Nous résumons dans le Tableau 4.1 tous les paramètres nécessaires pour la compréhension de cette section.
Dans ces modèles, chaque batch qui arrive représente le nombre de RBG nécessaires pour la transmis- sion d’un paquet du UE (appelé aussi client) selon ses conditions radio. La FIGURE 4.3 représente un exemple d’un client avec une taille de batch égal à 2 RBG.
Figure 4.3 – Exemple d’arrivée d’un client, avec une taille de batch égal à 2 RBG, dans une trame Nous notons AM,i(n) (resp. Am,i(n)) le nombre de clients, appartenant à la classe i de la macro cell (resp. micro cell), qui arrivent à la trame n, i×AM,i(n) (resp. i×Am,i(n)) le nombre de RBG requis
Paramètre Explication
λclients Taux d’arrivée des clients dans la région centrale (macro et micro)
λclientsM Taux d’arrivée des clients dans la macro (toutes classes confondues)
λclientsm Taux d’arrivée des clients dans la micro (toutes classes confondues)
λclientsM,i Taux d’arrivée des clients dans la classe i de la macro
λclientsm,i Taux d’arrivée des clients dans la classe i de la micro
λ Taux d’arrivée dans la région centrale (macro et micro) exprimé en kbits/trame λM Taux d’arrivée dans la macro (toutes classes confondues) exprimé en kbits/trame
λm Taux d’arrivée des clients dans la micro (toutes classes confondues) exprimé en kbits/trame λM,i Taux d’arrivée des clients dans la classe i de la macro exprimé en kbits/trame
λm,i Taux d’arrivée des clients dans la classe i de la micro exprimé en kbits/trame JM Nombre de classes dans la macro
Jm Nombre de classes dans la micro
AM,i(n) Nombre de clients, appartenant à la classe i de la macro cell, qui arrivent à la trame n Am,i(n) Nombre de clients, appartenant à la classe i de la micro cell, qui arrivent à la trame n i × AM,i(n) Nombre de RBG requis à la trame n par les clients de la classe i de la macro
i × Am,i(n) Nombre de RBG requis à la trame n par les clients de la classe i de la micro S Capacité de service (nombre de RBG pouvant être servis dans une trame) SM Capacité de service de la macro
Sm Capacité de service de la micro
nABS Nombre d’ABS (sous-trames) attribués à la micro YM(n) Nombre de RBG occupant la macro
Ym(n) Nombre de RBG occupant la micro
XMRBG Débit de sortie moyen de la macro exprimé en RBG/trame XmRBG Débit de sortie moyen de la macro exprimé en RBG/trame rM Taille moyenne des batchs de la macro
rm Taille moyenne des batchs de la micro
gM,j Distribution de proba des batchs de taille j dans la macro gm,j Distribution de proba des batchs de taille j dans la micro
XMclients Débit de sortie moyen de la macro exprimé en clients/trame
Xmclients Débit de sortie moyen de la micro exprimé en clients/trame
CRM,i Taux de codage moyen des clients de la classe i de la macro CRm,i Taux de codage moyen des clients de la classe i de la micro
NM,i Nombre moyen des points de constellation des clients de la classe i de la macro Nm,i Nombre moyen des points de constellation des clients de la classe i de la micro pbM Probabilité de blocage dans la macro
pbm Probabilité de blocage dans la micro
XMbits Débit de sortie moyen de la macro exprimé en bits/trame Xmbits Débit de sortie moyen de la micro exprimé en bits/trame Xbits Débit de sortie global exprimé en bits/trame
XM Débit de sortie moyen de la macro exprimé en kbits/trame Xm Débit de sortie moyen de la micro exprimé en kbits/trame X Débit de sortie global exprimé en kbits/trame
micro cell). Dans chaque macro cell, il y a un nombre total de S RBG pouvant être servis dans une trame. S représente donc la capacité de service. Comme déjà expliqué dans la section précédente, en présence de la micro cell, ces RBG sont partagés entre la macro et la micro cell selon le paramètre nABS (voir l’équation (4.2) et l’équation (4.3)). Durant chaque trame, nous devons considérer (i) les arrivées de clients dans la macro cell, (ii) les arrivées de clients dans la micro cell et (iii) la capacité de service de la macro de SM RBG au plus pour les clients de la macro (resp. la capacité de service de la micro de Sm RBG pour les clients de la micro cell).
La technique eICIC peut alors être modélisée par deux chaînes de Markov à temps discret, où l’unité de temps est la durée de la trame : une pour la macro et l’autre pour la micro cell. Soit YM(n) (resp. Ym(n)) représentant le nombre de RBG occupant la macro (resp. la micro) à la trame n. A la fin de chaque trame n, nous considérons :
- le service des clients arrivés à la trame n − 1
- et l’arrivée des clients à la trame actuelle (c’est à dire à la trame n).
Les équations d’évolution définissant les chaînes de Markov sont données comme suit pour la macro :
YM(n) = min(SM, [YM(n − 1) − SM]++ JM X i=1 i × AM,i(n)) (4.5) où YM(0) = min(SM,PJM i=1i × AM,i(0)) et pour la micro : Ym(n) = min(Sm, [Ym(n − 1) − Sm]++ Jm X i=1 i × Am,i(n)) (4.6) et Ym(0) = min(S m,PJi=1m i × Am,i(0)).
Etant donné que les chaînes de Markov proposées considèrent des arrivées par batch et relati- vement un nombre important de serveurs (500 serveurs pour 20 MHz, 1000 serveurs pour 40 MHz, ...), ceci génère un nombre important de transitions. Effectivement, la complexité de la matrice en termes de nombre de transitions est exprimée comme le produit du nombre d’états, la variabilité des arrivées et le nombre de tailles des batchs, par exemple, pour une bande passante de 20 MHz où la macro est déployée seule, nous avons 500 états et pour chaque état si nous considérons λclients= 100, le nombre d’arrivées varient entre 70 et 130. En effet, mathématiquement c’est comme une loi nor- male : pour un niveau de confiance de 99%, l’intervalle des valeurs est [λ − 3 × σ , λ + 3 × σ ] (σ est l’écart type, σ =√λ). Ce qui fait 130 − 70 = 60 cas d’arrivées possibles. Si nous supposons que le nombre de tailles de batchs possibles est 2. Ce qui nous fait, pour cet exemple 500 × 60 × 2 = 60000 transitions. Ainsi, les chaînes de Markov que nous proposons sont difficiles à analyser numérique- ment. En considérant T trames, nous définissons XRBG
pour la macro et la micro respectivement exprimés en RBG/trame, comme suit : XMRBG(T ) = PT t=1Y M(t) T (4.7) XmRBG(T ) = PT t=1Y m(t) T (4.8)
Le débit de sortie de la macro (resp. la micro) en termes de clients/trame représente donc le rapport entre XRBG
M (T )(resp. XmRBG(T )) et la taille moyenne des batchs dans la macro, rM (resp. la micro,
rm). Nous choisissons évidemment une valeur de T suffisamment grande pour la convergence de
XMRBG(T ) et XmRBG(T ) et nous répétons les simulations afin d’assurer un intervalle de confiance à 95%. Ainsi, le débit de sortie de la macro et de la micro en termes de clients/trame sont calculés comme suit : XMclients= lim T →∞ XRBG M (T ) rM (4.9) Xmclients= lim T →∞ XRBG m (T ) rm (4.10) où rM = PJM j=1j × gM,j avec gM,j = λclients M,j λclients M (resp. rm = PJm j=1j × gm,j avec gm,j = λclients m,j λclients m ) est
la taille moyenne des batchs dans la macro (resp. la micro). Les distributions des tailles de batchs vérifient PJM
i=1gM,i=PJi=1m gm,i = 1.
Afin de déduire le débit de sortie binaire, nous devons considérer la distribution des tailles des batchs et les paramètres radio (c’est à dire le nombre de PRB dans un RBG, le nombre d’OFDM symboles par PRB, le nombre de sous-porteuses par PRB, le taux de codage moyen par classe, le nombre moyen de points de constellation par classe), nous le calculons comme suit :
XMbits= XMclients×
JM
X i=1
i × gM,i× NP RB× 7 × 12 × CRM,i× log2(NM,i) (4.11) Xmbits = Xmclients× Jm X i=1
i × gm,i× NP RB× 7 × 12 × CRm,i× log2(Nm,i)
(4.12)
où CRM,iet NM,i(resp. CRm,i et Nm,i) représentent le taux de codage moyen et le nombre moyen de points de constellation dans la classe i de la macro (resp. de la micro).
Le débit de sortie global en termes de kbits/trame est X = Xbits M +Xmbits
1024 .
Quant à la probabilité de blocage pour la macro, elle peut être calculée comme suit :
pbM = λ clients
M − XMclients
et celle pour la micro : pbm= λ clients m − Xmclients λclients m (4.14) Les probabilités de blocage de la macro (resp. micro) sont aussi calculées pour chaque classe i en multipliant les débits par la probabilité gM,i (resp. gm,i).
La résolution numérique et la simulation en Matlab de la chaîne de Markov (macro ou micro) prennent un certain temps d’exécution. Nous avons observé en ce qui concerne la simulation de la chaîne de Markov, et pour un taux d’arrivée de clients λclients compris entre 50 clients/trame et 450 clients/trame, un temps de simulation compris entre 3 minutes et 25 minutes. Par conséquent, les simulations des chaînes de Markov ne peuvent pas être utilisées comme outils de configuration en temps réel pour la technique eICIC/ ABS. Dès lors, nous explorons dans ce qui suit des modèles de files d’attente qui permettraient de remédier à ces faiblesses.