L’équation du mouvement électronique dans le repère dérivant pour un électron s’écrit dans la jauge de Coulomb (Φ0 = 0) :
d~p0 dt0 = e ∂ ~A0 ∂t0 − e~v 0×−rot ~→ A0, (6.2.1) avec ~v0 = v0 x, v 0 y, 0 et ~A 0 = 0, A0
y, 0. La projection de cette équation sur ~ex et ~ey
donne respectivement : dp0x dt0 = −ev 0 y ∂A0y ∂x0 , (6.2.2) et dp0y dt0 = e ∂A0 y ∂t0 + v 0 x ∂A0y ∂x0 . (6.2.3)
Cette dernière équation peut se réécrire sous la forme : dp0y
dt0 = e
dA0y
dt0 , (6.2.4)
qui traduit la conservation du moment canonique transverse. Un électron retournera à son état initial d’impulsion transverse aussitôt l’onde passée, ou hors de sa zone d’influence. On a donc :
p0y = eA0y+ p0y(t0 = 0) . (6.2.5) Nous avons écrit, à l’aide de Matlab, un code de particules tests résolvant les équations (6.2.2) et (6.2.5) en normalisant l’impulsion à mec et en remplaçant
le temps t0 par ω00t0. Le potentiel vecteur est donné par les équations (6.1.14) et (6.1.15).
6.2.1
Résolution numérique
Grâce à aux équations précédentes, nous sommes capables de déterminer le mouvement électronique, et en particulier l’impulsion maximale avec laquelle les électrons peuvent être renvoyés dans le plasma en fonction de l’angle d’incidence de l’onde. Dans ce code, nous considérons 100 particules tests injectées à des instants différents, depuis la droite (plasma semi infini pour x ≥ 0) vers la gauche (x < 0) où est établi le potentiel vecteur déterminé précédemment. La densité du plasma est prise cent fois supérieure à la densité critique, i.e. n = 100nc. Les électrons
possèdent initialement une impulsion transverse p0y(t0 = 0) /mec = γ0β0 = tan θ
dépendante de la vitesse de dérive et une impulsion longitudinale négative variable. La transformation de Lorentz nous indique que les impulsions longitudinales sont identiques dans les deux référentiels, p0x = px. Dans cette résolution, nous avons
rajouté en plus à l’équation (6.2.2) le champ électrique résultant de l’équilibre entre pression de radiation et pression électrostatique déterminé précédemment. La Figure 6.3 montre des trajectoires électroniques dans l’espace des phases (x0, p0x) pour a0 = 1.5 et θ = 0 et 60˚. Les particules tests sont initialement injectées avec une
impulsion longitudinale p0x/mec = −1. En observant attentivement ces graphiques,
certaines particules, en fonction de leur phase d’injection (code couleur), peuvent être réfléchies (notamment pour le cas θ = 60˚) avant même d’atteindre le bord du plasma. On voit aussi que l’enfoncement pondéromoteur diminue avec l’angle.
6.2.2
Variations paramétriques
Pour étudier l’impulsion maximale de retour des électrons dans le plasma, nous utilisons notre code de particules tests et faisons varier trois paramètres qui sont : i) l’impulsion d’injection p0xi/mec, ii) l’angle d’incidence θ et iii) l’intensité laser
à travers le paramètre a0 = 0.85λ0
√
I18 pour une longueur d’onde (exprimée en
micromètre) λ0 = 0.8 µm, où I18 représente l’intensité exprimée en unité de 1018
W/cm2. Nous présentons respectivement les résultats Figures 6.4, 6.5 et 6.6 pour
a0 = 3, 7, 15 et θ = 0, 20, 40, 60, 80˚.
L’observation de cette série de graphiques permet de dégager des tendances générales quant au comportement de l’impulsion maximale des électrons qui sont
Equation du mouvement électronique dans le repère dérivant 95
(a) θ = 0˚ (b) θ = 60˚
Figure 6.3 – Espace des phases électroniques (x0, p0x) pour a0 = 1.5 et a) θ =
0˚ et b) θ = 60˚. L’impulsion longitudinale initiale est p0x/mec = −1. Le trait
bleu symbolise l’interface vide/plasma et le trait noir, la position d’équilibre entre pressions électrostatique et de radiation. Le code couleur correspond à la phase d’injection.
Figure 6.4 – Impulsion finale des électrons réinjectés dans le plasma en fonction de l’angle et de l’impulsion initiale pour a0 = 3.
réinjectés dans le plasma. Avant toute chose, rappelons que le mouvement d’un simple électron dans une onde stationnaire n’est pas intégrable du point de vue de la dynamique hamiltonienne pour des intensités relativistes (qui nous concernent donc), i.e. les états finaux, notamment en termes d’impulsion et d’énergie, de deux
Figure 6.5 – Impulsion finale des électrons réinjectés dans le plasma en fonction de l’angle et de l’impulsion initiale pour a0 = 7.
électrons ayant des conditions initiales infiniment proches, peuvent être très diffé- rents [Bourdier 83, Bauer 95, Lefebvre 97]. C’est ce que l’on observe sur l’ensemble des graphiques où l’impulsion finale mesurée semble d’abord évoluer de manière régulière quand on augmente l’impulsion initale des électrons, puis, pour des impul- sions initiales p0xi/mec proches de a0, ou bien quand l’angle d’incidence augmente,
on observe cet aspect chaotique dans l’impulsion finale pour des électrons ayant initialement la même impulsion mais des phases d’injection différentes. Cette mo- délisation suppose l’existence d’une onde stationnaire infinie, et par conséquent, le temps d’intégration devrait être infini, ce qui n’est pas possible d’un point de vue pratique. Pour pouvoir arrêter l’intégration, nous avons considéré une borne supé- rieure en temps tf correspondante à quinze oscillations laser soit ω00t
0
f = ω0tf = 30π
ce qui représente une durée d’impulsion d’environ 40 fs pour une longueur d’onde λ0 = 0.8 µm.
Une analyse attentive des valeurs finales montre que l’impulsion sature vers 1.5a0 quand on augmente l’impulsion initiale pour les cas où la progression de l’im-
pulsion finale est régulière, en particulier pour des angles proches de l’incidence normale. On retrouve cette loi d’échelle dans la référence [Kemp 09]. Quand on augmente l’angle d’incidence ou bien l’impulsion initiale, on observe le comporte- ment chaotique des électrons. Cependant, l’impulsion finale à la fin de l’intégration ne dépasse jamais 3a0 pour des angles d’incidence inférieurs à environ 60˚ d’après
Extension du modèle de Passoni 97
Figure 6.6 – Impulsion finale des électrons réinjectés dans le plasma en fonction de l’angle et de l’impulsion initiale pour a0 = 15.
variations de l’impulsion finale étaient régulières en fonction de a0, de l’angle d’in-
cidence et de l’impulsion d’injection, nous pourrions mener une étude correcte de l’énergie des protons en fonction de ces trois paramètres. Mais compte tenu de l’as- pect chaotique du comportement des électrons, pour mener une étude simple, et à la limite borner l’énergie maximale des protons, nous allons nous appuyer sur ces observations, à savoir que l’impulsion maximale des électrons qui sont réinjectés dans le plasma varie comme α × a0 où α=1.5, 3 ou 4, fournissant ainsi un ingrédient
important et nouveau du modèle de Passoni.