On a pr´esent´e dans ce chapitre quelques r´esultats issus de la litt´erature et qui illus- trent les propri´et´es tr`es particuli`eres des superfluides en rotation. On a vu que dans un condensat de Bose-Einstein torique, la rotation peut se traduire par l’´etablissement d’un supercourant atomique ou, de mani`ere ´equivalent, d’une variation de la phase dans la direction longitudinale. Le toy model de Leggett, pr´esent´e dans ce chapitre, montre que l’´etat du syst`eme d´epend continˆument de la vitesse de rotation appliqu´ee `a la condition que l’´energie d’asym´etrie V0 soit sup´erieure `a l’´energie moyenne d’interaction par parti-
cule g. Cette condition n’est pas sans rappeler la condition d’´etablissement du r´egime de battement dans le gyrolaser `a ´etat solide (condition 3.13). Dans les deux cas, le syst`eme est sensible `a la rotation `a la condition qu’un couplage additionnel et lin´eaire favorable compense les effets d’un couplage naturellement pr´esent et non lin´eaire d´efavorable. Cette analogie est une illustration des passerelles qui peuvent exister entre l’´etude des couplages entre modes dans diff´erents syst`emes ayant des conditions aux limites p´eriodiques [54].
La pr´esence d’une asym´etrie du tore qui contient le condensat est donc b´en´efique `a deux points de vue : d’une part elle permet d’augmenter la sensibilit´e `a la rotation en permettant au syst`eme de se retrouver dans une superposition d’´etats et d’autre part elle permet de faire disparaˆıtre le ph´enom`ene de m´etastabilit´e, incompatible d’une utilisation en tant que gyrom`etre.
Un senseur de rotation bˆati sur ce principe devra donc ˆetre suffisamment asym´etrique. On peut alors imaginer mesurer la vitesse de rotation en analysant le profil de densit´e le long du tore, celui-ci ´etant donn´e dans le cas du toy model par la relation :
D’autres m´ethodes ont ´et´e ´egalement sugg´er´ees. Par exemple l’analyse du profil conden- sat apr`es un temps d’expansion libre (ou temps de vol) permettrait de remonter `a une information sur le nombre de vortex pr´esents dans le tore [166]. On pourrait ´egalement envisager une analyse en impulsion du condensat par spectroscopie de Bragg [178].
Description unidimensionnelle d’un
condensat torique
L
e rˆole cl´e jou´e par la forme g´eom´etrique du pi`ege contenant le condensat de Bose- Einstein nous a amen´e `a nous int´eresser plus pr´ecis´ement au moyen de prendre en compte, de fa¸con quantitative, une ´eventuelle d´eformation du tore par rapport `a sa forme circulaire. Cette d´emarche nous a conduit `a d´evelopper un formalisme permettant la description unidimensionnelle d’un guide d’onde atomique en rotation dans le cas d’un fort confinement transverse. C’est ce formalisme, d´evelopp´e en collaboration avec le groupe de l’Universit´e de Trente [59], que l’on pr´esente dans ce chapitre. Apr`es avoir pos´e le probl`eme sur des bases math´ematiques pr´ecises, on expose la proc´edure de d´ecouplage successivement en l’absence puis en la pr´esence d’une rotation. Les effets des interactions atomiques et d’une possible variation longitudinale de la fr´equence de pi´egeage transverse sont ´egalement discut´es.9.1
Description quantitative du guide d’onde atomique
On consid`ere un guide d’onde atomique le long d’une courbe C, d´efinie param´etri- quement par le vecteur rC(s), o`u s est l’abscisse curviligne le long de C. En chaque point de la courbe, on d´efinit le rep`ere de Frenet local (t, n, b) par :
t = drC ds ; κ n = dt ds ; τ b = dn ds + κt et db ds = −τ n , (9.1)
o`u κ et τ d´esignent respectivement la courbure et la torsion de C [152]. On d´efinit alors, au voisinage de C, un syst`eme local de coordonn´ees (s, u, v) par :
r(s, u, v) = rC(s) + uN(s) + vB(s), (9.2)
le rep`ere (t, N, B) se d´eduisant du rep`ere de Frenet (t, n, b) par une rotation autour de
t : µ N B ¶ = µ cos θ sin θ − sin θ cos θ ¶ µ n b ¶ ,
o`u l’angle θ v´erifie :
dθ
Un tel choix de coordonn´ees, sugg´er´e par [179], permet d’obtenir une expression tr`es simple pour le gradient1, qui ne d´epend en particulier plus de la torsion qu’`a travers le
param`etre angulaire θ. Plus pr´ecis´ement, on a :
∇ = t h−1∂s+ N ∂u+ B ∂v , (9.4)
o`u l’on a d´efini la fonction h(s, u, v) comme suit :
h(s, u, v) = 1 − κ (u cos θ − v sin θ) . (9.5) On suppose que le potentiel de pi´egeage du guide d’onde assure en tout point un confine- ment harmonique perpendiculaire `a la tangente locale, selon l’expression :
V⊥(u, v) = M 2 ¡ ω2 uu2+ ωv2v2 ¢ , (9.6)
o`u M est la masse atomique et ωu,v sont les fr´equences de pi´egeage transverse respecti- vement dans les directions N et B (qui, rappelons-le, peuvent d´ependre de la coordonn´ee longitudinale s). On supposera dans tout ce qui suit, pour simplifier, que ces fr´equences sont ´egales (ωu = ωv = ω⊥).
L’hypoth`ese principale de notre traitement est de supposer que l’extension de l’´etat fondamental du pi`ege harmonique transverse, donn´ee par :
σ =
r ~
Mω⊥
, (9.7)
est tr`es inf´erieure aux dimensions et longueurs de variation typique de C, ce qui s’´ecrit :
κσ ¿ 1 |κ0|σ ¿ |κ| |κ00|σ ¿ κ2 , (9.8)
o`u le “prime” d´esigne la d´erivation par rapport `a la coordonn´ee longitudinale s. Comme on l’a vu pr´ec´edemment, lorsque le guide d’onde est au repos dans un r´ef´erentiel en rotation `a la vitesse angulaire Ω, on peut ´ecrire une ´equation de Schr¨odinger stationnaire dans le r´ef´erentiel tournant sous la forme suivante :
µΨ(s, u, v) = · − ~2 2M ∇ 2− Ω · (r × p) + V ⊥(u, v) + Vext(s) ¸ Ψ(s, u, v) , (9.9) o`u l’op´erateur quantit´e de mouvement est d´efini par p = −i~∇, le gradient prenant la forme 9.4 dans le syst`eme de coordonn´ees (s, u, v). Le terme Vext(s) d´ecrit tout potentiel
agissant sur les atomes dans la direction longitudinale, en plus du potentiel de pi´egeage. Ce terme est suppos´e petit devant l’´energie de confinement transverse ~ω⊥.
La condition de normalisation de la fonction d’onde Ψ s’´ecrit, en tenant compte de la m´etrique associ´ee `a (s, u, v) :
ZZZ
ds du dv h(s, u, v) |Ψ(s, u, v)|2 = 1 . (9.10)
La quantit´e h(s, u, v), d´efinie plus haut (´equation 9.5), n’est pas factorisable en g´en´eral en un produit d’une fonction de la variable longitudinale s et d’une fonction des variables
transverses (u, v). On est donc amen´e, afin de pouvoir d´ecoupler les dynamiques longitu- dinale et transverse, `a introduire la nouvelle fonction d’onde Φ =√hΨ, dont la condition
de normalisation prend la forme simple suivante : ZZZ
ds du dv |Φ(s, u, v)|2 = 1 . (9.11)
En ins´erant l’expression de Φ(s, u, v) dans l’´equation 9.9, on montre que son ´evolution est r´egie par le hamiltonien suivant :
ˆ H = − ~2 2M · ∂s ¡ h−2∂ s ¢ + ∂2 uu+ ∂vv2 + κ2 4h2 + 5h02 4h4 − h00 2h3 ¸ −√h Ω · (r × p)√1 h + V⊥(u, v) + Vext(s) . (9.12)
Cette ´equation a ´et´e obtenue dans [179] pour le cas Ω = 0. Les auteurs de cette r´ef´erence s´eparent les dynamiques transverse et longitudinale en passant `a la limite adiabatique, d´efinie par h → 1, h0 ¿ κ et √h00 ¿ κ. Ils d´emontrent ainsi l’existence d’un potentiel longitudinal, proportionnel au carr´e de la courbure locale. Toutefois cette approche n’est pas facilement g´en´eralisable au cas Ω 6= 0, ce qui a motiv´e le traitement que l’on pr´esente dans ce qui suit.