Essais de calibration avec un méta-modèle inverse

L’objectif de la calibration est de déterminer la valeur à donner à un certain nombre de paramètres du modèle numérique à partir d’observations portant notamment sur les sorties dudit modèle. Or si le modèle numérique permet de passer des causes aux effets, il ne permet pas de résoudre le problème inverse qui consiste à retrouver les causes à partir des effets.

Une solution envisageable pour résoudre le problème inverse consiste cependant à construire une approximation du modèle inverse à partir d’un certain nombre de résolutions du problème direct. Les outils de type méta-modèle présentés dans le chapitre 3 peuvent être utilisés à cette fin.

En effet il est possible de construire un méta-modèle, qui sera appelé dans la suite méta-modèle inverse, prenant comme entrées les sorties du modèle et avec pour sorties les entrées du modèle.

L’incertitude sur les valeurs calibrées des paramètres est alors estimée en évaluant l’erreur du méta-modèle inverse. Chaque paramètre est calibré indépendamment des autres.

123

Cette approche présente cependant de sérieuses limitations. En effet il y a un risque de non unicité de la solution dans certains cas, et l’approche n’est alors pas adaptée. Pour limiter ce risque il est important que les sorties utilisées soient relativement nombreuses et indépendantes.

Il est également important de considérer que le domaine de validité du méta-modèle inverse est moins bien maitrisé que pour le méta-modèle direct. En effet le méta-modèle inverse est construit à partir du plan d’expérience du méta-modèle direct, qui porte sur les sorties du méta-modèle inverse et non sur ses entrées. Ceci peut avoir une incidence forte sur la répartition des points du jeu d’apprentissage, en particulier en termes de corrélation.

Dans le cas présent les essais de calibration par méta-modèle inverse utilisent un méta-modèle de type réseau de neurones artificiels (voir partie 3.7). En effet le nombre de sorties utilisées pour la calibration est important (100 en tout, soit 10 par cas de chargement). Or ces sorties constituent les entrées du méta-modèle inverse et l’approche basée sur le développement sur chaos polynomial n’est pas adaptée car le nombre de termes devient trop important. L’approche basée sur les réseaux de neurones artificiels semble en revanche plus adaptée à ce type de problème. L’architecture retenue est composée d’une unique couche intermédiaire de 200 neurones, pour 100 entrées et 8 sorties (une sortie pour chaque paramètre calibré). La fonction sigmoïde est utilisée comme fonction d’activation pour tous les neurones, même ceux de la couche de sortie puisque les valeurs des paramètres calibrés varient par hypothèse entre 0 et 1.

L’erreur du méta-modèle utilisé pour les essais de calibration est donnée Table 6.5. Cette erreur sert à prédire l’incertitude sur les estimations du méta-modèle inverse. L’erreur est assez faible sur les paramètres les plus influents, mais très importante sur les paramètres les moins influents puisque l’incertitude initiale sur les paramètres vaut 0,20.

Table 6.5 : Erreur RMSE du méta-modèle sur les paramètres à calibrer

c_ep c_rho c_Cd c_Ca m_ep m_rho m_Cd m_Ca

Erreur RMSE 0,02 0,06 0,07 0,12 0,03 0,06 0,16 0,04

La Table 6.6 donne l’erreur d’estimation des valeurs calibrées de chaque paramètre, en moyenne sur les 50 scénarios de calibration. À nouveau différents niveaux d’erreur modèle-mesures sont envisagés, de 0% à 50% de l’écart-type observé pour chacune des sorties.

124

Table 6.6 : Erreur moyenne sur les paramètres avant et après calibration (méta-modèle inverse) c_ep c_rho c_Cd c_Ca m_ep m_rho m_Cd m_Ca obtenue précédemment par optimisation. L’optimisation semble cependant permettre d’obtenir des erreurs de calibration légèrement inférieures dans la majorité des cas. Dans le cas des paramètres qui sont le moins bien calibrés par l’optimisation (c_Ca, m_rho, m_Cd), car moins influents sur la réponse du câble, l’approche par méta-modèle inverse permet toutefois d’obtenir des erreurs plus faibles lorsque l’erreur modèle-mesures est importante.

Avec l’erreur modèle-mesures fixée à 0%, l’erreur de calibration sur les paramètres correspond bien à la mesure de l’erreur RMSE du méta-modèle. Il convient cependant d’observer que l’erreur moyenne de calibration est ici calculée sur le même jeu de donnée qui est utilisé pour estimer l’erreur RMSE du méta-modèle. L’erreur moyenne de calibration correspond à la moyenne de la valeur absolue de l’erreur, ce qui explique qu’elle soit légèrement inférieure à l’erreur RMSE du méta-modèle. La Table 6.7 donne l’écart-type de l’erreur réduite (calculé en supposant que l’espérance de l’erreur réduite est nulle). En l’absence d’erreur modèle-mesures cet écart-type est donc exactement égal à 1 pour l’ensemble des paramètres.

L’introduction d’une erreur entre le modèle et les mesures accroit l’erreur moyenne de calibration. Il est nécessaire d’en tenir compte dans l’estimation de l’incertitude restante sur les paramètres calibrés. Il est pour cela supposé que les sorties utilisées pour la calibration suivent chacune une loi normale centrée sur la valeur de la mesure (avec erreur), et dont l’écart-type est égal à l’écart-type de la distribution de l’erreur (qui est donc supposée connue). Un tirage de 10 000 échantillons est réalisé, pour chaque sortie, suivant cette distribution. Les valeurs des paramètres sont calculées pour l’ensemble des échantillons grâce au méta-modèle inverse. L’incertitude sur l’estimation des paramètres due à l’erreur modèle-mesures est alors quantifiée en mesurant l’écart-type des valeurs des paramètres obtenues sur l’ensemble des échantillons. L’incertitude totale (𝜎_𝑐𝑎𝑙) est obtenue en supposant que l’incertitude due à l’erreur modèle-mesures (𝜎_𝑚𝑒𝑠) et l’incertitude due à l’erreur du méta-modèle (𝑅𝑀𝑆𝐸) sont indépendantes.

125

𝜎_𝑐𝑎𝑙(𝑝) = √𝑅𝑀𝑆𝐸(𝑝)²+ 𝜎_𝑚𝑒𝑠(𝑝)²

Cette estimation de l’incertitude de calibration permet de prédire de façon satisfaisante les erreurs de calibration observées sur les différents essais réalisés.

Table 6.7 : Écart-type de l'erreur réduite sur les différents paramètres (méta-modèle inverse) c_ep c_rho c_Cd c_Ca m_ep m_rho m_Cd m_Ca

A priori 0,8 0,9 1,0 0,9 0,8 0,8 1,1 1,0

Erreur 0% 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0

Erreur 5% 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0

Erreur 10% 1,1 1,0 1,0 1,0 1,1 1,1 1,0 1,1

Erreur 25% 1,0 1,1 1,1 1,0 1,3 1,1 1,0 1,3

Erreur 50% 0,9 0,9 1,1 1,0 1,1 0,9 1,0 1,0

La Figure 6.4 permet de comparer, sur un exemple où l’erreur modèle-mesures est fixée à 5%, la distribution a posteriori (en vert) à la valeur attendue (rouge) pour chaque paramètre.

Figure 6.4 : Exemple de calibration des paramètres par méta-modèle inverse

L’incertitude restante sur les paramètres calibrés est également propagée sur le dommage calculé pour les 3 cas critiques. Il semble cependant que l’incertitude qui en résulte sur le dommage est surestimée. En effet l’estimation de l’incertitude sur le dommage (CoV) est de façon générale proche du double de l’erreur observée en moyenne, comme cela s’observe Table 6.8.

126

Table 6.8 : Résultats de la calibration par méta-modèle inverse en termes d’erreur sur le dommage

Dommage CC1 Dommage CC2 Dommage CC3

Err. CoV Mdl. Err. CoV Mdl. Err. CoV Mdl.

Par rapport à la calibration par optimisation de l’erreur au sens des moindres carrés, il apparait que l’erreur sur le dommage après calibration des paramètres est plus importante avec le méta-modèle inverse. Ici encore cependant la calibration permet de réduire fortement l’erreur sur l’estimation de l’espérance du dommage. Avec une erreur modèle-mesures fixée à 50% de l’écart-type pour chacune des sorties utilisées, l’incertitude sur le dommage apparait en moyenne diminuée de moitié.