Le th´eor`eme 1.5 nous indique qu’une s´erie rationnelle sur A `a coefficients dans un semi-anneau K est s´equentielle si et seulement si ses quotients appartiennent `a un K-cˆone finiment engendr´e. Nous allons essayer de d´efinir un ensemble g´en´erateurs canoniques de ce cˆone. Si le pgcd est uniquement d´efini, chaque s´erie α peut alors s’´ecrire de fa¸con unique k ⊗ α′, o`u k est le pgcd des coefficients de α.
Si K est un sous-groupe de G, le pgcd est loin d’ˆetre unique (on peut factoriser les ´el´ements de Km par n’importe quel ´el´ement de K). Il nous faudra donc adapter notre
d´efinition. En revanche, si K est positif ou n´egatif, le pgcd est uniquement d´efini dans le semi-anneau Km. On peut donc rechercher les g´en´erateurs canoniques du cˆone qui contient
les quotients. Si K est positif, le pgcd de deux nombres a et b de Km diff´erents de −∞
est ´egal au min de ces deux nombres (car la multiplication du semi-anneau est la somme usuelle) ; s’il est n´egatif, il s’agit du max.
Nous d´efinissons donc le pgcd des coefficients du quotient d’une s´erie α par un mot u de la fa¸con suivante :
D´efinition 5.2 Soit α une s´erie de KmhhA∗ii. On d´efinit α par :◦
hα, ui =◦
inf{hu−1α, vi | v ∈ u−1Supp(α)}, si K est positif,
sup{hu−1α, vi | v ∈ u−1Supp(α)}, si K est n´egatif,
hu−1α, vi, avec v minimal pour l’ordre radiciel si K est un groupe.
On d´efinit ainsi une s´erieα dont le support est A◦ ∗.
Remarque 5.1 Supposons α rationnelle et K n´egatif. Soit n le nombre d’´etats d’un au- tomate qui r´ealise α.3 Pour tout u dans Supp(α) de longueur sup´erieur `a n, tout calcul victorieux ´etiquet´e par u comporte une boucle ´etiquet´ee par v. On peut d´ecomposer u en x.v.y. Il existe donc un chemin ´etiquet´e par x.y dont la valeur est sup´erieure `a la valeur
de tout calcul victorieux ´etiquet´e par u, donc hα, ui 6 hα, x.yi. Si α est rationnelle, ses quotients aussi, le «sup» employ´e dans la d´efinition ci-dessus peut donc ˆetre appliqu´e `a un ensemble fini ; c’est alors un «max».
Si K est positif et α rationnelle, l’«inf» est ´evidemment aussi un «min». Toutefois, ce minimum peut ˆetre r´ealis´e par un mot de longueur non polynomiale dans la taille de l’automate. Le calcul effectif du inf s’en trouve compliqu´e. Ce cas est illustr´e par l’exemple suivant qui doit beaucoup `a la construction de M. Chrobak dans [15].
Exemple 20 Soit k un entier et A un alphabet unaire. On d´efinit, pour tout i dans [1; k], un automate Ai `a multiplicit´e sur Nm, qui est un circuit de ni ´etats pi,1, pi,2, . . . , pi,ni :
E(pi,k,a,pi,l) = (
0 si l − k = 1 mod ni
−∞ sinon.
Pour tout i, seul l’´etat pi,1 est initial :
Ipi,k = (
0 si k = 1
−∞ sinon.
Pour tout i > 1, les ´etats diff´erents de pi,ni sont terminaux, avec multiplicit´e 1 (Tpi,k = 1 si k 6= ni et Tpi,k = −∞).
Tpi,k = (
−∞ si k = ni
1 sinon.
Pour i = 1, l’´etat p1,n1 est terminal, mais avec multiplicit´e 0 : Tpi,k =
(
0 si k = ni
1 sinon.
On consid`ere la s´erie r´ealis´ee par l’union de ces automates. Son support est a∗. Le plus petit mot dont la valeur maximale sur les chemins est 0 est de longueur ppcm{ni | i ∈ [1; k]} − 1.
Si on suppose que la somme des niest ´egale `a n fix´e, quelle est la valeur maximale F (n) de
leur ppcm ? Ce probl`eme classique d’arithm´etique est connu comme probl`eme de Landau. Il a ´et´e montr´e ([63]) que F (n) = O(e√n ln n), ce qui conclut notre exemple.
La d´efinition pr´ec´edente nous permet de trouver un syst`eme g´en´erateur du cˆone des quotients :
D´efinition 5.3 La translat´ee (`a gauche) de la s´erie α de KhhA∗ii par un mot u de A∗,
not´ee α/u, est d´efinie par :
∀v ∈ A∗, hα/u, vi = hu−1α, vi − hα, ui.◦
Noter qu’on utilise le signe «−», c’est-`a-dire la division du semi-anneau. Ceci est possible car hα, ui est justement d´efini comme un pgcd des coefficients de u◦ −1α.
De mˆeme que pour les quotients, la d´efinition des translat´ees induit la d´efinition d’une action `a droite de A∗ sur les s´eries, puisque, pour tout mot u et toute lettre a, pour toute
s´erie α, (α/u)/a = α/(u.a).
Proposition 5.2 Une s´erie de KRat A∗ est s´equentielle si et seulement si le nombre de ses translat´ees est fini.
Lemme 5.3 Soit u et u′deux mots de A∗. Si u−1Supp(α) = u′−1Supp(α) et qu’il existe une constante cu,u′ de R telle que, pour tout mot v de u−1Supp(α), hα, u.vi − hα, u′.vi = cu,u′, alors cu,u′ = hα, ui − h◦ α, u◦ ′i et α/u = α/u′.
D´emonstration. Si K est un groupe, comme u−1Supp(α) = u′−1Supp(α), il existe un
mot v (´el´ement minimal de cet ensemble) tel que hα, ui = hu◦ −1α, vi et hα, u◦ ′i = hu′−1α, vi.
Donc hα, ui − h◦ α, u◦ ′i = hα, u.vi − hα, u′.vi = c
u,u′ et, pour tout mot v de u−1Supp(α), hα/u, vi = hα, u.vi − hα, ui = hα, u◦ ′.vi + cu,u′ − hα, u◦ ′i − cu,u′ = hα/u, vi.
Si K est positif, il existe un mot v dans v ∈ u−1Supp(α) tel que hu−1α, vi = hα, ui.◦
Comme pour tout mot w de u−1Supp(α), la distance entre les coefficients de w dans u−1α et u′−1α est constante, le minimum de u′−1α est aussi r´ealis´e en v et hα, u◦ ′i = hu′−1α, vi.
D’o`u cu,u′ = hα, ui − h◦ α, u◦ ′i et, pour tout mot v de u−1Supp(α),
hα/u, vi = hα, u.vi − hα, ui = hα, u◦ ′.vi + cu,u′ − hα, u◦ ′i − cu,u′ = hα/u, vi.
De mˆeme si K est n´egatif. ⊓⊔
D´emonstration de la proposition 5.2. Soit α une s´erie de KRat A∗ dont le nombre de translat´ees est fini. Posons Qα l’ensemble des translat´ees. On d´efinit l’automate Aα dont
l’ensemble d’´etats est Qα par sa repr´esentation lin´eaire (λ, µ, ν) :
λγ= ( hα, 1◦ A∗i si p = α/1A∗, −∞ sinon, νγ=hp, 1A∗i, ∀a ∈ A, (aµ)γ,γ′ = ( hγ, ai − hγ′, 1A∗i si γ′ = γ/a, −∞ sinon.
D’une part cet automate est d´eterministe. En effet, son seul ´etat initial est α/1A∗, et si deux mots u et v donnent la mˆeme translat´ee,
Supp(α/(u.a)) = a−1Supp(α/u) = a−1Supp(α/v) = Supp(α/(v.a)) et, pour tout mot w de Supp(α/(u.a)),
hα, u.a.wi = hα, ui + hα/u, a.wi = h◦ α, ui + hα/v, a.wi = hα, v.a.wi + h◦ α, ui − h◦ α, vi.◦ Donc, d’apr`es le lemme pr´ec´edent, u.a et v.a donnent la mˆeme translat´ee. D’autre part cet automate r´ealise la s´erie α. En effet, pour tout mot u = u1. . . uk (on pose u0 = 1A∗),
le calcul ´etiquet´e par u a pour multiplicit´e : hα, 1◦ A∗i+
k
X
i=1
(hα/(u1. . . ui−1), uii − hα/(u1. . . ui), ui−1i) + hα/u, 1A∗i
hα, 1◦ A∗i+ k X i=1 (hα, (u◦ 1. . . ui)i − hα, u◦ 1. . . ui−1i) + hα/u, 1A∗i =hα, ui + hα/u, 1◦ A∗i = hα, ui
R´eciproquement, soit A = h Q, A, E, I, T i un automate d´eterministe qui r´ealise la s´erie s´equentielle α. Soit i l’´etat initial de A. Soit u et v deux mots qui m`enent dans le mˆeme ´etat p de A. Alors, u−1Supp(α) = v−1Supp(α) (de mˆeme que pour un automate
d´eterministe sans multiplicit´e). Et, pour tout mot w de u−1Supp(α),
hα, uwi − hα, vwi =(Ii+ i ∗ u + (i · u) ∗ w + T(i·uw)) − (Ii+ i ∗ v + (i · v) ∗ w + T(i·vw))
=i ∗ u − i ∗ v
Cette diff´erence ne d´epend pas de w. Donc, d’apr`es le lemme pr´ec´edent, les translat´ees de α par rapport `a u et `a v sont ´egales. Le nombre de translat´ees de α est donc au plus
´egal au nombre d’´etats de A, donc fini. ⊓⊔
Remarque 5.2 On voit dans cette preuve que, si la s´erie est s´equentielle, il existe un automate minimal canonique dont les ´etats sont les translat´ees de la s´erie. Un algorithme de minimisation a ´et´e donn´e par M. Mohri [49].
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