de manière particulière. On peut cependant noter que l'inltration à faible débit pose moins de problèmes numériques que l'inltration entraînant une mise en saturation d'une partie du milieu.