Nous nous int´eressons ici aux mod´elisations qui permettent de r´epondre `a la requˆete d’arriv´ee au plus tˆot dans un r´eseau de voirie, en utilisant les modes de d´eplacement individuels tels que la marche `a pied, le v´elo et la voiture.
La mod´elisation est bien plus simple que celle du r´eseau de transport en commun car le temps de parcours d’un tron¸con de voirie ne d´epend pas de l’horaire auquel il est parcouru, contrairement au cas d’une mont´ee en transport en commun, qui d´epend de la diff´erence entre l’horaire du prochain passage et l’horaire actuel.
3.1.1 Mod`ele de graphe
La fa¸con la plus naturelle de mod´eliser le probl`eme est celle d’un graphe orient´e (N, A) ou N est l’ensemble des nœuds du graphe et A l’ensemble des arcs du graphe. Les arcs du graphe repr´esentent les tron¸cons de voirie, orient´es dans le sens de circulation dans le cas routier, et les nœuds du graphe repr´esentent leurs intersections.
Cette mod´elisation permet d’appliquer des algorithmes de plus court chemin tels que l’algorithme de Dijkstra de mani`ere imm´ediate, en attribuant `a chaque arc un coˆut ´egal soit au temps n´ecessaire pour parcourir le tron¸con, soit `a sa distance totale.
3.1.2 S´eparation en plusieurs graphes
Dans certains travaux, comme [Kirc2013] ou [Geis2010], le r´eseau de voirie est d´e- compos´e en trois r´eseaux diff´erents : le r´eseau pi´eton, le r´eseau v´elo et le r´eseau voiture. Ils sont mod´elis´es sous la forme de trois graphes orient´es s´epar´es, chacun ne consid´erant que les tron¸cons compatibles avec le mode sp´ecifi´e et les intersections entre ces tron¸cons. Remarquons qu’il est possible, pour gagner en simplicit´e et en espace m´emoire consomm´e, d’unifier ces trois graphes en un seul graphe contenant tous les types d’arcs. Chaque arc est alors marqu´e des modes qu’il est admis d’emprunter. Les contreparties de cette mod´elisation sont les suivantes :
• augmentation du nombre de nœuds et d’arcs par rapport `a chaque graphe s´epar´e, • condition suppl´ementaire lors de l’´evaluation d’un arc,
• certaines m´ethodes d’acc´el´eration d’algorithme de recherche de plus court chemin ne peuvent pas s’appliquer.
3.1.3 Prise en compte des arrˆets et des points d’int´erˆet
Les arrˆets et les points d’int´erˆets sont des lieux g´eographiques particuliers, qui peuvent servir de point de d´epart ou d’arriv´ee d’un trajet multimodal. En g´en´eral, ces lieux ne sont pas directement connect´es au r´eseau de voirie, mais on connait leur position g´eographique. Une question importante est donc de les int´egrer au graphe des voiries.
Une mani`ere classique de le faire consiste `a chercher le tron¸con g´eographique le plus proche t, ce qui est un probl`eme d’optimisation g´eographique. Puis il faut connecter le nœud repr´esentant le lieu g´eographique avec les arcs repr´esentant le tron¸con trouv´e. La litt´erature propose plusieurs m´ethodes de connexion : relier le nœud au nœud le plus proche ([Pajo2009]), ou dupliquer et d´ecouper les arcs du tron¸con pour ins´erer le nœud entre les arcs ainsi cr´e´es ([Bous2010]) en sont deux exemples. La figure 2 illustre le type de graphe obtenu avec cette derni`ere approche.
Plus de d´etails sur cette probl´ematique sont disponibles en annexe A du document, consacr´ee `a l’accrochage des lieux et leur mod´elisation dans les graphes individuels.
Figure 2 – Deux points d’int´erˆet sur le mˆeme tron¸con de voirie ([Bous2010])
3.1.4 Prise en compte des pistes cyclables
L’int´egration des pistes cyclables dans le r´eseau de voirie est plus ou moins com- plexe, en fonction de la qualit´e des donn´ees et de leur pr´etraitement. Le probl`eme est similaire `a celui des points d’int´erˆet, `a ceci pr`es qu’il faut non pas connecter des lieux g´eographiques, mais des tron¸cons cyclables bien souvent distincts du r´eseau de voirie classique.
Dans [Sauv2011], les donn´ees sont issues d’OpenStreetMap mais pr´ealablement in- t´egr´ee par un collecteur de terrain, qui v´erifie et rajoute les pistes cyclables sur OSM
et les relie `a une base de donn´ees priv´ee. L’algorithme d´ecoupe ensuite les donn´ees `a chaque intersection de rue ou de pistes cyclables et cr´ee autant d’arcs que n´ecessaire. Un probl`eme qui peut se poser est que bien souvent les pistes cyclables sont trac´ees en parall`ele des routes et n’y sont pas connect´ees, c’est pour cette raison qu’il faut v´erifier manuellement les donn´ees d’entr´ee ou de sortie.
3.1.5 Prise en compte du trafic temps r´eel
Le temps r´eel transforme le graphe ind´ependant du temps en graphe d´ependant du temps. Le temps consomm´e pour le parcours d’un arc d´epend alors du temps au nœud de d´epart de cet arc. Dans [Geis2010], ceci est mod´elis´e comme une fonction d´ependant de l’arc f : Π→ R+ qui `a chaque τ ∈ Π associe le temps n´ecessaire pour parcourir cet
arc.
Il est important de noter qu’il faut que la contrainte FIFO soit respect´ee pour la fonction f, c’est-`a-dire que partir plus tard ne permette pas d’arriver plus tˆot : ∀ τ0
> τ∈ Π, τ0
+ f(τ0)≥ τ + f(τ). Dans le cas contraire, les algorithmes de plus court chemin tels que l’algorithme de Dijkstra ne sont plus exacts.
3.1.6 Prise en compte des manœuvres interdites
Les interdictions de tourner sont trait´ees dans la litt´erature de deux fa¸cons diff´e- rentes. Soit par l’extension du graphe, en particulier en ajoutant des nœuds aux inter- sections, soit par la mise en place et l’exploitation du graphe adjoint (ou line graphe, ou graphe dual) : graphe qui inverse les arcs et les nœuds.
Des travaux complets r´esolvant cette question et celle des d´elais aux carrefours pour des successions de plus de deux arcs peuvent ˆetre trouv´es dans la th`ese de [Bous2010]. Elle introduit une m´ethode d’extension du graphe en le composant avec un automate repr´esentant les restrictions de manœuvres.
Figure 4 – Manœuvres interdites : graphe adjoint ([Sauv2011])