Les parois portent une densit´e de charge σ qui peut ˆetre homog`ene ou modul´ee sym´etri- quement suivant σ = σ0cos(qx + θ).
Couplage ´electro-hydrodynamique
Tout d’abord, reprenons les ´equations de l’´electrocin´etique dans le cadre de l’approxima- tion des couches minces. Comme pr´ec´edemment les grandeurs d´ependant de l’application d’un champ de pression seront not´ees X(p), celles d´ependant d’un champ ´electrique ´etant not´ees X(e).
Effets ´electriques En utilisant l’approximation de fine couche de Debye, les ´equations du flux ´electroosmotique sont :
η∇2v(e)− ∇p(e) = 0 (4.3)
∇.v(e) = 0 (4.4)
v(e)s = −µ∇φ(e)s . (4.5)
Effets de la pression Le courant d’´ecoulement induit par un gradient de pression peut ˆetre d´ecompos´e, dans le cas de l’approximation TDL, en une contribution volumique et une contribution surfacique suivant
j(p) = jb(p)+ js(p). Les ´equations du terme volumique sont :
∆φ(p)b = 0 (4.6)
jb(p) = −γel∇φ(p) (4.7)
∇.jb(p) = 0 (4.8)
et celle du terme surfacique
js(p) = −σλD˙γn(p) (4.9)
∇s.js(p) = jb· n. (4.10)
Comme dans le chapitre pr´ec´edent, nous ne consid´erons que les effets au premier ordre en σ. Nous n´egligerons donc les effets ´electrovisqueux par exemple.
4.2
Pr´esentation qualitative de la g´eom´etrie des courants hy-
drodynamiques et ´electriques g´en´er´es
Avant de donner les ´equations d´ecrivant les flux dans la section suivante, nous allons d´eriver qualitativement la g´eom´etrie des courants ´electriques et hydrodynamiques g´en´er´es par des champs de pression ou ´electriques impos´es. Ils seront repr´esent´es sch´ematiquement dans le cas o`u le vecteur d’onde des modulations est parall´ele aux flux. La situation o`u le vecteur d’onde est perpendiculaire aux flux sera pr´esent´ee ensuite.
Bien entendu les sch´emas pr´esent´es dans cette section sont conformes aux r´esultats des calculs analytiques de la section suivante (p. 92).
90 Chapitre 4. Structures des flux ´electrocin´etiques dans des g´eom´etries modul´ees
4.2.1 Rappel : canal droit, charge de surface homog`ene
Le sch´ema suivant (Fig. 4.3) repr´esente les effets ´electrocin´etiques se d´eveloppant dans un canal rectiligne de charge de surface homog`ene.
V(p) Js
(p)
E(e) V
(e)
Fig. 4.3 – Repr´esentation sch´ematique des effets ´electrocin´etiques dans un canal rectiligne et homo- g`ene.
Le flux ´electrosmotique est un ´ecoulement bouchon, uniforme sur toute l’´epaisseur du canal, tandis que le courant d’´ecoulement est localis´e `a la surface.
4.2.2 Canal droit, charge de surface modul´ee
Lorsque la charge de surface est modul´ee, les flux ne sont plus invariant par translation. Des courants de recirculation doivent donc se d´evelopper dans le canal pour assurer les lois de conservations (masse et courant ´electrique).
+ + + + + − − − − − + + + + + − − − − − + + + + + − − − − − + + + + + − − − − − (a) . + + + + + − − − − − − + + + + − − − − − − − + + + + + − − − − − − + + + + − − − − − − − (b) .
Fig. 4.4 –Flux ´electroosmotique (a) et courant d’´ecoulement (b) se d´eveloppant dans un canal droit dont la charge de surface est modul´ee. Le courant localis´e `a la surface Jsest symbolis´e par une fl`eche
pleine rouge, celui en volume Jb par une fl`eche vide bleue.
Flux ´electroosmotique
La pr´esence d’une vitesse de glissement `a la paroi dont le sens varie p´eriodiquement induit des rouleaux dans l’´epaisseur du canal. Ces rouleaux de recirculation ont ´et´e mis en ´evidence exp´erimentalement par Stroock et al dans des canaux microfluidique `a l’aide de particules fluorescentes neutres [70]. On peut remarquer que si l’on observe la trajectoire d’une particule charg´ee dans un tel syst`eme, elle se d´eplacera sous l’action du champ ´electrique induit et sa position dans l’´epaisseur du canal oscillera pour suivre les lignes de courant hydrodynamique.
4.2. Pr´esentation qualitative 91
Courant d’´ecoulement
Le courant de surface est modul´e suivant la modulation de la charge de surface. Comme nous l’avons vu dans le chapitre pr´ec´edent, cela impose l’injection de courant ´electrique dans le volume pour assurer la conservation des charges. Il existe une diff´erence fondamentale entre cette situation et la recirculation hydrodynamique ´evoqu´ee pr´ecedement. Dans le cas ´electrique le rotationel du courant est nul, on ne peut donc pas parler de rouleaux de recirculation car les lignes de courant de se bouclent pas dans le volume, les parois faisant office de g´en´erateur de courant.
4.2.3 Canal ondul´e, charge de surface homog`ene
Par sym´etrie, on peut s’atteindre `a n’obtenir des effets globaux non-nuls `a l’ordre deux en α. Nous verrons dans la section suivante que ces effets sont d’amplitudes diff´erentes dans le cas o`u les flux sont perpendiculaires aux modulations, ce qui peut mener `a des effets transverses.
E V
(a) . (b) .
Fig. 4.5 –Flux ´electroosmotique (a) et courant d’´ecoulement (b) se d´eveloppant dans un canal ondul´e dont la charge de surface est homog`ene.
Flux ´electroosmotique
La charge de surface ´etant homog`ene, le champ de vitesse ´electroosmotique suit le champ ´electrique. La vitesse est donc tangentielle aux parois et plus ´elev´ee au niveau des r´etr´ecisse- ment, afin d’assurer la conservation du d´ebit.
Courant d’´ecoulement
Pour assurer un d´ebit uniforme le long du canal, la vitesse hydrodynamique doit ˆetre plus importante au niveau des r´etr´ecissements, son gradient l’est ´egalement. Le courant d’´ecoule- ment est donc plus important `a ces endroits, ce qui impose un ph´enom`ene de recirculation dans le volume.
4.2.4 Canal ondul´e, charge de surface modul´ee
Contrairement au cas pr´ecedent, la modulation de la charge de surface brise la sym´etrie du syst`eme. On peut donc s’attendre `a obtenir des effets globaux au premier ordre en α et proportionnels `a la modulation de charge. Nous verrons dans la section suivante que cette situation m`ene ´egalement `a des effets transverses.
92 Chapitre 4. Structures des flux ´electrocin´etiques dans des g´eom´etries modul´ees + + + + + + + + + + + + + + + + −−−−− − − − −−− −−− −−−−− −− + + + + +− − − − − − + + + + + − − − − − − − − − − − − (a) + + + + + + + + + + + + + + + + −−−−− − − − −−− −−− −−−−− −− + + + + +− − − − − − + + + + + − − − − − − − − − − − − (b)
Fig. 4.6 –Flux ´electroosmotique (a) et courant d’´ecoulement (b) se d´eveloppant dans un canal ondul´e dont la charge de surface est modul´ee.
Flux ´electroosmotique
Comme pr´ec´edement, la vitesse de glissement est plus ´elev´ee au niveau des r´etr´ecissements, mais sa direction change p´eriodiquement. Des rouleaux de recirculations d’intensit´e diff´erente se d´eveloppent donc dans le canal, menant `a un d´ebit ´electroosmotique non-nul.
Courant d’´ecoulement
Comme pr´ecedemment, le courant d’´ecoulement est plus intense au niveau des r´etr´ecisse- ment vis-`a-vis des ´evasements. Les charges de surfaces ´etant oppos´ees dans ces deux situations, la sym´etrie est bris´ee. Un courant ´electrique moyen non-nul est donc transport´e en alternance par la composante surfacique (au niveau des r´etr´ecissements), et par la composante volumique (au niveau des ´evasements).
4.2.5 Cas des modulations perpendiculaires au flux
Comme nous l’avons ´enonc´e au d´ebut de cette section, lorsque les modulations sont per- pendiculaires aux flux les structures d’´ecoulements sont moins d´emonstatives.
L’invariance par translation dans la direction de l’´ecoulement impose des ´ecoulement ´elec- troosmotiques uniaxiaux, dont l’intensit´e est modul´ee lat´eralement. Du point de vue des courants d’´ecoulement, la situation est particuli`erement simple car ils sont toujours localis´es `
a la surface, leur intensit´e ´etant modul´ee suivant une direction perpendiculaire.
N´enamoins nous verrons que l’amplitude des effets globaux diff`erent du cas o`u les flux sont parrall`eles aux modulations, ce qui permettra d’envisager des structures g´en´erant des effets non-diagonaux, ou transverses.