3.1 Introdu¸ c˜ ao
Um dos problemas que ocorrem mais frequentemente em trabalhos cient´ıficos ´e calcular as ra´ızes de equa¸c˜oes da forma:
f(x) = 0,
onde f(x) pode ser um polinˆomio em x ou uma fun¸c˜ao transcendente. Em raros casos ´e poss´ıvel ob-ter as ra´ızes exatas de f(x) = 0, como ocorre por exemplo, supondo-se f(x) um polinˆomio fator´avel.
Atrav´es de t´ecnicas num´ericas, ´e poss´ıvel obter uma solu¸c˜ao aproximada, em alguns casos, t˜ao pr´oxima da solu¸c˜ao exata, quanto se deseje. A maioria dos procedimentos num´ericos fornecem uma sequˆencia de aproxima¸c˜oes, cada uma das quais mais precisa que a anterior, de tal modo que a repeti¸c˜ao do proce-dimento fornece uma aproxima¸c˜ao a qual difere do valor verdadeiro por alguma tolˆerancia pr´e-fixada.
Estes procedimentos s˜ao portanto muito semelhantes ao conceito de limite da an´alise matem´atica. Va-mos considerar v´arios m´etodos iterativos para a determina¸c˜ao de aproxima¸c˜oes para ra´ızes isoladas def(x) = 0. Ser´a dada uma aten¸c˜ao especial `as equa¸c˜oes polinomiais em virtude da importˆancia que as mesmas gozam em aplica¸c˜oes pr´aticas.
Inicialmente recordemos um importante resultado da ´Algebra.
Teorema 3.1 - Se uma fun¸c˜ao cont´ınuaf(x) assume valores de sinais opostos nos pontos extremos do intervalo [a, b], isto ´e, se f(a)×f(b) < 0, ent˜ao existe pelo menos um ponto x¯ ∈ [a, b], tal que f(¯x) = 0.
Prova: A prova deste teorema pode ser encontrada em [.. , 19..]
Defini¸c˜ao 3.1 - Se f : [a, b]→IR ´e uma fun¸c˜ao dada, um ponto x¯ ∈[a, b] ´e um zero (ou raiz) de f se f(¯x) = 0.
Ilustraremos graficamente esses conceitos nos exemplos a seguir.
Exemplo 3.1 - Sejaf : (0,∞)→IR. Determinar as ra´ızes def(x) = ln x.
Solu¸c˜ao: O gr´afico de ln x´e dado na Figura 3.1.
55
ln x 1
−1
3 2
1 6
-Figura 3.1
Nesse caso vemos que f(0.5)×f(1.5)<0. Portanto existe uma raiz de f(x) no intervalo (0.5,1.5).
Al´em disso a curva intercepta o eixo dosxnum ´unico ponto, pois trata-se de uma fun¸c˜ao crescente. Ent˜ao
¯
x= 1 ´e a ´unica raiz def(x) = 0.
Exemplo 3.2 - Sejaf : (0,∞)→IR. Determinar as ra´ızes def(x) =ex. Solu¸c˜ao: O gr´afico deex´e dado na Figura 3.2.
5
3
1
2 1
ex
-6
Figura 3.2
Nesse caso vemos a curva n˜ao intercepta o eixo dos x, logo n˜ao existe ¯xtal quef(¯x) = 0 . Exemplo 3.3 - Sejaf : [0,2π]→IR. Determinar as ra´ızes de f(x) =cos x.
Solu¸c˜ao: O gr´afico decos x´e dado na Figura 3.3.
cosx
4 2
−1 1 6
-Figura 3.3
Nesse caso vemos que: f(1)×f(2) <0 e f(4)×f(5) <0, ou seja a curva intercepta o eixo dos x em dois pontos. Assim temos uma raiz ¯x no intervalo (1,2) e outra no intervalo (4,5). Sabemos da trigonometria que: ¯x= π
2 '1.5708 e ¯x= 3π
2 '4.7124 s˜ao ra´ızes def(x) = 0.
Defini¸c˜ao 3.2 - Um ponto x¯ ∈ [a, b] ´e uma raiz de multiplicidade m da equa¸c˜ao f(x) = 0 se f(x) = (x−x)¯ m g(x); comg(¯x)6= 0 em[a, b].
Exemplo 3.4 - Sejaf :IR→IR. Determinar as ra´ızes de f(x) =x2+ 2 x+ 1 = (x+ 1)2= 0.
Solu¸c˜ao: O gr´afico def(x) ´e dado na Figura 3.4.
(x+ 1)2 3
1
−3 −1 1
6
-Figura 3.4
Nesse caso vemos que a curva apenas toca o eixo dosx. Assim, ¯x = 1 ´e raiz de multiplicidade 2 de f(x) = 0.
Como vimos nos exemplos anteriores, podemos obter o n´umero exato de ra´ızes e sua localiza¸c˜ao exata ou aproximada tra¸cando o gr´afico da fun¸c˜ao e encontrando o ponto onde a curva intercepta o eixo dosx.
Entretanto algumas vezes ´e mais conveniente rearranjar a equa¸c˜ao dada como y1(x) =y2(x), para duas fun¸c˜oes y1 ey2, cujos gr´aficos s˜ao mais f´aceis de serem tra¸cados do que o da f. As ra´ızes da equa¸c˜ao original s˜ao dadas ent˜ao pelos pontos onde o gr´afico de y1 intercepta o dey2. Ilustraremos este fato no pr´oximo exemplo.
Exemplo 3.5 - Sejaf :IR→IR. Determinar as ra´ızes de f(x) = (x+ 1)2 e(x2−2)−1 = 0.
Solu¸c˜ao: Podemos rearranjar a equa¸c˜ao dada, por exemplo, como:
(x+ 1)2=e(2−x2).
Fazendoy1= (x+ 1)2 , y2=e(2−x2)e colocando as duas curvas no mesmo gr´afico, obtemos a Figura 3.5.
y2
y1
6 4 2
2
¯1
−1 x
¯
−2x
-Figura 3.5
E claro observando-se a Figura 3.5 que as duas curvas se interceptam apenas duas vezes. Portanto´ a equa¸c˜ao dada tem precisamente duas ra´ızes. Uma raiz ¯xno intervalo (−2,−1) e outra no intervalo (0,1).
Este ´ultimo exemplo ilustra bem a raz˜ao da utiliza¸c˜ao de m´etodos n´umericos para determinar a solu¸c˜ao de equa¸c˜oes n˜ao lineares. Ao contr´ario dos exemplos anteriores, onde foi razoavelmente f´acil determinar as ra´ızes da fun¸c˜ao dada, aqui fica dif´ıcil dizer com exatid˜ao qual ´e o valor de ¯xtal que f(¯x) = 0.
Para descrevermos um m´etodo num´erico extremamente simples, e de f´acil compreens˜ao, suponha que f(x) seja uma fun¸c˜ao cont´ınua em [a, b]. Pelo Teorema 3.1, temos que se f(x) em x= ae x=b tem sinais opostos, ent˜aof(x) tem no m´ınimo um zero em [a, b]. Esse resultado fornece um caminho simples, mas efetivo, para encontrar a localiza¸c˜ao aproximada dos zeros daf. Considere novamente a equa¸c˜ao do exemplo 3.5, isto ´e,f(x) = (x+ 1)2 e(x2−2)−1. Valores def(x) parax=−3,−2, . . . ,3 est˜ao contidos na tabela a seguir:
x −3 −2 −1 0 1 2 3
f(x) 4385.5 6.4 −1.0 −0.9 0.5 65.5 17545.1
A fun¸c˜ao portanto possui zeros no intervalo [−2,−1] e [0,1]. (Note que o mesmo resultado foi obtido graficamente). Estamos agora em condi¸c˜oes de descrever um m´etodo num´erico, conhecido comoM´etodo da Bissec¸c˜ao, o qual reduz o comprimento do intervalo que cont´em a raiz, de maneira sistem´atica.
Considere o intervalo [a, b] para o qualf(a)×f(b)<0. No m´etodo da bissec¸c˜ao calculamos o valor da fun¸c˜ao f(x) no ponto m´edio: x1 = a+b
2 . Portanto existem trˆes possiblidades. Primeiramente, fi-car´ıamos felizes, (embora seja quase imposs´ıvel), se o valor da fun¸c˜ao calculado no pontox1 fosse nulo, isto ´e: f(x1) = 0. Nesse casox1 ´e o zero da f e n˜ao precisamos fazer mais nada. Em segundo lugar, se f(a)×f(x1)<0, ent˜aof tem um zero entreaex1. O processo pode ser repetido sobre o novo intervalo [a, x1]. Finalmente, sef(a)×f(x1)>0, segue quef(b)×f(x1)<0, desde que ´e conhecido quef(a) e f(b) tˆem sinais opostos. Portantof tem um zero entrex1eb, e o processo pode ser repetido com [x1, b].
A repeti¸c˜ao do m´etodo ´e chamadoitera¸c˜ao e as aproxima¸c˜oes sucessivas s˜ao ostermos iterados. Assim, o m´etodo da bissec¸c˜ao pode ser descrito como:
Parak= 1,2, . . ., fa¸ca:
xk =a+b 2 . Sef(a)×f(xk)
<0 ent˜ao b=xk ,
>0 ent˜ao a=xk .
Uma interpreta¸c˜ao geom´etrica do m´etodo da bissec¸c˜ao ´e dada na Figura 3.6.
x3
x2
x1 x
¯ x
b a
f(b)
f(a)
f(x) 6
-Figura 3.6
Para ilustrar o m´etodo da bissec¸c˜ao, considere que desejamos calcular a raiz positiva da equa¸c˜ao do Exemplo 3.5, iniciando com o intervalo [0,1]. Para essa equa¸c˜ao temos que f(0) < 0 e f(1) > 0. O ponto m´edio ´ex1= 0.5, comf(x1) =−0.6090086. Desde quef(0)×f(0.5)>0, deduzimos que a raiz da equa¸c˜ao est´a em [0.5,1]. Os primeiros passos do m´etodo da bissec¸c˜ao, para esta equa¸c˜ao, est˜ao mostrados na tabela:
k a b xk f(xk)
1 0 1 0.5 -0.609009
2 0.5 1 0.75 -0.272592
4 0.75 1 0.875 0.023105
4 0.75 0.875 0.8125 -0.139662
5 0.8125 0.875 0.84375 -0.062448
6 0.84375 0.875 0.859375 -0.020775
...
Continuando o processo obteremos: x16 = 0.866868 e x17 = 0.866876. Isso significa que o intervalo incial [0,1] foi reduzido ao intervalo[0.866868,0.866876], e portanto a raiz positiva da equa¸c˜ao dada ´e aproximadamente: ¯x= 0.86687. Note que at´e agora n˜ao falamos como devemos proceder para obter o resultado com uma quantidade de casas decimais corretas. Isso ser´a discutido mais adiante.
Exerc´ıcios
3.1 - Dadas as fun¸c˜oes:
a) x3+ 3x−1 = 0, b) x2−sen x= 0,
pesquisar a existˆencia de ra´ızes reais e isol´a-las em intervalos.
3.2 - Justifique que a fun¸c˜ao:
f(x) = cos π(x+ 1)
8 + 0.148x−0.9062,
possui uma raiz no intervalo(−1,0)e outra no intervalo (0,1).
Existem v´arios m´etodos num´ericos para determina¸c˜ao (aproximada) das ra´ızes da equa¸c˜aof(x) = 0, mais eficientes que o m´etodo da bissec¸c˜ao. Descreveremos a seguir alguns desses m´etodos, discutindo suas vantagens e desvantagens. Antes, por´em, daremos um procedimento que deve ser seguido na aplica¸c˜ao de qualquer m´etodo num´erico para determinar um zero def(x) = 0, com uma precis˜ao pr´e-fixada.