Les ´equations de Bloch sont des ´equations ph´enom´enologiques, introduites en 1946 par Bloch [51], qui d´ecrivent l’´evolution de la magn´etisation en pr´esence de ph´enom`enes de d´epolarisation.
Soit ~M (t) la magn´etisation nucl´eaire au temps t, son ´evolution se d´ecrit alors par le syst`eme d’´equations coupl´ees suivantes :
dMx(t) dt = γ( ~M (t) × ~B(t))x−Mx(t) − M eq x T2 dMy(t) dt = γ( ~M (t) × ~B(t))y−My(t) − M eq y T2 dMz(t) dt = γ( ~M (t) × ~B(t))z−Mz(t) − M eq z T1 (5.6)
avec γ le facteur gyromagn´etique.
Ces ´equations d´ecrivent l’´evolution d’une magn´etisation, donc d’un ensemble de spins dans un champ magn´etique principalement selon l’axe z, ce qui justifie que le temps de d´epolarisation (le retour vers la magn´etisation d’´equilibre ~Meq) soit diff´erent suivant l’axe privil´egi´e du champ magn´etique. On a coutume de d´efinir T1 comme le temps de d´epola-risation longitudinal et T2 comme le temps de d´epolarisation transverse (ceci ´etant bien entendu relatif `a la direction principale du champ magn´etique).
Pour d´ecrire la dynamique du spin dans la chambre de stockage il faudra tenir compte de T1 et T2 qui, pour le neutron et le mercure ont des contributions et des valeurs diff´e-rentes.
5.1.1 Le temps de d´epolarisation longitudinal T1
La d´epolarisation longitudinale peut avoir deux origines. Tout d’abord, les inhomog´e-n´eit´es du champ magn´etique qui peuvent ˆetre reli´ees `a T1 par la formule suivante :
1
T1,magn = D
|~∇Bx|2+ |~∇By|2
B2 (5.7)
dans laquelle D est le coefficient de diffusion du gaz et B est le champ magn´etique principal. Cette formule, ´etablie pour des gaz [52] est aussi valable pour un gaz de neutrons ultra-froids sous la condition de d´efinir le coefficient de diffusion par D = vxyλ3 [67] o`u vxy est la vitesse moyenne des neutrons dans le plan transverse au champ magn´etique et λ est le libre parcours moyen des neutrons. Cette contribution est tr`es faible car elle est supprim´ee par la valeur du champ principal au carr´e.
Les principales sources de d´epolarisation selon la direction longitudinale sont finalement les collisions avec les parois. On peut alors relier T1 `a la probabilit´e de d´epolarisation par collision et caract´eriser les mat´eriaux qui stockent le mieux la polarisation des neutrons et des atomes de mercure. Un certain nombre de r´esultats sont regroup´es dans [54] et sont retranscrits ici pour le t´eflon et le quartz dans le tableau 5.1. Ces deux mat´eriaux
Mat´eriau ξn ξHg
T´eflon (1.8 ± 1) × 10−6 1.4 × 10−6
Quartz 14 × 10−6 3.5 × 10−6
Fig.5.1 – Probabilit´e de d´epolarisation des neutrons ξnet des atomes de mercure ξHglors d’une collision avec les parois.
sont des isolants communs qui peuvent ˆetre utilis´es comme parois verticales de la chambre de pr´ecession. On peut conclure de ces valeurs que le comportement des neutrons et des atomes de mercure lors d’une collision est tr`es similaire, mais ce qui diff`ere entre les neutrons et les atomes de mercure c’est leur vitesse moyenne et donc le nombre de ces collisions. Ce nombre conduit `a T1 ≈ 100 s pour le mercure et T1 ≈ 1000 s pour les neutrons.
Les ´equations de Bloch 5.6 nous montrent que pour mesurer T1 il faudrait pr´eparer nos spins dans un ´etat propre align´e sur le champ magn´etique (donc spin ”up” ou ”down”) et mesurer l’´evolution de sa polarisation en fonction du temps. La figure 5.2 est un exemple de la mesure de T1 avec les neutrons.
Fig.5.2 – Mesure de l’asym´etrie (N↑− N↓)/(N↑+ N↓) du nombre de neutrons de spin ”up” N↑par rapport `a celui de spin ”down” N↓pour diff´erents temps de stockage. Initialement, le syst`eme est pr´epar´e de sorte que la
5.1.2 Le temps de d´epolarisation transverse T2
La d´epolarisation transverse, `a l’inverse de la d´epolarisation longitudinale, est domin´ee par les gradients magn´etiques. On peut r´esumer les diff´erentes contributions pour une chambre cylindrique de rayon R et de hauteur L, par la formule suivante [55] :
1 T2 = 1 2T1,murs + 1 2T1,magn + γ2L4 120D ∂Bz ∂z 2 +7γ 2R4 96D ∂Bz ∂y 2 (5.8) Dans cette expression, on retrouve γ, le facteur gyromagn´etique du syst`eme. Tout comme pour l’´equation 5.7, cette derni`ere expression ´etablie pour un gaz de coefficient de diffusion D peut ˆetre adapt´ee au gaz de neutrons en utilisant la mˆeme red´efinition de ce coefficient. La pond´eration 1/2 entre 1/T1 et 1/T2 est d´emontr´ee dans l’annexe 1. On remarque aussi en faisant les applications num´eriques des expressions 5.7 et 5.8 que l’effet d’un mˆeme gradient est plus important sur T2 par plus d’un ordre de grandeur pour les neutrons (D/B2 < γ2L4/120D). Au contraire pour les atomes de mercure, le terme dominant de l’expression 5.8 est 1/T1,murs.
Pour mesurer T2, il faut pr´eparer un ensemble de spins de fa¸con `a ce qu’ils op`erent une pr´ecession tous en phase dans le plan perpendiculaire au champ principal et mesurer leur polarisation en fonction du temps. La figure 5.3 est un exemple de mesure effectu´ee avec des neutrons.
Fig.5.3 – Mesure de l’asym´etrie (N↑− N↓)/(N↑+ N↓) du nombre de neutrons de spin ”up” N↑par rapport `a celui de spin ”down” N↓ pour diff´erents temps de stockage. Initialement, le syst`eme est pr´epar´e de sorte que tous
les spins soient en phase lors de leur pr´ecession dans le plan perpendiculaire au champ principal.
Le fait que T2 d´epende drastiquement des gradients pour les neutrons nous permet d’utiliser T2 comme diagnostic de la qualit´e du champ magn´etique. Par exemple, on a pu comparer le gradient mesur´e par un couple de magn´etom`etres c´esium plac´es de part et d’autre de la chambre de stockage au T2 (voir la figure 5.4). La d´ependance quadratique attendue d’apr`es l’´equation 5.8 est v´erifi´ee en tenant compte du fait que les gradients ne sont pas ind´ependants `a cause des ´equations de Maxwell.
Fig.5.4 – Etude de la corr´elation entre le gradient vertical (mesur´e par un couple de magn´etom`etres c´esium) et 1/T2 o`u T2est le temps de d´epolarisation transverse des neutrons.