Calibration de l’erreur méta-modèle / mesures avec l’approche bayésienne

L’approche bayésienne permet également de considérer les erreurs sur les sorties comme autant de variables supplémentaires à calibrer (une par sortie). Dans cette mise en œuvre la méthode est alors plus robuste puisque des sources d’erreur non anticipées peuvent ainsi être prises en compte.

Cette approche pourrait en outre permettre de détecter des anomalies au niveau des mesures, en comparant les niveaux d’erreur obtenus suite à la calibration aux estimations a priori des différentes sources d’incertitudes et à l’erreur du méta-modèle.

L’inconvénient est cependant d’augmenter le nombre de variables à calibrer, ce qui peut se traduire par une convergence plus lente. Il y a par ailleurs un risque de sous-estimer ou de surestimer l’erreur. Les conséquences sur les résultats des calibrations devraient donc en particulier affecter l’incertitude a posteriori sur les paramètres calibrés.

Dans cette seconde mise en œuvre de l’approche bayésienne, un a priori doit être donné pour l’erreur sur les différentes sorties. Dans le cas présent la distribution a priori de l’erreur est choisie de façon arbitraire et est la même pour toutes les sorties. Celle-ci consiste en une loi Normale tronquée de façon asymétrique : la « moyenne » est fixée à 0%, « l’écart-type » à 20% et la distribution est tronquée entre 0% et 100%. Cette distribution favorise donc la convergence vers des niveaux d’erreur plus faibles. Une alternative aurait été d’employer une distribution uniforme (entre 0% et 100% par exemple). Il aurait également été possible (et surement préférable) d’employer, pour chaque essai de calibration, une distribution tenant compte de l’estimation de l’erreur telle qu’elle a été réalisée dans la mise en œuvre précédente.

Afin de limiter le nombre de paramètres calibrés, il est supposé que l’erreur entre le méta-modèle et les mesures ne varie pas d’un cas de chargement à l’autre, ce qui permet ici de ramener de 100 à 10 le nombre de paramètres nécessaires à la calibration de l’erreur.

Sur l’exemple d’essai de calibration, avec 5% d’erreur modèle-mesures, présenté sur la Figure 6.6 il apparait que l’erreur de calibration est plutôt faible et que l’incertitude restante est correctement estimée.

132

Figure 6.6 : Exemple de calibration des paramètres par l'approche bayésienne en calibrant l’erreur méta-modèle - mesures

La Table 6.12 donne les résultats en termes d’erreur moyenne de calibration sur les 50 scénarios en fonction de l’erreur modèle-mesures. Il est en particulier remarqué que l’erreur de calibration est plus forte lorsqu’aucune erreur modèle-mesures n’est introduite (0%) que lorsque qu’une erreur de 5% est introduite.

Table 6.12 : Erreur moyenne sur les paramètres avant et après calibration (approche bayésienne avec calibration de l’erreur)

c_ep c_rho c_Cd c_Ca m_ep m_rho m_Cd m_Ca

A priori 0,14 0,14 0,16 0,15 0,12 0,13 0,18 0,15

Erreur 0% 0,02 0,05 0,03 0,10 0,02 0,04 0,04 0,03

Erreur 5% 0,01 0,03 0,03 0,06 0,01 0,03 0,06 0,02

Erreur 10% 0,01 0,03 0,03 0,06 0,01 0,05 0,08 0,02

Erreur 25% 0,01 0,07 0,05 0,14 0,02 0,09 0,11 0,05

Erreur 50% 0,03 0,08 0,07 0,13 0,05 0,10 0,16 0,10

Lorsque l’erreur modèle-mesures est faible (inférieure à 10%), l’erreur de calibration est plus importante avec cette mise en œuvre de l’approche bayésienne, où l’erreur est également calibrée, que dans la mise en œuvre précédente, où l’erreur était supposée connue. En revanche lorsque l’erreur modèle-mesures est plus forte, l’erreur de calibration est relativement similaire entre les deux mises en œuvre.

De même la prédiction de l’incertitude restante sur les paramètres apparait plus satisfaisante dans les cas où l’incertitude modèle-mesures est importante. La Table 6.13 montre ainsi que

133

l’incertitude a posteriori sur les paramètres est très fortement sous-estimée dans le cas où l’erreur modèle-mesures est nulle. L’écart-type de l’erreur réduite monte en effet à 380 et 140 pour les paramètres c_ep et m_ep qui sont ceux sur lesquels l’erreur de calibration est la plus faible. En revanche à partir d’une erreur modèle-mesures de 10% l’écart-type de l’erreur réduite revient à des valeurs proches de 1, similaires à celles qui étaient obtenues dans la mise en œuvre où l’erreur était supposée connue.

Table 6.13 : Écart-type de l'erreur réduite sur les différents paramètres (approche bayésienne avec calibration de l’erreur)

La estimation de l’incertitude a posteriori sur les paramètres calibrés traduit une sous-estimation de l’erreur entre le méta-modèle et les mesures. Il apparait en outre qu’en sous-estimant cette erreur, l’erreur de calibration s’est accrue.

L’hypothèse selon laquelle l’erreur entre le méta-modèle et les mesures ne varie pas d’un cas de chargement à l’autre semble ici remise en cause. Cette hypothèse est en effet correcte lorsque l’erreur modèle-mesures domine devant l’erreur du méta-modèle, puisque la même erreur est imposée à toutes les sorties une fois normalisées. Cependant l’erreur du méta-modèle varie de façon importante pour certaines sorties d’un cas de chargement à l’autre, l’estimation de l’erreur sur ces sorties s’en trouve donc faussée dans les cas où l’erreur du méta-modèle domine.

Les résultats en termes d’erreur sur le dommage sont donnés Table 6.14. Bien que l’incertitude due aux paramètres calibrés soit certainement sous-estimée dans les cas où l’erreur modèle-mesures introduite est faible, l’erreur sur l’estimation de l’espérance du dommage est inférieure à l’erreur du méta-modèle pour les 3 cas critiques. Lorsque l’erreur modèle-mesures est plus importante l’estimation de l’incertitude due aux paramètres après calibration semble correcte. Cependant, par rapport à la mise en œuvre où l’erreur n’est pas calibrée, l’erreur sur le dommage est en moyenne supérieure, alors que l’estimation de l’incertitude est plus faible.

134

Table 6.14 : Résultats de la calibration bayésienne en termes d’erreur sur le dommage lorsque l’erreur méta-modèle-mesures est également calibrée

Dommage CC1 Dommage CC2 Dommage CC3

Err. CoV Mdl. Err. CoV Mdl. Err. CoV Mdl. prédictions de l’incertitude a posteriori, probablement du fait que l’erreur sur certaines sorties était mal quantifiée car variable d’un cas de chargement à l’autre.

Il apparait donc particulièrement important de bien quantifier l’erreur entre le méta-modèle et les mesures utilisées comme sorties pour la calibration. Cette approche qui permet de calibrer cette erreur directement à partir des valeurs des mesures utilisées pour la calibration semble donc particulièrement intéressante à cet égard. Il semble toutefois intéressant d’inclure autant que possible les connaissances disponibles a priori, sur l’erreur du méta-modèle par exemple, ce qui n’a pas été fait ici et doit donc être envisagé comme une perspective.

Dans la suite, par souci de simplicité, seule l’approche bayésienne est employée, avec optimisation préalable et en supposant l’erreur connue. En outre l’erreur modèle-mesures est toujours fixée à 5% de l’écart-type observé sur les sorties, sauf mention contraire.