IV. 1. a. (i) Utilisation de la corrélation des enveloppes de Fourier (FSC)
Nous avons déjà parlé du critère de Crowther qui lie résolution de la reconstruction et nombre de projections acquises. Ce critère suppose une acquisition parfaite, sans bruit et sans désalignement des projections, ce qui n’est pas le cas en pratique. De plus ce critère n’est valable que pour une reconstruction analytique sans imposer de connaissances préalables sur l’objet. Une évaluation de la résolution d’une reconstruction est donc nécessaire pour avoir un critère plus pertinent.
L’idée de la corrélation des enveloppes de Fourier (FSC pour “Fourier Shell Correlation”) [154] est d’utiliser 2 volumes et de mesurer la corrélation entre ces 2 volumes pour différentes fréquences. La fréquence à partir de laquelle la corrélation chute sert alors de critère de résolution. Ce principe est schématisé sur la Figure 60. Les valeurs de corrélation sont déterminées à partir de l’équation (29).
Figure 60 : Exemple d'application de la FSC. Ò$ et ÒZ représentent les transformées de Fourier de 2 reconstructions G$ et GZ supposées indépendantes. Par soucis de simplification de la représentation, nous avons illustré le cas 2D pour lequel l’enveloppe S est un cercle. Le calcul de la FSC se fait en utilisant les spectres Ò$)7+ et ÒZ)7+ restreints à l’enveloppe S. Déterminer la corrélation pour toutes les fréquences d’enveloppe permet d’obtenir le graphe en bas à droite. Le cas 3D est identique en utilisant une sphère pour enveloppe.
Ò$ ÒZ
Ò$)7+ ÒZ)7+
120
Ò7Bÿz‰ÿv)7+ a
•ÑwC}r¸Ò$)}+"ÒZ1)}+º" á•ÑwC‰Ò$)}+‰²"•ÑwC‰ÒZ)}+‰²"
7 représente l’enveloppe dans l’espace de Fourier correspondant à une fréquence donnée, cf. Figure 60.
(29)
Idéalement, dans le cas de simulations par exemple, il faut utiliser le fantôme et la reconstruction dont la résolution est recherchée. En pratique, pour des données réelles, il est possible d’utiliser 2 reconstructions réalisées avec les projections paires pour l’une et les projections impaires pour l’autre [128]. Cela dans le but d’obtenir 2 reconstructions « indépendantes » et de réaliser la FSC sans avoir accès à l’objet réel.
Il est crucial d’utiliser des reconstructions indépendantes pour que le calcul de la FSC ait un sens. Prendre les projections paires d’un côté et impaires de l’autre semble être suffisant pour imposer cette indépendance puisque chaque projection est utilisée par une et seulement une des 2 reconstructions. Néanmoins, l’alignement est réalisé avec le jeu complet des projections. Les 2 jeux de projections ne sont donc pas indépendants puisque certaines erreurs d’alignement peuvent être communes aux deux. La FSC peut alors donner une corrélation importante entre les deux volumes pour des fréquences élevées qui est en fait une corrélation des artéfacts dus aux erreurs communes d’alignement. Si cela est vrai dans une trop grande mesure, l’emploi de la FSC pour estimer la résolution en tomographie électronique n’est alors pas justifiable. Des simulations ont été réalisées pour vérifier cela.
La résolution est déterminée à l’aide de la FSC en prenant la fréquence à partir de laquelle la corrélation descend en dessous de 0,5. Un fantôme 2D a été utilisé pour simuler des jeux de projections avec un pas angulaire constant et une étendue angulaire idéale de 180°. Les 2 reconstructions analytiques FBP utilisées pour le calcul de la FSC sont obtenues respectivement avec les projections paires et impaires. Les projections sont simulées sans bruit, et sans erreurs d’alignement pour le 1er cas. Les sinogrammes sont décalés de 10 pixels de façon à simuler une erreur dans la position de l’axe de rotation pour le second cas. Les résultats sont visibles sur la Figure 61. Les résolutions ainsi obtenues s’avèrent proches du critère de Crowther, mais elles restent identiquement proches pour les projections qui contiennent une erreur dans la détermination de l’axe de rotation. Les artéfacts dus à cette erreur d’alignement sont pourtant très nets et devraient ressortir dans le calcul de la résolution.
Figure 61 : Comparaison de la résolution obtenue par la méthode FSC et le critère de Crowther dans le cas d’un alignement parfait et dans le cas d’un alignement avec une erreur dans la position de l’axe de rotation de 10 pixels. On peut voir que les mesures de la résolution par FSC sont les mêmes alors que les artéfacts présents dans le 2nd cas sont très importants. Le nombre de projections indiqué est celui d’un seul jeu de projections. Le total des projections utilisées est donc le double. Trois reconstructions correspondant à 20, 100 et 250 projections sont représentées pour les 2 cas. Ces reconstructions mettent en avant des artéfacts importants dus à une erreur dans la position de l’axe de rotation de 10 pixels, qui ne sont pourtant pas mis en avant dans le calcul de la résolution par FSC.
L’évaluation de la résolution par la technique de FSC est donc délicate et ne peut être pertinente que si les données sont très bien alignées, sinon les volumes ne sont plus indépendants puisque des erreurs d’alignement sont communes aux 2 reconstructions. Il est possible d’aligner séparément les 2 jeux de données, mais une étape d’alignement des 2 volumes l’un par rapport à l’autre est alors nécessaire pour réaliser un calcul de FSC. Dans ce cas également, l’utilisation de la FSC est délicate pour déterminer la résolution puisque les résultats sont biaisés par l’imprécision de l’alignement 3D.
IV. 1. a. (ii) Utilisation d’un fantôme adapté
Puisque nous venons de montrer que l’utilisation de la FSC pouvait être fortement biaisée par des erreurs d’alignement par exemple, nous proposons un nouveau fantôme qui est composé d’un disque avec une rugosité de surface, percé de 12 trous circulaires de différentes tailles. Ce fantôme permet
Alignement parfait
Décalage de 10 pixels de l’axe de rotation Fantôme utilisé
122
d’évaluer la limite de détectabilité des reconstructions en simulations en cherchant quel est le diamètre minimal des trous bien reconstruits. Le fantôme que nous proposons est visible sur la Figure 62 suivante. Le script Matlab permettant de le créer est disponible en annexe. Il est possible de créer le fantôme 3D correspondant en réalisant une extrusion selon l’axe ^_ de la forme originale sans les trous et en remplaçant les trous circulaires par des trous sphériques situés au milieu de l’objet 3D. Ainsi le fantôme 2D est une vue en coupe au milieu du fantôme 3D.