An´ alise da Pertuba¸ c˜ ao
4.9 C´ alculo da Matriz Inversa
. (O c´alculo da matriz inversa se encontra na pr´oxima se¸c˜ao).
Usando norma linha, obtemos:
kAk∞ = 2.1617, kA−1k∞ = 1.5130×108 , e portanto
cond(A) =kAk∞kA−1k∞ = 327065210 '3.3×108 , mostrando que o sistema ´e extremamente mal condicionado.
Se for de interesse estudar m´etodos que sejam particularmente ´uteis no caso da matrizAser mal con-dicionada, citamos aqui om´etodo de Kaczmarz, que pode ser encontrado por exemplo em [ Carnahan, 1969].
Exerc´ıcios
4.21 - Prove que se uma norma de matrizes ´e subordinada a uma norma do IRn elas s˜ao consistentes.
4.22 - SejamA eB matrizes de ordemn. Prove que:
kB−1−A−1k
kB−1k ≤cond(A)kA−Bk kB k . 4.23 - Analisar o sistema linearAx=b, onde:
A =
100 99 99 98
.
4.24 - Analisar o sistema linearAx=b, de ordem 17, onde os elementos de A s˜ao dados por (4.11), isto ´e, A´e a matriz de Hilbert.
4.9 C´ alculo da Matriz Inversa
Sejam A uma matriz n˜ao singular (det(A) 6= 0),A−1 = [b1 ... b2 ... . . . ... bn] a matriz inversa deA, ondebj ´e a colunaj da matrizA−1eej a colunaj da matriz identidade. DeAA−1=I ; isto ´e, de :
A
b1 ...b2 ... . . . ...bn
=
e1 ...e2... . . . ...en
, resulta:
Abj = ej; j= 1,2, . . . , n.
Assim podemos calcular as colunasj, j = 1,2, . . . , n, da matriz A−1, resolvendo os sistemas lineares acima.
Portanto, podemos inverter uma matriz utilizando qualquer um dos m´etodos dados nesse Cap´ıtulo.
Observa¸c˜oes:
1) Usando decomposi¸c˜ao LU obtemos as colunas deA−1, fazendo:
LU bi = ei , i= 1,2, . . . , n , isto ´e, resolvendo os sistemas:
2) Usando o m´etodo de Cholesky (somente para matrizes sim´etricas e positivas definidas), obtemos as colunas deA−1, fazendo:
GGtbi = ei , i= 1,2, . . . , n , isto ´e, resolvendo os sistemas:
3) Usando o m´etodo de Elimina¸c˜ao de Gauss, obtemos as colunas deA−1, resolvendo os sistemas:
Abi = ei , i= 1,2, . . . , n.
Observe que podemos colocar todas as colunas da identidade ao lado da matrizAe fazer a decom-posi¸c˜ao de uma s´o vez.
4) Podemos calcular a inversa de uma matriz, pelo m´etodo de Gauss-Compacto usando o mesmo esquema da resolu¸c˜ao de sistemas matriciais, isto ´e, fazendo:
Portanto, as colunas da matrizX s˜ao as colunas da matriz inversa deA, desde queAA−1=I.
Exemplo 4.12 - Considere a matriz:
A = CalculeA−1 utilizando o M´etodo de Gauss-Compacto.
Solu¸c˜ao: Devemos resolver o sistema matricial:
Resolvendo o sistema:
4.25 - Usando decomposi¸c˜ao LU, inverter a matriz:
A = calcular A−1, utilizando o processo de Cholesky.
4.27 - Seja
4.28 - Usando o m´etodo de Gauss-Compacto, calculeA−1, onde:
A =
4.10 Exerc´ıcios Complementares
4.29 - Quais das matrizes:
A= podem ser decompostas na formaLU ? Decompor as que forem poss´ıveis.
4.30 - Mostre que seA´e uma matriz real, sim´etrica, positiva definida, ent˜ao necessariamente temos:
a) aii>0, i= 1,2, . . . , n . b) a2ik< aii akk,para todo i6=k .
c) o maior elemento de Aem m´odulo est´a sob a diagonal.
4.31 - Considere o sistemaAx=b; onde A= Para que valores deα:
i) A matriz A´e decompon´ıvel no produto LU ? Justifique.
ii) O sistema pode ser resolvido por Cholesky . Justifique.
iii) Considereα= 1, e resolva o sistema pelo m´etodo de Elimina¸c˜ao de Gauss .
4.32 - Resolva o sistema abaixo pelo m´etodo de Cholesky, completando adequadamente os espa¸cos pontilhados.
4.34 - Considere os sistemas:
(I)
Fa¸ca uma escolha adequada para resolver um deles pelo m´etodo de Gauss-Compacto e o outro pelo m´etodo de Cholesky. Justifique sua resposta.
4.35 - Resolva o seguinte sistema, por Elimina¸c˜ao de Gauss, usando aritm´etica complexa.
(2 + 3i)x + (2−i)y = 2 +i (4 + 6i)x + (3−6i)y = −2−5i
4.36 - No exerc´ıcio anterior escrevax=xr+ixi;y=yr+iyi. Multiplique as partes real e imagin´aria de cada equa¸c˜ao separadamente. Mostre que o resultado ´e um sistema de4equa¸c˜oes a4 inc´ognitas, cuja solu¸c˜ao s˜ao as partes real e imagin´aria do exerc´ıcio anterior.
4.37 - Se a decomposi¸c˜aoLU de uma matriz sim´etrica A´e dada por:
verifique que a matriz Gda decomposi¸c˜ao Cholesky ´e dada por:
G =
4.38 - Resolver o sistema matricial:
pelo m´etodo de Gauss-Compacto.
4.39 - Calcularu2,u3,u4,u5 resolvendo a equa¸c˜ao de diferen¸cas:
un+2+ 4un+1+un=n , (∗)
com as condi¸c˜oes de contorno u1 = 0 e u6 = 1, usando um m´etodo a sua escolha.(Escreva (∗) para n= 1,2,3,4).
4.40 - Aplicando-se o m´etodo de Cholesky a uma matriz foi obtido:
A = a) Preencha os espa¸cos pontilhados com valores adequados.
b) Usando a decomposi¸c˜aoGGt, calcule a inversa deA.
a) Determine a inversa da matriz dos coeficientes pelo m´etodo de Elimina¸c˜ao de Gauss.
b) Resolva o sistema dado, utilizando a matriz inversa obtida ema).
c) Determine a solu¸c˜ao do sistema usando o m´etodo de Gauss-Compacto.
4.42 Relacione os sistemas lineares:
(I)
A) Elimina¸c˜ao de Gauss, B) Cholesky,
C) Gauss-Compacto, para a sua resolu¸c˜ao.
4.43 - Considere o seguinte conjunto esparso de equa¸c˜oes:
Mostre que usando o m´etodo de Elimina¸c˜ao de Gauss o sistema triangular resultante permanece esparso. Um sistema como este ´e chamadoTRIDIAGONAL. Tais sistemas aparecem frequentemente na solu¸c˜ao de equa¸c˜oes diferenciais parciais.
4.44 - Considere o sistema:
Trabalhando com arredondamento para dois d´ıgitos significativos em todas as opera¸c˜oes:
a) Resolva o sistema acima pelo m´etodo de Elimina¸c˜ao de Gauss com pivotamento parcial.
b) Fa¸ca uma itera¸c˜ao para refinar a solu¸c˜ao obtida ema)e ent˜ao calcule o vetor res´ıduo. O que vocˆe pode concluir?
4.45 - Dado o sistema Ax = b, considere uma pertuba¸c˜ao da matriz A da forma A+δA e seja b conhecido exatamente. Prove que: se
kA−1k≤ 1
1−δ kB−1k , com B=A+δA, ent˜ao:
kδxk≤ δ
1−δ kx+δxk , δ=kδAkkB−1k<1 . 4.46 - Considere um sistema linear cuja matriz dos coeficientes ´e dada por:
A =
−1 1
−1 1 1
1 1 1
, onde <<1.
a) Calcule o n´umero de condi¸c˜ao deA.
b) Com base no resultado do item a)a aplica¸c˜ao do m´etodo de Elimina¸c˜ao de Gauss daria bom resultado ou seria necess´ario usar Elimina¸c˜ao de Gauss com pivotamento parcial?
c) Considere = 10−4, e resolva o sistema linear Ax = b, onde b = (2, 0, 1)t, pelo m´etodo escolhido no itemb).
4.47 - No Cap´ıtulo 3, vimos que o processo iterativo:
xk+1=xk (2−a xk), a6= 0 , pode ser usado para obter 1
a.
A f´ormula acima vale tamb´em para refinar a inversaA−1 de uma matrizAn˜ao singular, isto ´e: dada uma aproxima¸c˜ao inicial X0 deA−1, podemos refinar esta aproxima¸c˜ao usando:
Xk+1=Xk (2 I−A xk), k= 0,1, . . . (∗∗) Considere a matriz:
3.00 1.00 2.00 2.00
.
Trabalhando com arredondamento para trˆes d´ıgitos significativos em todas as opera¸c˜oes;
a) obtenha uma aproxima¸c˜ao para A−1, usando o m´etodo de Elimina¸c˜ao de Gauss,
b) refine a inversa obtida ema) usando (**), at´e obter o res´ıduo Rk =I−A Xk com norma
<0.1,
c) usando a inversa obtida em b) calcule a solu¸c˜ao aproximada do sistema Ax = b, onde b= (−14.0, 12.0)t.
4.48 - SejaA uma matriz n˜ao singular de ordemn, e sejamuev vetoresn-dimensionais.
a) Mostre que, se(A−uvt)−1 existe, ent˜ao:
(A−uvt)−1=A−1+αA−1uvtA−1 comα= 1 1−vtA−1u .
b) Dˆe condi¸c˜oes para a existˆencia da inversa (A−uvt)−1 .
c) Se A−1 ´e conhecida, e B ´e uma matriz que coincide comA, exceto em uma linha, podemos escolheruev para obterB−1 (se existir), aplicando a f´ormula dada no itema). Sabendo que:
A=
12 −4 7
−4 1 −2
7 −2 4
, A−1=
0 −2 −1
−2 1 4
−1 4 4
, e queB coincide com Aexceto que em vez de 12 temos 5, calcule B−1.
4.11 Problemas Aplicados e Projetos
4.1 - Considere o circuito a seguir com resistˆencias e baterias tal como indicado; escolhemos arbitrari-amente as correntes e os valores da malha:
i3
i2 i1
2Ω 4Ω
2Ω 10V
6Ω 4V
2Ω 2Ω
2Ω
Figura 4.4
Aplicando a Lei de Kirchoff que diz que a soma alg´ebrica da diferen¸cas de potencial em qualquer circuito fechado ´e zero, obtemos para as correntesi1, i2, i3, o seguinte sistema linear:
2 i1 + 4 (i1−i2) + 2 (i1−i3) − 10 = 0 2 i2 − 2 i2 + 2 (i2−i3) + 4 (i2−i1) = 0 6 i3 + 2 (i3−i1) + 2 (i3−i2) − 4 = 0 Deseja-se determinar o valor dei= (i1, i2, i3)tque satisfa¸ca o sistema acima.
a) E poss´ıvel resolver o sistema pelo m´´ etodo da decomposi¸c˜ao LU? Justifique.
b) E poss´ıvel resolver o sistema pelo m´´ etodo de Cholesky? Justifique.
c) Resolva o sistema pelo m´etodo de Elimina¸c˜ao de Gauss.
4.2 - Representemos por x1, x2, x3 e x4 o n´umero de quatro produtos que podem ser produzidos no decorrer de uma semana. Para a produ¸c˜ao de cada unidade precisa-se de trˆes tipos diferentes de mat´eria prima A, B e C conforme indicado na Tabela 4.1.
Tabela 4.1
mat´eria
prima A B C
Produto
(1) 1 2 4
(2) 2 0 1
(3) 4 2 3
(4) 3 1 2
Por exemplo: para produzir uma unidade de (1) precisa-se de 1 unidade de A, 2 de B e 4 de C. Se existem dispon´ıveis 30,20 e 40 unidades respectivamente de A, B e C, quantas unidades de cada produto podemos produzir?
Obs: Escreva x1, x2 e x3 em fun¸c˜ao de x4 e lembre-se que as solu¸c˜oes devem ser inteiras e n˜ao negativas.
4.3 - Um cachorro est´a perdido em um labirinto quadrado de corredores (Figura 4.5). Em cada in-terse¸c˜ao escolhe uma dire¸c˜ao ao acaso e segue at´e a interse¸c˜ao seguinte onde escolhe novamente ao acaso nova dire¸c˜ao e assim por diante. Qual a probabilidade do cachorro, estando na interse¸c˜ao i, sair eventualmente pelo lado sul?
9 8 7
6 5 4
3 2 1
Figura 4.5
Esclarecimentos: Suponhamos que h´a exatamente as 9 interse¸c˜oes mostradas na figura. Seja P1
a probabilidade do cachorro, que est´a na interse¸c˜ao 1, sair pelo lado sul. Seja P2, P3, . . . , P9 definidas de modo similar. Supondo que em cada interse¸c˜ao a que chegue o cachorro, h´a tanta possibilidade que escolha uma dire¸c˜ao como outra, e que, tendo chegado a uma sa´ıda, tenha terminado sua caminhada, a teoria das probabilidades oferece as seguintes equa¸c˜oes paraPi:
P1 = (0 + 0 +P2+P4)/4 P2 = (0 +P1+P3+P5)/4 P3 = (0 +P2+ 0 +P6)/4 P4 = (P1+ 0 +P5+P7)/4 P5 = (P2+P4+P6+P8)/4 P6 = (P3+P5+ 0 +P9)/4 P7 = (P4+ 0 +P8+ 1)/4 P8 = (P5+P7+P9+ 1)/4 P9 = (P6+P8+ 0 + 1)/4 Para saber a resposta resolva o sistema linear obtido.
4.4 - O problema de se determinar um polinˆomio:
Pn(x) =a0+a1x+a2x2+· · ·+anxn ,
de grau no m´aximo n, tal que : Z b
a
xiPn(x)dx=ki, i= 0,1, . . . , n ,
ondekis˜ao constantes, pode ser resolvido atrav´es da obten¸c˜ao da solu¸c˜ao de um sistema linear. Determine um polinˆomio de grau 3, que satisfa¸ca a condi¸c˜ao acima, considerandoa=−1,b= 1e:
a) k0= 23, k1= 43, k2= 65, k3= 45 , b) k0= 2, k1= 2, k2= 23, k3= 5835 ,
resolvendo o sistema linear resultante por m´etodo num´erico `a sua escolha.
4.5 - Cargas horizontal e vertical X eY e um momento M s˜ao aplicados `a uma estrutura em balan¸co de comprimento L, como mostrado na Figura 4.6.
φ
Na extremidade livre, o alongamento δx, a deflex˜aoδy e o giroφ(igual ao ˆangulo com a horizontal) s˜ao relacionados com as cargas, da seguinte maneira:
A matriz do sistema acima ´e positiva definida e ´e chamada matriz de flexibilidade da estrutura.
a) Obter a inversa da matriz de flexibilidade correspondente aos seguintes dados:
• E = 200 cmt2
• A = 400cm2
• L = 3.0m
• I = 50000cm4
b) Usando o resultado obtido em a)calcular as cargas X eY e o momentoM correspondentes a:
• δx = 0.0035cm
• δy = 3.0cm
• φ = 0.018
4.6 - Considere o circuito em escada, mostrado na Figura 4.7, composto de resistores concentrados e fontes de tens˜ao ideais, uma independente e outra controlada.
-+
2Ix
5 Ix 10 I2
10 I1
4 3
3
-+
100V
Figura 4.7
O sistema de equa¸c˜oes que se obt´em ao solucionar o circuito pelo m´etodo dos la¸cos ´e o seguinte:
4 (I1+I2+ Ix) + 10 I1= 100
4 (I1+I2+Ix) + 3 (I2+Ix) + 10 Ix= 100−2 Ix 4 (I1+I2+Ix) + 3 (I2+Ix) + 9Ix= 100−2 Ix a) Escreva o sistema acima na formaAx=b.
b) Determine A−1.
c) Usando o resultado obtido em b)determine o valor de Ix. 4.7 - Suponha que tenhamos o circuito dado na Figura 4.8.
A
B 4 3
2 1
5Ω 2Ω
2Ω 1Ω
1Ω 2Ω
0V
100V a a
a a
Figura 4.8
A corrente que flui do n´oppara o n´oqde uma rede el´etrica ´e dada por:
Ipq=Vp−Vq
Rpq
onde I em Amp´eres, R em Ohms e Vp e Vq s˜ao voltagens nos n´os p e q, respectivamente, e Rpq ´e a resistˆencia no arco pq (Lei de Ohm).
A soma das correntes que chegam a cada n´o ´e nula (Lei de Kirchoff ); assim, as equa¸c˜oes que relaci-onam as voltagens podem ser obtidas. Por exemplo: no n´o 1, tem-se a equa¸c˜ao :
IA1+I21+I41= 0, ou seja,
100−V1
2 +V2−V1
1 +V4−V1
2 = 0
ou ainda
−4V1+ 2V2+V4=−100.
Obtenha as demais equa¸c˜oes do sistema linear e resolva-o.
4.8 - Uma transportadora possui 5 tipos de caminh˜oes que representaremos por (1), (2), (3), (4), (5), os quais s˜ao equipados para transportar 5 tipos diferentes de m´aquinas A, B, C, D, E segundo a Tabela 4.2, onde supomos que A, B, C, D, E ´e a quantidade de m´aquinas que cada caminh˜ao pode transportar levando carga plena.
Tabela 4.2
M´aquinas A B C D E
Caminh˜oes
(1) 1 1 1 0 2
(2) 0 1 2 1 1
(3) 2 1 1 2 0
(4) 3 2 1 2 1
(5) 2 1 2 3 1
Assim, o caminh˜ao (1) pode transportar 1 m´aquina A, 1 m´aquina B, 1 m´aquina C, nenhuma m´aquina D, 2 m´aquina E, etc. Quantos caminh˜oes de cada tipo devemos enviar para transportar exatamente:
• 27 m´aquinas do tipo A
• 23 m´aquinas do tipo B
• 31 m´aquinas do tipo C
• 31 m´aquinas do tipo D
• 22 m´aquinas do tipo E
Supondo que cada caminh˜ao vai com carga plena, resolva o sistema linear obtido.
Sugest˜ao: Represente por x1, x2, x3, x4 e x5 o n´umero de caminh˜oes respectivamente dos tipos (1), (2), (3), (4) e (5).
4.9 - Elabore um algoritmo que tendo como dadosn, a matrizA(n×n)ondeA= (aij)´e tal queaij= 0 para |i−j|>1, e b ´e um vetor (n×1), determina a solu¸c˜ao do sistema linear Ax=b pelo m´etodo de Elimina¸c˜ao de Gauss adaptado para sistemas tridiagonais.
a) Teste seu algoritmo para resolver o sistema dado por:
−yk−1+ 2yk−yk+1= 8
(n+ 1)2, k= 1,2, ..., n, para v´arios valores den, e compare sua solu¸c˜ao com a solu¸c˜ao matem´atica:
yk = 4
b) Teste seu algoritmo para resolver o sistemaAx=b, onde:
A= produzidos no decorrer de uma semana. Para produ¸c˜ao de cada unidade precisa-se dem tipos diferentes de mat´eria prima M1, M2, . . . , Mm. Tais rela¸c˜oes s˜ao dadas atrav´es de uma matriz A onde aij indica quantas unidades da mat´eria primaMj s˜ao necess´arias para produzir uma unidade do produtoxi.
Suponha que existamD1, D2, . . . , Dm unidades respectivamente de mat´erias primasM1, M2, . . . , Mm. Nosso problema ´e determinar quantas unidades de cada produto podemos produzir.
Lembre-se que tais quantidades devem ser inteiras e n˜ao negativas.
Considere os dados da Tabela 4.3.
Tabela 4.1