Comme on l’a vu, chaque r´eseau, transport en commun et routier, comporte des sp´ecificit´es qui se mod´elisent de mani`ere diff´erente dans un cas ou dans l’autre. Or, un trajet multimodal doit pouvoir contenir `a la fois de la marche `a pied, du tram et du v´elo par exemple. Il est donc n´ecessaire de combiner les r´eseaux en un seul r´eseau multimodal. Deux m´ethodes principales sont utilis´ees dans la litt´erature. D’une part, il est possible de laisser chaque graphe intact et d’utiliser des algorithmes de plus court chemin distribu´e sur plusieurs graphes. D’autre part, nombre de travaux sur la recherche d’itin´eraire multimodale font le choix de fusionner les graphes en un seul graphe.
Dans ces deux cas, il est n´ecessaire de r´esoudre une forme du probl`eme de recherche des plus proches voisins pour trouver les tron¸cons de voirie `a proximit´e des arrˆets de
transport en commun et de mod´eliser plus ou moins finement les liens possibles entre les r´eseaux.
Pr´ecisons que nombre de travaux n’int`egrent pas de graphe des voiries dans le calcul, et consid`erent un ensemble pr´ed´efini de correspondances marche `a pied possibles entre arrˆets. C’est le cas de la plupart des travaux traitant de r´eseaux ferroviaires, comme [Schu2005], [Geis2010] ou [Schn2009].
3.3.1 R´eseaux combin´es en un seul graphe
Dans la plupart des travaux traitant de recherche d’itin´eraire multimodal (par exemple : [Pajo2009], [Pajo2013], [Kirc2013] ou [Grab2010]), l’ensemble des graphes repr´esentant les r´eseaux de transport en commun et de voirie sont combin´es pour ne former qu’un seul graphe. Deux exemples sont visibles dans la figure 8.
Les arcs du graphe sont alors typ´es par le mode utilis´e et les transitions d’un mode `
a l’autre sont contraintes par des r`egles m´etier. Il est possible de mod´eliser ces r`egles en consid´erant la succession de modes comme un mot qui doit appartenir `a un langage. Par exemple, si l’on exclut les taxis, un trajet combinant la voiture, puis le bus, puis la voiture `a nouveau est interdit, puisqu’il est impossible de reprendre une voiture en sortant d’un bus. Le mot (VP,TC,VP) ne fait pas partie du langage autoris´e. Cette contrainte de langage est mod´elis´ee avec un automate, approche introduite par Lozano et Storchi dans [Loza2001]. Nous ne rentrerons pas dans les d´etails de r´esolution d’un probl`eme de recherche de plus court chemin `a contraintes par langage r´egulier, mais d’importants travaux et de nombreuses r´ef´erences sur le sujet se trouvent dans les travaux de Artigues et Huguet dans [Arti2013], ainsi que dans la th`ese de Kirchler [Kirc2013].
Dans [Liu2011], ce n’est pas un automate mais une « Switch Point Matrix » qui d´etermine les transitions de modes possibles entre les graphes : cette matrice indique quels nœuds permettent de passer d’un graphe `a l’autre, et sous quelles conditions. De plus la mod´elisation du graphe de transport en commun est l´eg`erement diff´erente, puisqu’elle est consid´er´ee comme ind´ependante de l’horaire avec des coˆuts fixes par arc, mais prenant en compte des coˆuts d’attente d´ependant du temps aux divers switch points permettant de transiter d’un mode transport `a l’autre.
3.3.2 R´eseaux s´epar´es en plusieurs graphes et algorithmes distribu´es
L’alternative `a la cr´eation d’un graphe unique `a plusieurs couches est d’appliquer des algorithmes de recherche de plus court chemin dans un graphe distribu´e en classes. L’un des premiers algorithmes de r´esolution en temps polynomial est d´ecrit dans [Wang2004]. Chaque nœud du graphe appartient `a une ou plusieurs classes, comme le montre la figure 9 et chaque r´eseau correspond `a une seule classe. Chaque arc du graphe appartient `
a un unique r´eseau. Chaque r´eseau connait ses propres nœuds, ses propres arcs, et les coˆuts li´es `a ses arcs ; de plus il est muni d’un syst`eme d’information capable de rechercher un plus court chemin en son sein. Le probl`eme est alors de d´efinir un algorithme central, connaissant les points d’intersections des r´eseaux, capable de composer des requˆetes
Figure 8 – Mod`eles de graphe combin´e de Kirchler (`a gauche) et Bousquet (`a droite)
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a chaque sous-syst`eme et de trouver un plus court chemin global entre deux points quelconques du graphe distribu´e.
Ce type d’algorithmes est utilis´e par les syst`emes de calculs d’itin´eraire distribu´e sur plusieurs sources de donn´ees de transport en commun, comme DELFI/EU-Spirit en Allemagne ou Transport Direct aux Royaumes-Unis.
Ces algorithmes sont am´elior´es pour le calcul parall`ele de plus court chemin horaire dans un r´eseau multimodal dans les th`eses de Kamoun [Kamo2007], Feki [Feki2010], et Ayed [Ayed2011].
Enfin, le calculateur de Cityway utilise une variante simplifi´ee de cette m´ethode pour permettre de trouver les plus courts chemin avec d´epart ou arriv´ee en marche `a pied, v´elo ou v´ehicule priv´e.
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Etat de l’art sur les algorithmes de
r´esolution
Sommaire
1 Introduction . . . 42
2 Algorithmes fondateurs . . . 43
3 Optimisations du calcul du plus court chemin . . . 45
4 Algorithmes de r´esolution TC . . . 53
Ce chapitre est consacr´e `a l’exploration de l’´etat de l’art sur la recherche de plus court chemin dans un graphe. Les algorithmes fondateurs de Bellman-Ford et Dijkstra sont d´ecrits dans la section 2. Diverses optimisations applicables quand les poids des arcs sont ind´ependants du temps sont pr´esent´ees dans section 3. Enfin, nous pr´esentons les algorithmes plus sp´ecifiques aux r´eseaux de transport en commun dans la section 4.
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Introduction
´Etant donn´e un grapheG(N, A) orient´e ou non, avec N l’ensemble de ses nœuds et A celui de ses arcs pond´er´es. Les algorithmes, issus de la litt´erature, pr´esent´es dans cette section permettent de r´esoudre le probl`eme du plus court chemin dans G, c’est-`a-dire, pour deux nœuds P et Q de d´eterminer le chemin de poids minimum allant de P vers Q.
Lorsque les poids des arcs repr´esentent un temps, r´esoudre un probl`eme de plus court chemin revient effectivement `a r´esoudre le probl`eme du trajet le plus rapide. Ce dernier ´equivaut au probl`eme de l’arriv´ee au plus tˆot si l’on a fix´e un horaire de d´epart, et `a celui du d´epart au plus tard lorsque l’on a fix´e un horaire d’arriv´ee.
Pour plus de d´etails et des r´esultats d’exp´erimentations comparant temps de pr´e- traitement, utilisation d’espace m´emoire et temps de calcul, nous orientons le lecteur vers l’article « Route Planning in Transportation Networks » [BDGM2016] de Bast et al.
Celui-ci pr´esente une synth`ese tr`es compl`ete des principaux algorithmes de r´esolution des probl`emes de calcul d’itin´eraire sur des r´eseaux routiers et de transport en commun.
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Algorithmes fondateurs
Nous pr´esentons ici les deux algorithmes fondateurs de la recherche de plus court chemin dans un graphe, celui de Bellman-Ford et celui de Dijkstra. Une bonne compr´e- hension de ceux-ci est n´ecessaire car la majorit´e des algorithmes de recherche de plus court chemin trouv´es dans la litt´erature h´eritent de ou utilisent d’une mani`ere ou d’une autre l’un de ces deux algorithmes. En particulier, le calculateur de Cityway utilise une impl´ementation de l’algorithme de Dijkstra.