Equations primitives

Plusieurs variables sont n´ecessaires pour d´ecrire l’´etat de l’oc´ean : la masse volumique ρ, la pression P , la vitesse ~U (selon les 3 axes), la temp´erature potentielle T et la salinit´e S. L’´etat de ces variables peut ˆetre d´ecrit `a partir d’´equations d’´etat non lin´eaires couplant temp´erature, salinit´e et vitesse du fluide.

Sept ´equations sont ainsi n´ecessaires pour r´esoudre les termes d´ecrivant l’´etat de l’oc´ean : les ´equations du mouvement (ou ´equations de Navier-Stokes), l’´equation de continuit´e (ou in-compressibilit´e), les ´equations de conservation de temp´erature et salinit´e, et l’´equation d’´etat. Ces ´equations sont complexes et non-lin´eaires, et certaines hypoth`eses et approximations sont utilis´ees afin de les simplifier. Cela permet d’obtenir des ´equations dites primitives, qui seront alors r´esolues num´eriquement par NEMO.

´

Equation d’´etat et conservation de la masse

On consid`ere que le volume d’eau au sein de la configuration est constant (pas de source, ni de puits). Cela se traduit au travers de l’´equation de conservation de densit´e, qui stipule que la variation de masse volumique est ´egale `a la divergence du flux de masse :

dρ dt ⁼

∂ρ

∂t ^{+ div (ρ ~U ) = 0 (2.4)}

Hypoth`ese d’incompressibilit´e → Le fluide ´etant suppos´e incompressible, la divergence de la vitesse (en 3D) est nulle (voir eq. 2.11).

La divergence de ~U est donc nulle, ce qui nous donne l’´equation de continuit´e : dρ dt ⁼ ∂ρ ∂t ^{+ ~U · ∇ρ (2.5)} ´ Equation du mouvement

Les ´equation de Navier-Stokes, qui permettent de d´ecrire le mouvement d’un fluide, sont ´

egalement appel´ees ´equations du mouvement. La forme non-lin´eaire g´en´erale de cette ´equation du mouvement est : ρ " d ~U dt ^{+ 2Ω · k} # = − ~∇P + ρ~g + ~F_U (2.6)

Approximation d’une Terre sph´erique → On suppose que les surfaces g´eopotentielles sont sph´eriques. La gravit´e peut donc ˆetre consid´er´ee parall`ele au rayon de la Terre.

On d´efinit les vecteurs unitaires orthogonaux (~i,~j,~k) tels que ~k soit le vecteur vertical, dans l’axe du rayon terrestre et dirig´e vers le haut, et (~i,~j) les vecteurs horizontaux (tangents aux surfaces g´eopotentielles), respectivement zonal et m´eridien. Par la suite, l’indice h d´efinira une projection sur l’horizontale.

Approximation de couche fine → On consid`ere que l’´epaisseur des oc´eans est n´egligeable en comparaison du rayon terrestre. On n´egligera donc les effets de courbure dans les ´equations.

Hypoth`ese de Boussinesq → On consid`ere que les variations de densit´e selon l’horizontale sont faibles. Cela ram`ene `a consid´erer l’oc´ean comme un fluide incompressible, o`u les variations horizontales de masse volumique sont n´egligeables. La variation verticale de masse volumique ρ<sup>0</sup> (non n´egligeable au second degr´e) est due `a des ph´enom`enes de stratification, de mouvements verticaux, et `a la pression hydrostatique. Il faut donc la prendre en compte dans le calcul de la force de flottabilit´e. On suppose ainsi que la masse volumique reste proche d’une valeur de r´ef´erence ρ0 :

ρ (T, S, P ) = ρ₀+ ρ⁰(x, y, z, t) (2.7)

Hypoth`ese de fermeture turbulente → Les flux turbulents, qui expriment l’impact de la petite ´echelle sur la grande, sont donn´es en termes de processus grande ´echelle.

En appliquant ces hypoth`eses aux ´equations de Navier-Stokes, on obtient la formulation suivante pour l’expression de la vitesse horizontale :

∂Uh ∂t ^{= −}  (∇ ⊗ U ) ⊗ U + ¹ 2^∇(U 2)  h − f k ⊗ U_h− ¹ ρ₀^{∇hP + D} U+ F^U (2.8) O`u :

– ~U repr´esente le vecteur vitesse, d´efini selon les 3 axes (~u,~v, ~w), et U_h repr´esente les compo-santes horizontales du vecteur vitesse.

– ρ₀ est la densit´e de r´ef´erence de l’eau de mer, et ρ la densit´e in-situ donn´ee par l’equation d’´etat 2.7

– f est le param`etre de Coriolis, donn´e par f = 2Ω · k. – P est la pression.

– ~FU repr´esente les forces de frottements visqueux.

– D^U, D^T, D^S sont respectivement les termes de turbulence associ´es aux ´equations du mouvement, de temp´erature et de salinit´e.

– g est l’acc´el´eration gravitationnelle.

´

Equation de continuit´e

Hypoth`ese hydrostatique → La pression subie par une particule de fluide est consid´er´ee comme la somme de la pression atmosph´erique P₀et et de la pression/poids de la colonne d’eau au-dessus de cette particule :

P = P₀(x, y, t) + P⁰(x, y, z, t) (2.9)

En g´en´eral, on se permet de n´egliger la pression atmosph´erique P0, ce qui ram`ene `a consid´erer que la pression P en un point est ´egale `a la pression hydrostatique P <sup>0</sup>. Cette approximation est possible car le niveau des oc´eans s’ajustant aux variations de pression atmosph´erique, on consid`ere qu’il n’y a pas de mouvement horizontal des forces de pression. Cependant, dans le cas de fortes variations de pression (par exemple une tempˆete ou un cyclone), la pression atmosph´erique doit ˆetre prise en compte.

alors associer `a la masse volumique une pression de r´ef´erence, telle que : ∂P ∂z ^{= −ρzg soit Pz =} Z z 0 −ρ_zgdz (2.10)

L’´equation du mouvement selon la verticale peut ˆetre r´eduite `a un ´equilibre entre le gradient de pression vertical et la force de flottabilit´e. L’´equation hydrostatique (eq. 2.10) remplace donc l’´equation du mouvement, selon la verticale. Il faut cependant noter que dans ce cas, les processus de convections qui ´etaient compris dans l’´equation de Navier-Stokes selon la verticale ne sont plus pris en compte, et que l’on n´eglige la composante de la force de Coriolis associ´ee `a la vitesse verticale. La variation de vitesse verticale ^∂w_∂t sera d´etermin´ee `a partir de l’´equation de continuit´e : ∇ · U = 0 ou ^∂u ∂x⁺ ∂v ∂y ⁺ ∂w ∂z ^{= 0 (2.11)}

Cela signifie que contrairement aux vitesses horizontales qui sont des variables pronostiques, w est une variable diagnostique.

Conservation de la temp´erature et de la salinit´e

L’´equation d’´etat, propos´ee par Jackett and McDougall [1995], permet de relier les ´equations du mouvement `a la conservation de la masse :

Temp´erature : ^∂T_∂t = −∇ · (T U ) + D^T + F^T

Salinit´e : ^∂S_∂t = −∇ · (SU ) + D^S+ F^S

(2.12)

O`u :

– T est la temp´erature potentielle. – S est la salinit´e.

– F^U, F^T, F^Ssont respectivement les termes de frottement de surface associ´es aux ´equations du mouvement, de temp´erature et de salinit´e.

– D^U, D^T, D^S sont respectivement les termes de turbulence associ´es aux ´equations du mouvement, de temp´erature et de salinit´e.

Expression de la surface

La condition de surface sugg`ere une continuit´e dans le terme de pression `a l’interface. Comme sugg´er´e par l’hypoth`ese hydrostatique, la pression `a une profondeur donn´ee est ´egale `a la somme de la pression atmosph´erique et de la pression exerc´ee par le poids de la colonne d’eau au-dessus (eq. 2.9). On consid`ere que la pression en d´ecibars est approximativement ´egale `a la profondeur, en m`etres. La hauteur d’eau peut ˆetre d´etermin´ee de 2 fa¸cons diff´erentes : soit en introduisant une variable η, qui repr´esente l’´el´evation de surface libre (qui sera alors calcul´ee de fa¸con pronostique), soit en consid´erant l’oc´ean comme un toit rigide, o`u le gradient de pression horizontal est calcul´e de fa¸con diagnostique.

On consid`ere dans le cas d’un toit rigide que la surface de l’oc´ean est lisse (z=0), et qu’il n’y a pas de vitesses verticales en surface. Cette approximation est physiquement valable quand

l’´el´evation de surface η est n´egligeable `a cot´e de la profondeur locale des oc´eans. La pression de surface peut ˆetre d´etermin´ee de fa¸con diagnostique `a partir du calcul de la fonction de courant du transport. Cette approximation filtre les ondes externes de gravit´e, mais pose probl`eme pour l’introduction d’eau douce dans le mod`ele. Cette approximation est de plus en plus d´elaiss´ee en faveur d’une formulation de surface libre.

Dans cette derni`ere formulation, la SSH¹⁹est exprim´e par l’´el´evation de surface libre. C’est une variable pronostique qui d´epend du gradient vertical de SSH et du bilan en eau (P repr´ e-sentant le taux de pr´ecipitations, et E l’´evaporation) :

∂η

∂t ^{= −∇.[(H + η) ¯Uh] + P − E (2.13)}

Le fait d’autoriser la surface `a bouger permet la propagation d’ondes de gravit´e. Ce sont des ondes barotropes avec une grande vitesse de phase (plusieurs centaines de m`etres par seconde), ce qui n´ecessite un pas de temps tr`es court pour respecter les conditions CFL<sup>20</sup>(qui imposent que le pas de temps soit inf´erieur au rapport de la taille de maille sur la vitesse de phase, soit ∆t < <sup>∆x</sup><sub>c</sub> ). Afin de r´esoudre ce probl`eme, diff´erentes m´ethodes existent. La premi`ere, dite m´ethode du time-splitting, s´epare les modes barotrope et barocline. La partie barotrope est ainsi int´egr´ee avec un pas de temps faible, qui permet de r´esoudre les ondes de gravit´e, et la partie barocline est int´egr´ee avec un pas de temps plus grand. La partie barotrope est ensuite moyenn´ee sur le pas de temps d’int´egration barocline. Une autre m´ethode consiste en l’utilisation d’un sch´ema implicite qui permet de filtrer num´eriquement les ondes au travers du sch´ema temporel, mais ce sch´ema filtre ´egalement les ondes internes. NEMO propose une 3`eme m´ethode, d´evelopp´ee par Roullet and Madec [2000]. Une force additionnelle est rajout´ee `a l’´equation du mouvement pour filtrer les ondes de gravit´e :

∂U_h

∂t ^{= M − g∇( ˜ρη) − gTc∇(˜ρ∂tη) (2.14)}

Avec T_cune p´eriode de coupure, ˜ρ = _ρ^ρ

0 la densit´e adimensionn´ee, et M qui repr´esente les autres termes de l’´equation (force de Coriolis, gradient de pression hydrostatique, terme de viscosit´e et termes non lin´eaires).

Ce nouveau terme peut ˆetre consid´er´e comme une diffusion de la divergence du flux, int´egr´ee sur la verticale. Ainsi l’´el´evation de la surface libre d´epend de l’´equilibre entre deux termes : un terme associ´e `a un r´egime de propagation (g∇( ˜ρη)) et un terme associ´e `a un r´egime de diffusion (gT_c∇(˜ρ∂_tη)). Le r´egime de diffusion ne va s’appliquer qu’aux modes plus courts que Tc, empˆechant les ondes de gravit´e de se propager. Pour les modes plus longs, le terme de diffusion n’est pas utilis´e. Cette force agit ainsi comme un filtre passe-bas : tous les ph´enom`enes physiques dont le temps de coupure est inf´erieur `a T_c sont filtr´es. Ce terme est calcul´e de fa¸con implicite, contrairement au reste de l’´equation qui est discr´etis´ee selon un sch´ema leap-frog (voir section 2.2.2.2). Cette m´ethode pr´esente deux avantages consid´erables par rapport aux autres m´ethodes : non seulement l’amortissement des ondes de gravit´e peut ˆetre quantifi´e simplement au travers de ce terme, mais en plus la stabilit´e num´erique est assur´ee d`es que Tc> ∆t.

Lorsque les variations de η sont faibles par rapport `a l’´epaisseur de la couche de surface, l’´equation 19. Sea Surface Height

Figure 2.5 – Grille C-Arakawa. Le point T indique l’emplacement des champs scalaires (temp´erature, salinit´e, pression, divergence horizontale), les points U, V, W correspondent `a l’emplacement des vecteurs vitesse, et f indique l’emplacement o`u sont d´efinies les vorticit´es relative et plan´etaire (figure issue de [Madec, 2008]).

2.13 peut ˆetre lin´earis´ee. Dans ce cas, la quantit´e de sel n’est plus conserv´ee, mais de fa¸con n´egligeable. Ce type de param´etrisation peut ˆetre utilis´e par ceux qui ne sont pas int´eress´es par la reproduction des ph´enom`enes `a haute-fr´equence tels que la mar´ee.