Espace des configurations

Le système étudié est formé d’une cellule robotisée, d’un objet et d’un scanner. La cellule robotisée est formée d’un bras robot (désigné parr) et une table tournante (désignée part) possédant respectivement n et m degrés de liberté. Une configuration q_i du système est la combinaison de ses différents paramètres articulairesθ_i,k,k= 1, ...,(n+m). Il en résulte alors que :

q_i= (θ^r_i,1, θ^r_i,2, ..., θ_i,n^r , θ^t_i,1, ..., θ^t_i,m) (3.3) ou encore

q_i = (θ_i,1, θ_i,2, ..., θ_i,n+m) (3.4)

Il s’en suit que l’espace des configurations,CS_Cellule, de la cellule est :

CS_Cellule=CS_Robot×CS_{T able} (3.5) L’objet et le scanner sont des solides rigides. Il possèdent donc six de degrés de liberté. Une configuration de l’objet (respectivement le scanner) est une combinaison de sa position (x, y, z) _{∈ R}3 et de son orientation (α, β, γ) de _RP3 où _RP3 est l’espace projectif réel. Il en résulte que l’espace des configurations de l’objet (respectivement le scanner) est :

CSObjet=CSScanner=_R³×RP³ (3.6) Finalement, l’espace des configurations,CS, de l’ensemble des composantes est :

CS=CS_Cellule×CS_Objet×CS_Scanner (3.7) L’espace des configurations CS est décomposé en trois sous-espaces :

CS=CS_{f ree}∪CS_contact∪CS_collision (3.8) où

– CS_{f ree} est l’espace des configurations libres. Ce sont les configurations sans collision, c’est-à-dire les configurations n’entraînant pas de contact entre les différentes compo-santes du système, ni de dépassement des butées.

– CS_contact est l’espace des configurations entraînant un contact entre au moins deux composantes du système.

– CS_collision est l’espace des configurations entraînant une collision entre au moins deux composantes du système.

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3.3.4.2 Aperçu bibliographique sur les méthodes de planification de mouvement

La planification de mouvement est la recherche d’un chemin dans CS_{f ree} reliant deux points donnés de cet espace.LaValle [119] a identifié trois catégories de méthodes de planifi-cation de mouvement : les méthodes exactes, les méthodes heuristiques et les méthodes par échantillonnage.

Les méthodes exactessont des méthodes complètes car elles déterminent en un temps fini s’il existe une solution au problème de planification et le cas échéant trouvent cette so-lution. Ces méthodes s’appuient sur une représentation sans approximation de CS_{f ree}. Une telle représentation les rend uniquement applicables à des systèmes simples. Ces méthodes ont été employées avec succès pour des problèmes tels que la navigation d’un robot mobile dans le plan. On compte parmi ces techniques des méthodes comme la décomposition cellu-laire ou les graphes de visibilité LaValle [119]. En pratique, ces méthodes sont inutilisables pour des systèmes à de nombreux degrés de liberté (plus que 4). En effet, les temps de calcul croissent exponentiellement avec le nombre de degrés de liberté du système étudié.

a. b.

Figure3.15 – Principe de la méthode des potentiels proposée par Khatib [43] : a. le pic de la surface de potentiel indique l’existence d’un obstacle b. Les forces attractives ramènent le robot vers sa configuration finale tandis que les forces répulsives l’éloignent de l’obstacle.

Les méthodes heuristiquesramènent le problème de planification de mouvement à un problème d’optimisation sous contrainte. En effet, elles reposent sur la définition d’une fonc-tion de coût guidant le robot vers sa configurafonc-tion finale désirée. la méthode heuristique la plus connue est celle des potentiels, proposée parKhatib [43] pour représenter un espace avec ou sans collisions (voir figure 3.15.a). Cette méthode a pour but de minimiser la distance entre le robot et sa configuration finale par application de forces attractives le poussant vers sa destination. Comme illustré dans la figure 3.15.b, l’évitement des obstacles se fait par applica-tions de forces répulsives. Les méthodes heuristiques sont des méthodes locales car elles sont applicables pour des configurations proches à cause des minima locaux de la fonction de coût. 66

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Les méthodes par échantillonnagesimplifient l’espace des configurations en choisis-sant un nombre fini de configurations pour le représenter. L’espace des configurations appro-ché est alors un ensemble de points deCS. Le but de l’algorithme de planification est alors de déterminer comment ces points peuvent être reliés. Cela mènera à l’obtention d’un graphe1

dont les nœuds seront des configurations deCS_{f ree} et les arêtes seront des chemins dans ce sous-espace. Le choix de la technique d’échantillonnage est critique et influe directement la façon dont se développe le graphe.

a. b.

Figure 3.16 – Les deux familles de techniques d’échantillonnage : a. Les échantillonnages déterministes b. Les échantillonnages probabilistes.

LaValle et al.[120] ont identifiés deux familles de techniques d’échantillonnage : les échan-tillonnages déterministes et les échanéchan-tillonnages probabilistes. La première famille est basée sur un échantillonnage uniforme deCS (voir figure 3.15.a). Le calcul de suites de points dans

Rd est simple. Cependant, l’échantillonnage est moins évident pour d’autres espaces topolo-giques comme en robotique. Quant aux méthodes probabilistes, elles échantillonnent l’espace des configurations à l’aide de tirages aléatoires. Ces méthodes sont référencées dans la litté-rature sous le nom PRM (Probabilistic Roadmap Method) parKavraki et al. [47] et sous le nom PPP (Probabilistic Path Planner) parOvermars et al.[121]. Les méthodes probabilistes sont dites complètes en probabilité, car la probabilité qu’elles trouvent une solution, s’il en existe, tend vers 1 avec le nombre de points tirés. Contrairement aux méthodes déterministes, leur grand avantage est l’efficacité à résoudre des problèmes liés à un grand nombre de degrés de liberté.

Les méthodes probabilistes de planification de mouvement comportent généralement trois phases : la construction du graphe, la recherche d’un chemin dans le graphe et enfin l’opti-misation de ce chemin.

La première étape concerne la construction d’un graphe dont les nœuds sont des confi-gurations de CS_{f ree} et les arêtes des chemins réalisables dans CS_{f ree}. Toute configuration libre doit être facilement connectée à un des nœuds du graphe. Ce graphe doit capturer le

1. un graphe est un ensemble de nœuds dont certains sont connectés entre eux par des arcs ou arêtes. Les arêtes traduisant l’existence d’une relation entre les nœuds qu’elles connectent.

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mieux possible la connexité deCS_{f ree} en associant à chaque composante connexe deCS_{f ree}

une composante connexe du graphe. Ainsi, pour chaque configuration deCS tirée au hasard, une étude de collision doit être faite afin de détecter si elle appartient àCS_{f ree}. On cherche ensuite à connecter les nœuds selon une trajectoire sans collision. La construction du graphe s’achève, par exemple, si celui-ci contient un nombre donné de nœuds.

La recherche d’un chemin dans le graphe consiste à trouver la suite de nœuds et d’arêtes à suivre, formant le chemin dans CS_{f ree}, qui permet de relier les configurations initiale et finale. Ces configurations doivent être initialement connectées dans le graphe. La nature du chemin à emprunter dépend du critère imposé à la planification. En effet, le choix du che-min le plus court est possible via l’attribution d’un coût à la longueur des arêtes du graphe. Les algorithmes de recherche de chemin dans un graphe les plus utilisés sont l’algorithme de Dijkstra [122] et A* [123]. Le premier algorithme trouve le chemin le plus court dans le graphe. Cependant, les temps de calculs sont très importants. Quant à l’algorithmeA*[123], il est réputé par la rapidité de calcul et de recherche de chemin qui n’est pas toujours optimal. Compte tenu des tirages aléatoires effectués lors de la construction du graphe, le chemin obtenu à ce stade est généralement long. La phase d’optimisation consiste alors à lisser le chemin afin d’obtenir une trajectoire plus courte.Laumond et al.[44] ont proposé une méthode de lissage qui consiste à tirer aléatoirement deux configurations sur le chemin et ensuite les relier directement (voir figure 3.17). Le critère d’arrêt de cette étape de lissage peut être basé, par exemple, sur le nombre d’itérations ou bien sur un seuil de raccourcissement du chemin à optimiser.

a. b. c.

Figure3.17 – Optimisation du chemin par tirages aléatoiresLaumond et al.[44] : a. Chemin initial b. Tirage aléatoire de deux configurations sur le chemin c. Raccourcissement du chemin par connexion des deux configurations intermédiaires.