Un espace topologique est localement compact s’il est séparé et si tout point admet un voisinage compact. Certains ouvrages, en particulier anglo-saxons, omettent (bien sûr à tort !) la condition de séparation, pourtant fort utile comme nous le verrons.
Exemples.
(1) Tout espace discret est localement compact. (2) Tout espace compact est localement compact.
(3) L’espace R est localement compact (mais pas compact) : pour tout x0 dans R,
l’intervalle [x0− 1, x0+ 1] est un voisinage compact de x0.
(4) Un sous-espace fermé F d’un espace localement compact est localement compact (pour tout x0 dans F , si K est un voisinage compact de x0dans X, alors F ∩ K
est un voisinage compact (par définition de la topologie induite et la proposition 4.3 (2)) de x0dans F ).
(5) Un produit fini d’espaces localement compacts est localement compact (car le pro- duit de voisinages compacts de chaque composante d’un point x est un voisinage élémentaire de x (puisque le produit est fini), qui est compact par le théorème de Tychonov).
(6) L’espace RN n’est pas localement compact, car si V est un voisinage compact de
x = (xi)i∈N∈ RN, alors V contient un voisinage élémentaire
]x0− ǫ, x0+ ǫ[×...× ]xn− ǫ, xn+ ǫ[×R × R × R × ... .
Alors prn+1(V ) = R est non compact, ce qui contredit la continuité de prn+1.
(7) Un groupe topologique (par exemple le groupe additif d’un espace vectoriel topo- logique) est localement compact si et seulement si son élément neutre admet un voisinage compact.
Théorème 4.18 (Théorème de Riesz) Soit E un espace vectoriel normé réel ou com- plexe. Les conditions suivantes sont équivalentes.
(1) E est localement compact ;
(2) la boule unité fermée de E est compacte ; (3) E est de dimension finie.
Preuve. Il suffit de considérer le cas réel, en considérant l’espace vectoriel normé réel sous-jacent. Si E est de dimension finie, les assertions (1) et (2) découlent des exemples (3) et (5) ci-dessus et du corollaire 4.16 (1).
Réciproquement, si E est localement compact, alors la boule unité fermée B ={x ∈ E : ||x|| ≤ 1}
est compacte (car les homothéties sont des homéomorphismes). Par le théorème de Bolzano- Weierstrass, soient x1, . . . , xn dans B telles que les boules de rayon 1/2 et de centre
xi recouvrent B. Notons F le sous-espace vectoriel de E engendré par x1, . . . , xn, qui
est fermé (car complet par la proposition 4.16 (3), et en appliquant la proposition 3.16 (2)). Montrons que E = F , ce qui montrera que E est de dimension finie. Sinon, soien x∈ E − F et ǫ = d(x, F ) > 0 (car F est fermé). Soit y ∈ F tel que ǫ ≤ d(x, y) < Soit z = (x − y)/||x − y||, qui appartient à B. Soit i tel que d(z, xi) ≤ 12. Comme
y +||x − y||xi∈ F , on a d(x, y + ||x − y||xi)≥ ǫ, donc
2 ǫ >||x − y|| ≥ 2 ||z − xi|| ||x − y|| = 2 ||x − y − ||x − y|| xi|| ≥ 2 ǫ ,
contradiction.
Proposition 4.19 Dans un espace localement compact X, tout point admet un système fondamental de voisinages compacts.
Preuve. Soient x ∈ X et F un voisinage compact de x. Pour tout ouvert U tel que x∈ U ⊂ F , il suffit de montrer qu’il existe un voisinage fermé W de x, contenu dans donc dans F , ce qui implique que W est compact.
Comme X est séparé, si y ∈ X − {x}, alors il existe des voisinages V et V′de x et
respectivement tels que V ∩V′=∅. Alors y /∈ V . DoncT
V∈V (x)V ={x}. Par conséquen
(X− U) ∩TV∈V (x)V =∅. Par compacité de F , il existe des voisinages V1, ..., Vnde x tels
que (X − U) ∩ V1∩ ... ∩ Vn∩ F = ∅. Alors W = V1∩ ... ∩ Vn∩ F est un voisinage fermé
de x contenu dans U.
Exercice E.50 Montrer que tout compact K d’un espace localement compact X admet un système fondamental de voisinages compacts.
Porisme 4.20 Tout ouvert d’un espace localement compact est localement compact. En particulier, si X est compact et x ∈ X, alors X − {x} est un espace localement compact.
Exercice E.51 (Compactifié d’Alexandrov) Soit X un espace localement compact, ∞ un ensemble n’appartenant pas à X et bX = X∪ {∞}.
1. Montrer que l’ensemble des parties de bX de la forme U, avec U ouvert de X, (X− K) ∪ {∞}, avec K compact de X, est une topologie sur bX. (L’espace bX, muni de cette topologie, est appelé le compactifié d’Alexandrov de X et ∞ son point l’infini.)
2. Montrer que la topologie induite sur X par celle de bX est la topologie usuelle X. En particulier, montrer que X est ouvert dans bX. Montrer que si X n’est p compact, alors X est dense dans bX.
3. Montrer que bX est compact.
4. (Unicité) Soient Y un espace topologique compact et φ : X → Y un homéomorphis- me sur son image, tel que φ(X) = Y − {y}. Montrer que l’application bφ : bX → Y définie par x 7→ φ(x) si x ∈ X et ∞ 7→ y, est un homéomorphisme.
5. (Fonctorialité) Montrer que si Y est un espace localement compact, et si f : X → Y est un homéomorphisme, alors l’application bf : bX→ bY , où bf|X= f et bf (∞) = ∞,
est un homéomorphisme.
6. (Extension) Montrer que si Y est un espace localement compact, et si f : X → Y est une application continue propre (voir le paragraphe 4.4 ci-dessous), alors l’application bf : bX→ bY , où bf|X= f et bf (∞) = ∞, est continue.
7. Montrer que si X est compact, alors bX est homéomorphe à l’espace topologique somme disjointe X‘
{∞}.
8. Montrer que le compactifié d’Alexan- drov de Rn est homéomorphe à la
sphère Sn. (On regarde Rn contenu
dans Rn+1 comme l’hyperplan des n
premières coordonnées. Si N est le pôle nord de Sn, on utilisera la propriété 4
d’unicité, en montrant que la projection stéréographique π : Sn−{N} → Rn, qui
à x associe le point d’intersection avec Rnde la droite passant par N et x, est
un homéomorphisme.) N x Sn Rn π(x) Applications propres
Soient X, Y deux espaces topologiques séparés, et f : X → Y une application. On dit que f est propre si f est fermée et si l’image réciproque par f de tout point de Y est un compact de X. La condition que f est fermée est, dans la pratique, difficile à vérifier. Lorsque les espaces sont localement compacts, on utilisera presque exclusivement la caractérisation qui découle de la proposition suivante : une application entre espaces topologiques localement compacts est propre si et seulement si l’image réciproque de tout compact est compact.
Proposition 4.21 Si f est propre, alors l’image réciproque par f de tout compact de Y est un compact de X. Si Y est localement compact, et si l’image réciproque par f de tout compact de Y est un compact de X, alors f est propre.
Preuve. Si f est propre, soient K un compact de Y et (Fi)i∈I une famille de fermés de
f−1(K), d’intersection vide. On suppose par l’absurde que CJ=T
j∈JFj6= ∅ pour toute
partie finie J de I. Alors f(CJ) est un fermé de Y , donc de K. Pour toute famille finie
(Jα) de parties finies de I, on a \ α f (CJα)⊃ f( \ j∈S Jα Fj)6= ∅ . 129
Comme K est compact, il existe au moins un point y dans l’intersection des ensembles f (CJ) pour toutes les parties finies J dans I. Pour toute partie finie J dans I, on a donc
f−1(y)∩\ j∈J
Fj= f−1(y)∩ CJ6= ∅ .
Puisque f−1(y) est compact, on a donc f−1(y)∩T
i∈IFi6= ∅, ce qui contredit le fait que
la famille (Fi)i∈Iest d’intersection vide.
Réciproquement, on suppose que Y est localement compact, et que l’image réciproque par f de tout compact de Y est un compact de X. Alors le singleton {y} est compact dans Y , donc f−1(y) est compact. Soit F un fermé de X et y∈ f(F ). Soit W un voisinage
compact de y. Soit (Vi)i∈I un système fondamental de voisinages compacts (donc fermés
car Y est séparé) de y contenus dans W . Le fermé Fi= f−1(Vi)∩ F de X est conten
dans le compact f−1(W )∩ F . L’intersectionT
j∈JFjest non vide pour toute partie finie
J de I, carTj∈JVjest un voisinage de y. Par compacité de f−1(W )∩ F , il existe donc
un point x dansTi∈IFi. Donc f(x) ∈Ti∈IVi={y}. D’où f(x) = y et f est fermée.
Exemple. Soient E, F deux espaces vectoriels normés de dimension finie, X un fermé de E et f : X → F une application continue. Alors f est propre si et seulement si pour toute suite (xi)i∈Ndans X telle que ||xi|| −→
i→+∞ +∞, on a ||f(xi)|| −→i→+∞ +∞. Ceci
découle du fait que les compacts de E, F sont leurs fermés bornés, et du fait que l’image réciproque d’un fermé de F par f est un fermé de X, donc de E.
Proposition 4.22 Soient X, Y deux espaces topologiques séparés, et f : X → Y une application continue. Si f est bijective et propre, alors f est un homéomorphisme.
Remarquons que la réciproque est vraie.
Preuve. Si f est propre, alors elle est fermée, donc f−1est continue. (Voici aussi, lorsque
X, Y sont localement compacts, ce qui est le cas dans la plupart des applications, une preuve utilisant la caractérisation des applications propres entre espaces topologiques localement compacts. Il suffit de montrer que f−1est continue en tout point y de Y . Soit
V un voisinage compact de y. Alors U = f−1(V ) est un voisinage de x = f−1(y) car f est
continue, qui est compact car f est propre. Donc f |U: U→ V est une bijection contin
entre espaces compacts, donc un homéomorphisme par le théorème 4.13 (2). Comme et V sont des voisinages de x et y respectivement, ceci implique que f−1est continue
y.)
L’espace des bouts d’un espace localement compact
Une partie d’un espace topologique est dite relativement compacte si son adhérence est compacte. Par exemple, dans un espace vectoriel normé (réel ou complexe) de dimension finie, les parties relativement compactes sont les parties bornées.
Un espace topologique est dit σ-compact s’il est séparé et réunion d’une famille dé- nombrable de parties compactes.
Un espace topologique X est dit dénombrable à l’infini s’il est séparé et s’il existe une suite exhaustive de compacts, i.e. une suite de compacts (Kn)n∈Nrecouvrant X telle que
Kn⊂ ◦
Kn+1pour tout n dans N. Par exemple, dans un espace vectoriel normé (réel
complexe) de dimension finie, la suite des boules fermées centrées au vecteur nul et rayon n est une suite exhaustive de compacts.
Plus généralement, un espace métrique est dit propre si ses boules fermées sont com- pactes. Par exemple, tout fermé d’un espace vectoriel normé de dimension fini est propre. Un espace métrique propre X est dénombrable à l’infini, il suffit de prendre pour une suite exhaustive de compacts, si X est non vide, la suite des boules fermées de rayon n centrées en un point x0fixé de X.
Proposition 4.23 Soit X un espace topologique. Alors X est dénombrable à l’infini si et seulement s’il est localement compact et σ-compact.
Preuve. Soit (Kn)n∈N une suite exhaustive de compacts. Alors Kn+1 est un voisinage
compact de tout point de Kn. Donc si X est dénombrable à l’infini, alors X est localement
compact et réunion dénombrable de compacts.
Réciproquement, supposons X localement compact. Tout compact K de X admet un voisinage compact : il suffit de prendre la réunion d’un nombre fini de voisinages compacts de points de K qui recouvrent K. Si de plus X est réunion d’une suite (K′
n)n∈N
de compacts, alors on construit une suite exhaustive de compacts (Kn)n∈Nen prenant par
récurrence pour Knun voisinage compact de Kn′ ∪ Kn−1 (en posant K−1=∅).
Soit X un espace localement compact. Pour tout compact K de X, notons π′
0(X−K),
l’ensemble des composantes connexes non relativement compactes du complémentaire de K dans X, muni de la topologie discrète. Si K et K′ sont deux compacts de X, avec
K⊂ K′, alors notons f
K,K′: π′0(X−K′)→ π′0(X−K) l’application qui à une composante
connexe non relativement compacte de X − K′ associe l’unique composante connexe de
X− K qui la contient (elle n’est pas relativement compacte). Il est immédiat que ( (π0′(X− K))K, (fK,K′)K,K′)
est un système projectif d’espaces topologiques.
L’espace des bouts de X est l’espace topologique limite projective (voir la fin du para- graphe 2.4) de ce système projectif, noté
Bout(X) = lim
←− π ′
0(X− K′) .
Par exemple, si X est compact, alors Bout(X) est vide. On appelle nombre de bouts de X le cardinal de Bout(X) (qui peut être infini).
Un produit d’espaces discrets (commeQπ′
0(X− K), où le produit est pris sur tous
les compacts de X) est totalement discontinu (voir la fin du paragraphe 2.3 pour une définition, ainsi que l’exercice E.91 du paragraphe 8.1), et tout sous-espace d’un espace totalement discontinu est totalement discontinu. Donc Bout(X) est totalement discontinu.
Si K est un compact de X, l’ensemble π′
0(X− K) n’est pas toujours fini.
Proposition 4.24 Soit X un espace topologique localement compact, connexe par arcs, localement connexe. Alors pour tout compact K de X, l’ensemble π′
0(X− K) est fini. En
particulier, Bout(X) est compact.
Les conditions sont nécessaires. Si X est l’ensemble R2 muni de la distance SNCF
(définie dans l’exemple (vi) du paragraphe 1.3, qui n’est pas localement compact) et K = {0}, alors π′
0(X− K) est l’ensemble des rayons ouverts de R2, qui est non dénombrable.
Si X = Z × R et K = ∅, alors X est localement compact (comme produit de deux
espaces localement compacts), localement connexe (par arcs), mais admet une infinité composantes connexes non relativement compactes. Le sous-espace topologique
X = ([0, 1]×{0}) ∪ ({0}×R) ∪Sn∈N 1 n+1 ×R 0 1 1 2 1 3
de l’espace usuel R2est localement compact (car fermé dans l’espace localement compact
R2), connexe par arcs, mais pas localement connexe, et si K = [0, 1] × {0}, alors K est
compact, et π′
0(X− K) est infini.
Preuve. Supposons par l’absurde que π′
0(X−K) soit infini. Soient x∗∈ K, V un voisinage
compact de K, et W un voisinage compact de V . Soient (Cn)n∈Nune suite de composantes
connexes non relativement compactes deux à deux distinctes de X − K, et xnun poin
de Cn− W . Par connexité par arcs de X, il existe un point yn dans Cn∩ ◦
W −V
Par compacité de W , quitte à extraire, la suite (yn)n∈N converge vers y ∈ W − ◦
V , qui n’appartient pas à K, car V est un voisinage de K. Pour tout voisinage ouvert U de disjoint de K, les composantes connexes de U contenant yn sont deux à deux distinctes,
ce qui contredit le fait que X est localement connexe.
La dernière assertion découle (par la proposition 2.10) du fait qu’un fermé d’un produit de compacts, qui est compact par le théorème de Tychonov, est compact.
Si X est dénombrable à l’infini, et si (Kn)n∈Nest une suite exhaustive de compacts dans
X, alors tout compact de X est contenu dans un compact Kn(car les ◦
Knrecouvrent X
Donc l’application naturelle de Bout(X) dans lim
←−π ′ 0(X−Kn), restriction de la projection canonique Y K π′ 0(X− K) → Y n∈N π′ 0(X− Kn) ,
(définie par (xK)K7→ (xKn)n∈N) est un homéomorphisme, par lequel Bout(X) est identifié
à l’ensemble des suites (Un)n∈N, où Un est une composante connexe non relativemen
compacte de X − Knet Un+1⊂ Un, muni de la topologie dont un système fondamental
de voisinages de (Un)n∈Nest l’ensemble des
VN (Un)n∈N
={(U′
n)n∈N∈ Bout(X) : Un′ = Un, 1≤ n ≤ N} .
pour N ∈ N. Comme tout sous-espace d’un espace métrisable est métrisable, et tout produit dénombrable d’espaces métrisables est métrisable, si X est dénombrable à l’in- fini, connexe par arcs et localement connexe, alors Bout(X) est un espace métrisable, totalement discontinu, et compact par la proposition précédente.
Par exemple, Bout(R) = {−∞, +∞} est un ensemble à deux points, munis de topologie discrète. Donc R a deux bouts. Si n ≥ 2, alors Bout(Rn) est un singleton, car
Rn− B(0, k) n’a qu’une seule composante connexe pour tout k ∈ N, qui est non bornée.
R 0
−k k
0
k
Soit V l’ensemble des suites finies de 0 et 1, notées
∅, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111, . . . .
On note ℓ(x) la longueur de ce mot. On munit V de la topologie discrète. On construit un arbre d’ensemble des sommets V en recollant à V un intervalle [0, 1] entre chaque élément x de V et chacun de ses deux enfants x0 et x1.
Plus précisément, pour tout x dans V , notons Ixune copie de l’intervalle [0, 1], et soit
fx:{0, 1} ⊂ Ix→ V l’application 0 7→ x0 et 1 7→ x1. On note T2= ( a x∈V Ix) ∪(‘ x∈Vfx) V
l’espace topologique obtenu par recollement de l’espace somme disjointe`x∈VIxsur V
par les applications fx.
On appelle T2l’arbre binaire. On identifie V avec son image dans T2par la projection
canonique. L’arbre binaire est métrisable par l’unique distance de longueur (voir l’exemple (vii) du paragraphe 1.3) d, telle que l’application canonique Ix→ T2 soit une isométrie
sur son image pour tout x dans V . En particulier, si x, x′∈ V et si x ∧ x′est le sous-mot
initial maximal commun à x et à x′, alors
d(x, x′) = ℓ(x) + ℓ(x′)− ℓ(x ∧ x′) . 0 1 01 11 ∅ 00 000 10 111
L’exercice suivant montre en particulier que l’arbre binaire a une infinité (non dénom- brable) de bouts.
Exercice E.52 Montrer que T2 est un espace topologique localement compact, dénom-
brable à l’infini, connexe par arcs, localement connexe par arcs. Montrer que Bout(T2)
est homéomorphe à l’espace triadique de Cantor (i.e. à l’espace produit {0, 1}Noù {0, 1}
est muni de la topologie discrète).
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Exercice E.53 Montrer que pour tout espace métrique compact totalement discontinu K, il existe un espace topologique dénombrable à l’infini X tel que Bout(X) et K soient homéomorphes.