Etude comparative entre les trois approches proposées : chaînes de Markov,

kov, M/G/S/S et M[X]_/G/S/S

4.5.4.1 Comparaison des débits par classe en fonction du taux d’arrivée

Dans la FIGURE 4.20 et la FIGURE 4.21 (voir le Tableau 14 en Annexe 8.5.2.4 pour plus de détails), nous comparons respectivement les débits de sortie de la classe 1, XM,1, et les débits de sortie de la classe 2, XM,2, obtenus par les trois approches : simulations Matlab, M/G/S/S et M[X]/G/S/S, exprimés en termes de kbits/trame, lorsque la macro est déployée sans micro, avec une taille de paquet size(u) = 1024 bits. Nous calculons XM,j dans la M/G/S/S par l’équation (??) suivante : 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 50 100 150 200

Taux d’arrivée, λM,1[kbits/trame]

Débit de sortie, XM ,1 [kbits/trame]

Classe 1: Simul de la chaîne de Markov

Classe 1: M[X]_/G/S/S

Classe 1: M/G/S/S

Figure 4.20 – Comparaison entre les simulations Matlab, la M[X]/G/S/Set la M/G/S/S en terme de débit par classe (macro sans micro, size(u) = 1024 bits)

D’après ces résultats, lorsque le taux d’arrivée des clients est faible (λM,1=153.3447 kbits/trame), les modèles de files d’attente que nous proposons (M[X]_{/G/S/Set la M/G/S/S) offrent les mêmes} débits par classe et appartenant à l’intervalle obtenu par la simulation des chaînes de Markov.

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 20

40 60 80

Taux d’arrivée, λM,2 [kbits/trame]

Débit de sortie, XM ,2 [kbits/trame]

Classe 2: Simul de la chaîne de Markov

Classe 2: M[X]_/G/S/S

Classe 2: M/G/S/S

Figure 4.21 – Comparaison entre les simulations Matlab, la M[X]/G/S/Set la M/G/S/S en terme de débit par classe (macro sans micro, size(u) = 1024 bits)

le débit de la classe 1 obtenu par la M[X]_{/G/S/S est plus proche de la simulation que celui ob-} tenu par la M/G/S/S. De même pour le débit de la classe 2, lorsque le taux d’arrivée des clients λM,2 varie entre 86.8772 et 101.8105 kbits/trame, la M[X]/G/S/S offre également des débits plus proches de la simulation que la M/G/S/S. Enfin, lorsque le taux d’arrivée est supérieur aux valeurs sus-citées, la M/G/S/S offre des débits par classe plus proches de la simulation que ceux obtenus par la M[X]_{/G/S/S. Notons que pour size(u) = 1024 bits, les deux modèles de files d’attente que} nous proposons représentent de bonnes approximations.

Dans la FIGURE 4.22 et la FIGURE 4.23 (voir le Tableau 15 en Annexe 8.5.2.4 pour plus de détails), nous comparons respectivement les débits de sortie de la classe 2, XM,2, et les débits de sortie de la classe 4, XM,4, obtenus par les trois approches : simulations Matlab, M/G/S/S et M[X]_{/G/S/S, exprimés en termes de kbits/trame, lorsque la macro est déployée sans micro, avec} une taille de paquet size(u) = 2048 bits.

D’après ces résultats où size(u) = 2048 bits, lorsque le système est faiblement chargé la M/G/S/S et la M[X]_{/G/S/S offrent les mêmes débits par classe appartenant à l’intervalle obtenu par simula-} tion de la chaîne de Markov. Toutefois, lorsque le système devient moyennement/ fortement chargé la M/G/S/S offre des débits par classe plus proches de ceux obtenus par simulation. Comme vu dans la section précédente, pour size(u) = 2048 bits, la M[X]_{/G/S/Sne donne pas de bons résultats} étant donné que nous avons des tailles de batchs qui vont jusqu’à 4 (plus la taille des batchs est grande, plus la forme close de la M[X]_{/G/S/S est mauvaise).}

En conclusion de cette étude sur la comparaison des débits globaux obtenus par les trois ap- proches : simulations Matlab, M/G/S/S et M[X]_{/G/S/S, nous retenons ce qui suit. Globalement,} la M/G/S/S donne de meilleurs résultats car nous utilisons la formule de la probabilité de blocage de l’Erlang B pour la probabilité de perte, qui est insensible à la distribution des temps de service

100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 100 150 200 250 300 350 400

Taux d’arrivée, λM,2 [kbits/trame]

Débit de sortie, XM ,2 [kbits/trame]

Classe 2: Simul de la chaîne de Markov

Classe 2: M[X]_/G/S/S

Classe 2: M/G/S/S

Figure 4.22 – Comparaison entre les simulations Matlab, la M[X]/G/S/Set la M/G/S/S en terme de débit par classe (macro sans micro, size(u) = 2048 bits)

40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 40 60 80 100 120 140 160 180

Taux d’arrivée, λM,4 [kbits/trame]

Débit de sortie, XM ,4 [kbits/trame]

Classe 4: Simul de la chaîne de Markov

Classe 4: M[X]_/G/S/S

Classe 4: M/G/S/S

Figure 4.23 – Comparaison entre les simulations Matlab, la M[X]/G/S/Set la M/G/S/S en terme de débit par classe (macro sans micro, size(u) = 2048 bits)

(nous avons considéré des temps de service constants). Alors que la M[X]_{/G/S/S considère des} temps de service exponentiels, et des arrivées exponentielles par batch. Ainsi, même si ce système a un processus d’arrivées plus proche de la chaîne de Markov, que l’autre modèle de file d’attente, la M/G/S/S qui considère des temps de services constants permet d’obtenir par l’Erlang B des probabilités de perte globalement plus proches de celles de la chaîne de Markov.

4.5.4.2 Comparaison des temps d’exécution des trois approches proposées : chaînes de Markov, M/G/S/S et M[X]/G/S/S

Suite aux résultats obtenus, nous pouvons donc utiliser les modèles M/G/S/S et M[X]_/G/S/S pour modéliser le mécanisme eICIC/ ABS. Ayant pour objectif de proposer des outils de dimen- sionnement très rapides, nous nous intéressons à présent à la comparaison du temps de simulation des chaînes de Markov avec ceux de la M[X]_{/G/S/S et de la M/G/S/S.}

Nous précisons que le pc sur lequel les exécutions ont été faites a les caractéristiques suivantes : — Processeur : Intel (R) Core (TM) i7-6600U CPU@ 2.60 GHz 2.70 GHz

— Mémoire installée (RAM) : 16 Go

Dans le Tableau 4.4, nous résumons les temps de simulation des chaînes de Markov et de la ré- solution de la M/G/S/S et de la M[X]_{/G/S/S en fonction du taux d’arrivée des clients, lorsque} la micro est déployée et nous supposons que la taille des paquets des clients size(u)= 1024 bits. Dans la première colonne, nous représentons le temps d’exécution de l’algorithme 1 et le temps de simulation de la chaîne de Markov que nous notons Simul (Algo 1+ CM) où Simul(CM) signifie simulation de la chaîne de Markov. Dans les autres colonnes, nous ne prenons pas en compte le temps de simulation de l’algorithme 1, permettant de déterminer la distribution des utilisateurs et leurs conditions radio, étant donné que ces paramètres sont communs aux trois approches et nécessaires pour la simulation des chaînes de Markov et pour la résolution de la M/G/S/S et de la M[X]/G/S/S.

D’après le Tableau 4.4, nous remarquons que le temps de simulation des chaînes de markov et de l’algorithme 1 dépendent du taux d’arrivée des clients. En effet, le fait d’augmenter le taux d’arrivée des clients implique l’augmentation du nombre de clients à générer (Nb UE, voir l’algorithme 1) ce qui augmente le nombre d’utilisateurs à traiter dans l’algorithme 1 et dans la simulation des chaînes de Markov. Nous rappelons que dans la simulation des chaînes de Markov, nous calculons le débit par utilisateur puis le débit par classe. En ce qui concerne les modèles de files d’attente, nous remarquons que leurs temps de résolution sont indépendants du taux d’arrivée des clients (voir l’équation (4.15) et l’équation (4.16) pour la M/G/S/S ainsi que l’équation (4.24) et l’équation (4.25) pour la M[X]_{/G/S/S) .}

De plus, nous remarquons que la M/G/S/S est plus rapide que la simulation. Effectivement, pour la M/G/S/S (qui nécessite uniquement 2s de résolution), nous notons une différence très impor-

λclients Simul (Algo 1 + CM) Simul (CM) M[X]/G/S/S M/G/S/S

50 13 min 3 min 10 min 2 s

100 19 min 6 min 10 min 2 s

150 30 min 7 min 10 min 2 s

200 41 min 9 min 10 min 2 s

250 54 min 11 min 10 min 2 s

300 1h 9 min 14 min 10 min 2 s

350 1h 24 min 17 min 10 min 2 s

400 1h 45 min 20 min 10 min 2 s

450 2h 25 min 25 min 10 min 2 s

Tableau 4.4 – Temps d’exécution des trois approches (macro avec micro, size(u)= 1024 bits)

tante quelque soit le taux d’arrivée des clients (résolution en "temps réel"). Par ailleurs, le temps de résolution de la M[X]_{/G/S/S est estimé à 10 min ce qui apporte une amélioration pour tout}

λclients ≥ 250 clients/trame. La lenteur de la M[X]_{/G/S/S par rapport à la M/G/S/S est due}

à la complexité de l’équation (4.24) et de l’équation (4.25) qui est d’ordre de θ(nJM₎ et θ(nJm₎,

respectivement.