On a vu au chapitre 3 qu’il ´etait n´ecessaire, pour g´en´erer des pertes d´ependant du sens de propagation, d’utiliser un dispositif non invariant par renversement du temps, comme par exemple un milieu Faraday. Ce qui est valable pour les pertes l’´etant ´egalement pour les d´ephasages, c’est l’effet Faraday que l’on utilisera pour g´en´erer une diff´erence de chemin optique entre les modes contrarotatifs. On a vu, toujours au chapitre 3, qu’un rotateur Faraday admet pour ´etats propres les polarisations circulaires gauche et droite, associ´ees aux valeurs propres exp(±iζ). En particulier, un ´etat de polarisation circulaire donn´e admettra des valeurs propres diff´erentes selon son sens de propagation. Ainsi, lorsque
Rotation réciproque α Rotation non réciproque β Effet polarisant Lame λ/4 tournée à π/4 Rotation non réciproque ζ Lame λ/4 tournée à 3π/4
Figure 5.1 – Sch´ema de principe d’une cavit´e laser comprenant un dispositif de g´en´eration de pertes diff´erentielles (ligne du haut) et un dispositif de g´en´eration d’un biais en fr´equence (ligne du bas).
deux modes contrarotatifs poss´edant le mˆeme ´etat de polarisation circulaire parcourent la cavit´e, le rotateur Faraday va induire entre eux une diff´erence de chemin optique qui va se traduire au niveau de la cavit´e laser par une diff´erence de fr´equences propres entre les deux sens de propagation, donc une non-r´eciprocit´e en fr´equence Ω0. Le principe de base
´etant ´etabli, on va maintenant d´ecrire plus en d´etail quelques configurations concr`etes.
5.1.1
La configuration de base
Consid´erons la cavit´e laser repr´esent´ee sur la figure 5.1. Cette cavit´e est compos´ee d’un premier ensemble, permettant la g´en´eration de pertes diff´erentielles contrˆolables, et lui-mˆeme compos´e d’un rotateur r´eciproque (d’angle α), d’un rotateur Faraday (d’angle
β) et d’un polariseur, ainsi que d’un deuxi`eme ensemble, permettant la g´en´eration d’un
d´ephasage entre les modes contrarotatifs, et lui-mˆeme compos´e d’une premi`ere lame λ/4, tourn´ee `a 45˚de l’axe du polariseur, d’un deuxi`eme rotateur Faraday (d’angle ζ) et d’une deuxi`eme lame λ/4, orient´ee `a 90˚par rapport `a la premi`ere (ou, ce qui revient au mˆeme, `a 135˚de l’axe du polariseur). Ces lames λ/4 ont pour but de transformer les ´etats de polarisation lin´eaires en ´etats circulaires, et r´eciproquement. Leur matrice de Jones s’´ecrit :
Lame λ/4 tourn´ee `a 45˚ Lame λ/4 tourn´ee `a 135˚
LO(π/4, π/4) = √1 2 µ 1 −i −i 1 ¶ LO(3π/4, π/4) = √1 2 µ 1 i i 1 ¶
La matrice de Jones de la cavit´e laser parcourue dans le sens CW s’´ecrit alors :
MCW = RF (β).RRCW(α).LO(π/4, π/4).RF (ζ).LO(3π/4, π/4).P , (5.2)
qui admet pour valeur propre non nulle (calcul effectu´e avec le logiciel Maple 6) :
λCW = cos(α + β)e−iζ . (5.3)
Dans le sens oppos´e, on a :
MCCW = P.LO(3π/4, π/4).RF (ζ).LO(π/4, π/4).RRCCW(α).RF (β) , (5.4)
qui admet pour valeur propre non nulle :
On voit en consid´erant le module de ces valeurs propres que le dispositif induit bien des pertes diff´erentielles, conform´ement `a ce qui a ´et´e d´ecrit au chapitre 3. Par ailleurs, on constate, en consid´erant l’argument de ces valeurs propres, qu’il existe une diff´erence entre les fr´equences de r´esonance des modes contrarotatifs donn´ee, en application de la formule 3.26, par :
Ω0 =
2ζc
Lop
. (5.6)
Le dispositif pr´esent´e ici (rotateur Faraday entour´e de deux lames λ/4) constitue le moyen le plus direct pour g´en´erer un biais magn´eto-optique sur tout type de laser en anneau. On s’int´eresse maintenant `a d’autres configurations possibles, qui prennent en compte les sp´ecificit´es du gyrolaser `a ´etat solide.
5.1.2
Suppression du rotateur r´eciproque par d´esalignement d’une
lame d’onde
Le montage que l’on se propose de d´ecrire maintenant a pour but, en partant de la configuration “standard” de la figure 5.1, de faire l’´economie d’un ´el´ement (`a savoir le rotateur r´eciproque) tout en conservant les effets de g´en´eration des pertes diff´erentielles et du biais en fr´equence. On va voir qu’il suffit pour cela de d´esaligner l’une des lames d’ondes par rapport `a sa position id´eale. On consid`ere donc une cavit´e laser telle que d´ecrite par la figure 5.1, mais sans le rotateur r´eciproque et avec l’une des deux lames d’onde tourn´ee non plus de π/4 par rapport `a l’axe du polariseur mais de π/4 + θ (l’orientation de l’autre lame d’onde restant inchang´ee par rapport `a la configuration pr´ec´edente). La matrice de la premi`ere lame d’onde ainsi tourn´ee devient :
LO(π/4 + θ, π/4) = √1
2 µ
1 + i − 2i cos2(π
4 + θ) −2i cos(π4 + θ) sin(π4 + θ) −2i cos(π 4 + θ) sin( π 4 + θ) 1 + i − 2i sin 2(π 4 + θ) ¶ .
La matrice de Jones de l’ensemble du dispositif parcouru dans le sens CW s’´ecrit alors :
MCW = RF (β).LO(π/4 + θ, π/4).RF (ζ).LO(3π/4, π/4).P , (5.7) qui admet pour valeur propre non nulle (calcul effectu´e avec le logiciel Maple 6) :
λCW = cos(θ + β)ei(θ−ζ). (5.8)
Dans le sens oppos´e, on a :
MCCW = P.LO(3π/4, π/4).RF (ζ).LO(π/4 + θ, π/4).RF (β) , (5.9)
qui admet pour valeur propre non nulle :
cos(θ − β)ei(θ+ζ) . (5.10)
On voit donc, en consid´erant le module des valeurs propres, que le dispositif consid´er´e ici induit bien des pertes diff´erentielles, l’angle θ jouant dans ce contexte le mˆeme rˆole que l’angle de rotation r´eciproque α dans le dispositif pr´ec´edent. De plus, en consid´erant l’argument de ces valeurs propres, on voit que le biais en fr´equence induit par ce dispositif est ´egal `a :
Ω0 =
2ζc
Lop
ce qui est identique `a la r´ealisation pr´ec´edente. On voit donc `a l’issue de ce calcul qu’il est en th´eorie possible de g´en´erer des pertes diff´erentielles et un biais en fr´equence tout en faisant l’´economie du rotateur r´eciproque utilis´e sur le montage de la figure 5.1, au prix du d´esalignement de l’une des lames λ/4. Toutefois, on a suppos´e dans cette analyse que la deuxi`eme lame ´etait inclin´ee d’un angle exactement ´egal `a 135◦ par rapport `a l’axe du polariseur, ce qui n’est jamais le cas en pratique. On se propose donc dans ce qui suit d’´etudier l’effet d’un d´esalignement accidentel de cette deuxi`eme lame.
5.1.3
Effets d’un d´esalignement simultan´e des deux lames d’onde
La configuration `a laquelle on s’int´eresse maintenant est similaire `a la pr´ec´edente, avec en plus la seconde lame d’onde tourn´ee non pas de 3π/4 (135◦) par rapport `a l’axe du polariseur mais de 3π/4 + ε. La matrice d’une telle lame s’´ecrit :
LO(3π/4 + ε, π/4) = √1 2 µ 1 − i + 2i cos2(π 4 + ε) 2i cos( π 4 + ε) sin( π 4 + ε) 2i cos(π 4 + ε) sin(π4 + ε) 1 − i + 2i sin2(π4 + ε) ¶ . (5.12)
La matrice repr´esentant un tour de cavit´e dans le sens CW est alors :
MCW = RF (β).LO(π/4 + θ, π/4).RF (ζ).LO(3π/4 + ε, π/4).P , (5.13) qui admet pour valeur propre non nulle :
λCW = cos(β + θ − ε) cos(d − θ + ε) + i cos(β + θ + ε) sin(−d + θ − ε) . (5.14)
La matrice repr´esentant un tour de cavit´e dans le sens CCW s’´ecrit quant `a elle :
MCCW = P.LO(3π/4 + ε, π/4).RF (ζ).LO(π/4 + θ, π/4).RF (β) , (5.15)
et admet pour valeur propre non nulle :
λCCW = cos(β − θ + ε) cos(d + θ − ε) + i cos(β − θ − ε) sin(d + θ − ε) . (5.16)
Tant que la valeur de ε reste petite, le d´esalignement ne perturbe pas le fonctionnement du dispositif stabilisateur (en effet, `a l’ordre 0 en ε, les modules des valeurs propres sont respectivement ´egaux `a cos(β − θ) et cos(β + θ)). En revanche, on voit que lorsque ε 6= 0, la diff´erence de phase entre les modes contrarotatifs devient d´ependante de β. Autrement dit, un mauvais alignement des lames d’onde induit un couplage entre le dispositif stabi- lisateur et le biais Faraday, ce dernier devenant d´ependant du courant dans la bobine de contre-r´eaction, donc en particulier des fluctuations de l’intensit´e des modes contrarota- tifs. Afin d’´evaluer quantitativement cette d´ependance, on effectue un calcul num´erique avec les param`etres suivants : ζ=1,5 mrad (ce qui correspond typiquement `a 500 kHz de biais en fr´equence), θ=4,5˚(voir la partie 4.2.1) et ε=0,5˚(ce qui repr´esente l’incer- titude exp´erimentale sur l’alignement des lames d’ondes). On ´evalue alors la quantit´e arg(λCCW) − arg(λCW) pour deux valeurs typiques de β, par exemple β=0,16 mrad (va-
leur mesur´ee en fonctionnement `a l’´equilibre sur le d´emonstrateur) et β=0,3 mrad. La diff´erence entre les deux r´esultats vaut dans ce cas pr´ecis 0,34.10−6 rad, ce qui correspond `a une modification de la valeur du biais en fr´equence d’environ 100 Hz. Autrement dit, lorsque le courant dans la boucle de contre-r´eaction passe de sa valeur de fonctionne- ment `a l’´equilibre (40 mA) `a une valeur environ deux fois sup´erieure (par exemple pour
Rotation réciproque α Rotation non réciproque β Effet polarisant Lame λ/4 tournée à π/4+θ Rotation non réciproque ζ Lame λ/4 tournée à 3π/4 +θ Effet polarisant
Figure 5.2 – Sch´ema de principe d’une cavit´e laser avec un dispositif de g´en´eration de pertes diff´erentielles (ligne du haut) et dispositif de g´en´eration d’un biais en fr´equence (ligne du bas), ces deux dispositifs ´etant s´epar´es par deux polariseurs.
corriger une ´eventuelle fluctuation d’origine ext´erieure), le biais en fr´equence est modifi´e d’environ 0,02% de sa valeur, ce qui est r´edhibitoire pour la navigation inertielle haut de gamme. De mani`ere plus g´en´erale, il n’est pas acceptable que le biais en fr´equence, qui est suppos´e ˆetre extrˆemement stable, soit d´ependant du courant d´elivr´e par la boucle de contre-r´eaction, qui est par d´efinition fluctuant. On propose donc une nouvelle configu- ration, qui permet de s’affranchir de ce probl`eme en d´ecouplant totalement le dispositif stabilisateur du dispositif de g´en´eration du biais en fr´equence grˆace `a l’utilisation de deux polariseurs.
5.1.4
Vers une configuration insensible aux d´esalignements des lames
d’ondes
On consid`ere donc dans ce qui suit la configuration pr´esent´ee sur la figure 5.2, dans laquelle deux polariseurs de mˆeme axe s´eparent les deux dispositifs (stabilisation et g´en´eration du biais en fr´equence). Ces derniers sont alors ind´ependants l’un de l’autre puisqu’ils re¸coivent toujours en entr´ee un ´etat de polarisation lin´eaire selon l’axe des po- lariseurs. En revanche, cette m´ethode de d´ecouplage rend inop´erante l’astuce pr´esent´ee plus haut pour s’affranchir du rotateur r´eciproque en d´esalignant l’une des lames d’ondes. Il convient donc de r´eint´egrer le rotateur r´eciproque dans la configuration finale, comme c’est le cas sur la figure 5.2.
Pour mettre en ´evidence quantitativement l’effet de d´ecouplage, on consid`ere le dispo- sitif de la figure 5.2 en supposant que les lames d’ondes sont l´eg`erement d´esalign´ees par rapport `a leur position id´eale (le d´esalignement ´etant repr´esent´e par les angles θ et ε). La matrice de Jones de d’ensemble du dispositif parcouru dans le sens CW s’´ecrit alors :
MCW = P.RF (β)RCW(α).P.LO(π/4 + θ, π/4).RF (ζ).LO(3π/4 + ε, π/4) , (5.17) qui admet pour valeur propre non nulle :
Dans le sens oppos´e, on a :
MCCW = LO(3π/4 + ε, π/4).RF (ζ).LO(π/4 + θ, π/4).P.RCCW(α).RF (β).P , (5.19) qui admet pour valeur propre non nulle :
λCW = cos(α − β) [cos(ζ − θ + ε) cos(θ − ε) + i sin(ζ − θ + ε) cos(θ + ε)] . (5.20)
On constate sur les expressions 5.18 et 5.20 que le module des valeurs propres est donn´e, dans la limite o`u ² et θ sont proches de z´ero, par cos(α ± β), ce qui valide le principe de la g´en´eration des pertes diff´erentielles. De plus, on voit sur ces mˆemes expressions que l’ar- gument des valeurs propres est ind´ependant de β, ce qui rend la question de l’alignement des lames d’ondes beaucoup moins critique : le seul effet d’un mauvais alignement, en pr´esence des polariseurs, sera l’introduction de pertes suppl´ementaires. Toujours dans la limite o`u ² et θ sont proches de z´ero, la diff´erence entre les fr´equences propres des modes contrarotatifs est donn´ee par :
Ω0 =
2ζc
Lop , (5.21)
ce qui valide ´egalement le principe de g´en´eration du biais.
Il convient de noter que les expressions 5.18 et 5.20 fournissent de plus un signal d’erreur utile pour positionner correctement les lames d’onde par rapport aux axes des polariseurs.
5.1.5
Conclusion
On a pr´esent´e plusieurs configurations permettant d’introduire un biais magn´eto- optique dans le gyrolaser `a ´etat solide. Toutes ces configurations utilisent un milieu Fa- raday entour´e de deux lames λ/4. On a montr´e qu’un d´esalignement de l’une des lames pouvait remplacer avantageusement le rotateur r´eciproque n´ecessaire `a la g´en´eration des pertes diff´erentielles. Toutefois, on a vu que dans une version `a un seul polariseur, le dis- positif de g´en´eration du biais se couple au dispositif de g´en´eration des pertes diff´erentielles `a cause du positionnement imparfait des lames d’onde, ce qui d´egrade les performances inertielles. On a propos´e une variante permettant de s’affranchir de ce probl`eme grˆace `a l’utilisation de deux polariseurs, ce qui d´ecouple totalement les deux dispositifs. Cette variante ne permet en revanche plus de se passer du rotateur r´eciproque, qui doit ˆetre r´eintroduit.