Auto-Valores e Auto-Vetores

-R

R 6 6

-Figura 1.4

Comoy, v0∈E⁰tamb´emv0−y∈E⁰e ´e portanto ortogonal av−v0. Assim, obtemos, sucessivamente:

(v−y, v−y) = (v−y+v0−v0, v−y+v0−v0)

= (v−v0, v−v0) + 2 (v−v0, v0−y) + (v0−y, v0−y). Portanto:

kv−yk² =kv−v0k² + kv0−yk² . (1.21) Como, por hip´otese,y 6=v0, conclu´ımos que kv0−y k > 0. Da´ı, e da igualdade (1.21), obtemos, finalmente:

kv−yk >kv−v0k .

Assim, a desigualdade (1.20) mostra que a proje¸c˜ao ortogonal v₀ de v sobre E⁰ ´e tal que a menor distˆancia dev sobreE⁰ ´e a distˆancia deva v₀.

Exerc´ıcios

1.23 - Sejax= (1, 7, 10)^t um vetor do IR³ em rela¸c˜ao `a base canˆonica. Considere o sub-espa¸coE⁰ doIR³, gerado pelos vetoresf1= (1, 1, 0)^tef2= (0, 1, 1)^t. Determine a proje¸c˜ao ortogonal dexsobre E⁰.

1.24 - SejaE=C[0,1], com(f, g) =R1

0 f(x)g(x)dx. SejaK2(x)o sub-espa¸co dos polinˆomios de grau

≤2. O conjunto{Q0(x) = 3, Q1(x) =x−3, Q2(x) =x²−x}constitui uma base deK2(x). Determinar a proje¸c˜ao ortogonal def(x) = 1

x⁴ sobrek2(x).

1.5 Auto-Valores e Auto-Vetores

Nessa se¸c˜ao, investigaremos a teoria de um operador linearT numK-espa¸co vetorialV de dimens˜ao finita. Tamb´em associaremos um polinˆomio ao operadorT: seu polinˆomio caracter´ıstico. Esse polinˆomio e suas ra´ızes desempenham papel proeminente na investiga¸c˜ao de T. Apresentaremos tamb´em alguns conceitos que ser˜ao de grande utilidade na obten¸c˜ao de m´etodos para determina¸c˜ao num´erica de auto-valores e auto-vetores de matrizes.

Defini¸c˜ao 1.15 - Umatransforma¸c˜ao linearT de umK-espa¸co vetorialV em um K-espa¸co vetorial U, T :V →U, ´e uma correspondˆencia que associa a cada vetorx deV um vetorT(x)em U de modo que:

T(αx+βy) = αT(x) +βT(y),∀x, y∈V,∀α, β∈K.

Em particular, seU =V, ent˜ao dizemos queT ´e um operador linearnumK-espa¸co vetorial V. Defini¸c˜ao 1.16 - Um escalarλ∈K ´e umauto-valordeT se existe um vetorn˜ao nulov∈V tal que:

T(v) =λ v .

Todo vetorv satisfazendo essa rela¸c˜ao ´e um auto-vetordeT correspondente ao auto-valorλ.

Observa¸c˜oes:

1. Se λ´e um auto-valor de T, ent˜ao o operador linear pode apenas variar o m´odulo e o sentido do vetor, nunca sua dire¸c˜ao.

2. Os termos valor caracter´ıstico e vetor caracter´ıstico (ou valor pr´oprio e vetor pr´oprio) s˜ao frequen-temente usados ao inv´es de auto-valor e auto-vetor.

Daremos a seguir alguns exemplos.

Exemplo 1.18 - Seja I:V →V o operador identidade ondeV = IRⁿ. Determinar seus auto-valores e auto-vetores.

Solu¸c˜ao: Para cadav∈V, temos que:

I(v) = v = 1·v .

Portanto,1´e auto-valor deIe todo vetor n˜ao nulo emV ´e um auto-vetor correspondente ao auto-valor 1.

Exemplo 1.19 - Seja D : V →V o operador diferencial onde V ´e o espa¸co vetorial das fun¸c˜oes dife-renci´aveis. Determinar um auto-valor deD e seu correspondente auto-vetor.

Solu¸c˜ao: Temos quee^kt∈V, e, sabemos que:

D e^kt

=k e^kt .

Logo,k´e um auto-valor deD ee^kt ´e auto-vetor deD correspondente ao auto-valork.

Exemplo 1.20 - Seja T : IR² → IR² o operador linear que gira cada vetor v ∈ IR² de um ˆangulo ψ.

Determinar os auto-valores e correspondentes auto-vetores nos seguintes casos:

a)ψ = 2nπ , b)ψ = (2n+ 1)π , c)ψ =

2n+ 1 2

π .

Solu¸c˜ao: Temos que o operador linear que gira cada vetor de um ˆangulo ψ ´e dado por uma matriz chamadamatriz de rota¸c˜ao. No caso em queV = IR² essa matriz ´e dada por:

T =

cos ψ sen ψ

−sen ψ cosψ

.

Sejav ∈ IR², ent˜aov = (v₁, v₂)^t. Podemos considerar nos trˆes casos n= 1, visto que para valores maiores denteremos apenas um n´umero maior de rota¸c˜oes. Assim, para:

a) ψ = 2π, temos:

cos2π sen2π

−sen2π cos2π

v₁ v₂

= v₁

v₂

= 1 v₁

v₂

,

b) ψ = 3π, temos: Logo, os auto-valores deT s˜ao:

1se ψ = 2nπ , −1se ψ = (2n+ 1)π ,

e em ambos os casos todo vetor n˜ao nulo do IR² ´e auto-vetor de T. Se ψ = ( 2n+ 1

2 )π, T n˜ao tem auto-valores e portantoT n˜ao tem auto-vetores. Observe que neste caso o operador linear est´a variando a dire¸c˜ao do vetor.

SeA´e uma matriz quadradan×nsobreK, ent˜ao um auto-valor deAsignifica um auto-valor deA encarado como operador em Kⁿ. Isto ´e,λ∈K ´e um auto-valor deAse, para algum vetor (coluna) n˜ao Determinar os auto-valores e auto-vetores deA.

Solu¸c˜ao: Procuramos um escalarλe um vetor n˜ao nulov = (v1, v2)^ttais queAv = λv. Assim: A equa¸c˜ao matricial acima ´e equivalente ao sistema homogˆeneo:

3v₁ + 4v₂ = λv₁ 2v₁ + v₂ = λv₂ ou

(3−λ)v₁ + 4v₂ = 0

2v₁ + (1−λ)v₂ = 0 (1.22) Para que o sistema homogˆeneo tenha solu¸c˜ao n˜ao nula, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser igual a zero. Logo:

ao auto-valorλ= 5. Qualquer outro auto-vetor correspondente aλ= 5 ´e um m´ultiplo dev.

Fazendoλ=−1 em (1.22), obtemos:

4v1 + 4v2 = 0 2v₁ + 2v₂ = 0

ou simplesmente, v1+v2= 0⇒v1=−v2. Assim v= (v1, v2)^t= (1, −1)^t´e um auto-vetor correspon-dente ao auto-valorλ=−1 e novamente, qualquer outro auto-vetor correspondente aλ−1 ´e um m´ultiplo dev.

Defini¸c˜ao 1.17 - Dada uma matriz quadradaA, n×n, a matriz:

A−λI =









a11−λ a12 . . . a1n

a21 a22−λ . . . a2n

. . . . a_n1 a_n2 . . . a_nn−λ







 ,

ondeI ´e a matriz identidade de ordemneλ´e um parˆametro, ´e chamada matriz caracter´ısticadeA.

Seu determinante , |A−λI|, ´e um polinˆomio de graunemλchamadopolinˆomio caracter´ısticodeA.

Exemplo 1.22 - Seja A =

1 2 3 4

. Determinar seu polinˆomio caracter´ıstico.

Solu¸c˜ao: Para calcular o polinˆomio caracter´ıstico deA, basta calcular o determinante deA−λI. Assim:

|A−λI| =

1−λ 2 3 4−λ

= λ²−5λ−2.

| {z }

polinˆomio caracter´istico.

Exerc´ıcios

1.25 - Prove que os auto-valores deA s˜ao os zeros do polinˆomio caracter´ıstico.

1.26 - Prove que: seλ1, λ2, . . . , λn s˜ao auto-valores deA ent˜aoλ^k₁, λ^k₂, . . . , λ^k_n s˜ao auto-valores de A^k.

Como j´a dissemos anteriomente estudaremos, (no Cap´ıtulo 7), m´etodos num´ericos para determina¸c˜ao de auto-valores e auto-vetores de matrizes. Tais m´etodos para serem obtidos dependem de alguns con-ceitos os quais passamos a discutir agora.

Polinˆomio de Matrizes Defini¸c˜ao 1.18 Seja:

P(t) = a₀ tⁿ+a₁ tⁿ⁻¹+. . .+a_n−1 t+a_n , um polinˆomio de grau nonde osai, i= 1,2, . . . , ns˜ao reais.

SeA´e uma matriz quadrada real, ent˜ao definimos:

P(A) = a0 Aⁿ+a1 Aⁿ⁻¹+. . .+a_n−1 A+an I ,

como sendo opolinˆomio da matriz A. Na express˜ao acimaI ´e a matriz identidade.

Em particular, seP(A) =θ, (matriz nula), dizemos queA´e um zero deP(t).

Exemplo 1.23 - Seja A =

Solu¸c˜ao: Temos que:

P(A) = 2

Teorema 1.8 - (Teorema de Cayley-Hamilton) - Toda matriz ´e um zero do seu polinˆomio caracter´ıstico.

Prova: A prova desse teorema pode ser encontrada em [Barnett, 1990 ].

Transforma¸c˜oes de Similaridades (ou Semelhan¸ca)

Existem m´etodos num´ericos que determinam todos os auto-valores de uma matriz sem determinar a express˜ao do polinˆomio caracter´ıstico. Tais m´etodos s˜ao obtidos usando-se transforma¸c˜oes de similari-dade.

Defini¸c˜ao 1.19 - Uma matrizB ´esimilar(ou semelhante) a uma matrizA se∃ uma matriz C n˜ao singular tal que:

B =C⁻¹AC ,

e dizemos queB foi obtida deA por transforma¸c˜ao de semelhan¸ca.

Teorema 1.9 - Sejam Ae B matrizes similares. Ent˜ao:

i) A eB possuem os mesmos auto-valores.

ii) Se v´e auto-vetor deA associado aλ, ent˜ao C⁻¹v´e auto-vetor de B=C⁻¹AC associado aλ.

Prova: SejaB=C⁻¹AC, e suponha que λ´e auto-valor deAev seu correspondente auto-vetor. Temos ent˜ao, quedet(A−λI) ´e o polinˆomio caracter´ıstico deA.

PortantoAeB possuem o mesmo polinˆomio caracter´ıstico. Logoλ´e auto-valor deB.

ii)AgoraAv=λv e desde queB=C⁻¹AC ⇒A=CBC⁻¹. PortantoCBC⁻¹v=λv. Assim:

BC⁻¹v=C⁻¹λv=λC⁻¹v .

PortantoB(C⁻¹v) =λ(C⁻¹v). Logo C⁻¹v´e auto-vetor deB associado ao auto-valorλ.

Lema 1.1 - Seja A uma matriz de ordem n com auto-valores λi e correspondentes auto-vetores vi, os quais vamos supor sejam linearmente independentes, e seja

D = equa¸c˜ao pode ser rearranjada como: V⁻¹AV desde queV seja invers´ıvel, e este ´e o caso pois as colunas deV s˜ao linearmente independentes.

Matriz de Rota¸c˜ao e Matriz Ortogonal

Alguns m´etodos num´ericos s˜ao obtidos usando-se matrizes que possuem caracter´ısticas especiais. As-sim, passamos a descrever tais matrizes.

NoIR²as matrizes:

cos ϕ sen ϕ

rotacionam cada vetor do IR², no sentido hor´ario e anti-hor´ario, respectivamente, de um ˆangulo ϕ, e porisso s˜ao chamadas deMatrizes de Rota¸c˜ao.

NoIR³a matriz:

´

e uma matriz de rota¸c˜ao de um ˆanguloϕno plano dos eixospeq.

UmaMatriz OrtogonalU ´e caracterizada por:

U^tU =U U^t=I , ondeI: matriz identidade. PortantoU^t=U⁻¹.

Observe que matrizes de rota¸c˜ao s˜ao matrizes ortogonais.

Propriedades de Matrizes Ortogonais 1) As linhas deU satisfazem:

n

X

j=1

(uij)²= 1 (produto de uma linha por ela mesma),

n

X

j=1 i6=k

u_ij u_kj= 0 (produto de duas linhas distintas).

2) ||U x|| = ||x||, ∀x∈IRⁿ.

3) A transforma¸c˜ao ortogonal n˜ao muda os ˆangulos entre dois vetores. Portanto uma transforma¸c˜ao ortogonal ou ´e uma rota¸c˜ao ou ´e uma reflex˜ao.

4) Os auto-valores s˜ao: 1 ou -1.

5) O determinante ´e 1 ou -1.

Para finalizar essa se¸c˜ao daremos um teorema que nos permite ter uma id´eia da localiza¸c˜ao dos auto-valores de uma matriz, seja ela sim´etrica ou n˜ao. Os auto-valores de matrizes n˜ao sim´etricas podem, ´e l´ogico, serem complexos, e nestes casos o teorema fornece a localiza¸c˜ao destes n´umeros no plano complexo.

Existem situa¸c˜oes onde n˜ao ´e necess´ario obter os auto-valores com muita precis˜ao, isto ´e, existem ocasi˜oes onde o que desejamos ´e saber se os auto-valores s˜ao positivos ou ent˜ao se est˜ao contidos no c´ırculo unit´ario. O Teorema a seguir pode ser usado para responder a estas perguntas sem a necessidade de c´alculos detalhados.

Teorema 1.10 - Teoremas de Gerschgorin

a) Primeiro Teorema de Gerschgorin - Os auto-valores de uma matrizA= (aij)est˜ao na reuni˜ao dos c´ırculos de centroaii e raio

ri =

n

X

j=1

j6=i

|aij|, i= 1,2, . . . , n ,

no plano complexo.

b) Segundo Teorema de Gerschgorin - Se a uni˜ao deq desses c´ırculos formam uma regi˜ao conectada, isolada dos c´ırculos restantes, ent˜ao existe qauto-valores nessa regi˜ao.

Prova: A prova deste teorema pode ser encontrada em [Wilkison, 1965].

Exemplo 1.24 - Localizar, usando o teorema de Gerschgorin, os auto-valores de:

A =





4 −1 1

1 1 1

−2 0 −6



 , B =





3 1 0

1 2 −1

0 −1 0



 . Solu¸c˜ao: Os c´ırculos de Gerschgorin associados com a matrizAs˜ao dados por:

C´ırculo Centro Raio

C1 a11 = 4 r1 = | −1|+|1| = 2

C2 a22 = 1 r2 = |1|+|1| = 2

C3 a33 = −6 r3 = | −2|+|0| = 2 Assim para a matrizA, obtemos os c´ırculos ilustrados na Figura 1.5:

C3 C2 C1

2

@

@ I@² 2

4 6

imagin´eixoario

−6 1 eixo

real

-Figura 1.5

O primeiro teorema de Gerschgorin indica que os auto-valores de A est˜ao inseridos nas regi˜oes ha-churadas da Figura 1.5. Al´em disso, desde que C1SC2 n˜ao intercepta C3, pelo segundo teorema de Gerschgorin, dois desses auto-valores est˜ao emC1S

C2e os restantes dos auto-valores em C3.

Para a matrizB, temos que os c´ırculos de Gerschgorin associados com essa matriz, s˜ao dados por:

C´ırculo Centro Raio

C1 b11 = 3 r1 = |1|+|0| = 1

C2 b22 = 2 r2 = |1|+| −1| = 2

C3 b33 = 0 r3 = |0|+| −1| = 1

os quais est˜ao ilustrados na Figura 1.6.

0 C3

C2

C1

2 1 1

@@ I

@

@ I@

@@ I

6

2 3

Figura 1.6

-Podemos afirmar neste caso, usando os teoremas de Gerschgorin, que os auto-valores da matrizB est˜ao no intervalo [−1,4], pois a matriz ´e real e sim´etrica.

Exerc´ıcios

1.27 - Dada as seguintes matrizes:

A =

1 2 3 4

, B =





1 2 −1

−1 0 1

2 1 −1



 , calcule o polinˆomio caracter´ıstico, seus auto-valores e auto-vetores.

1.28 - SejaA =

1 2 3 2

. Calcule os auto-valores deA, A², A³. 1.29 - Seja A =

1 2 2 −1

. Calcular P(A) e Q(A), sabendo que: P(t) = 2t²−3t+ 7 e Q(t) =t²−5.

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