D´efinition de la bordure du syst`eme

Nous avons vu dans le paragraphe pr´ec´edent que le syst`eme de coordonn´eesVincosrepose

sur l’utilisation de la bordure du syst`eme. Nous allons ici d´efinir formellement ce qu’est une bor- dure et passer en revue quelques m´ethodes de d´etection de celle-ci.

La notion de bordure

Le mod`ele du syst`eme est d´efini dans la section 5.1.4. Nous le mod´elisons ici par un graphe

UDG [CCJ90]G = (V, E _{⊂ (V × V )), o`u un sommet v}irepr´esente le noeudi, et un arc eij existe

si, et seulement si, les noeudsi et j sont voisins.

Un chemin est une suite de sommets telle que chaque sommet est voisin du sommet suivant, et un circuit est un chemin dont le premier et le dernier noeud sont identiques. Un circuit simple est

un chemin dans lequel (hormis le noeud source) chaque noeud apparaˆıt au maximum une fois.

Un tel circuitc =_{{s, c}1, . . . , s} partitionne V en 3 parties :

– Les sommets appartenant au circuit, – Les sommets d’un cˆot´e du circuit, – Les sommets d’un autre cˆot´e du circuit.

Dans le mod`ele UDG, on suppose les noeuds positionn´es sur un plan `a deux dimensions. Soit

p(vi) ={xi, yi} les coordonn´ees du noeud i. Le circuit simple c d´efini alors un polygone p(c) =

{p(s), p(c1), . . . , p(s)}. Soit S(c) l’aire du polygone d´efinit par le circuit c. Nous d´efinissons

la meilleure bordure b comme le circuit dont le polygone associ´e a la plus grande aire. Soit C

l’ensemble des circuits simples possibles dansG. Le circuit b∈ C est une bordure ssi

S(b) = max

c∈C(S(c))

Il est int´eressant d’observer qu’aucune garantie n’existe sur le nombre de noeuds situ´es `a l’ext´erieur de l’aire du polygone d´efini par le chemin. En effet, puisque nous ne consid´erons que

les circuits simples, nous calculons ici la bordure du sous-graphe 1-connexe de G. Si l’on prend

l’exemple de noeuds dispos´es en croix (i.e. suivant l’axe des abscisses et l’axe des ordonn´ees d’un rep`ere orthonorm´e), il est possible d’avoir un graphe de taille arbitrairement grande avec une bordure nulle !

Propri´et´es du d´etecteur de bordure

Comme indiqu´e pr´ec´edemment, la d´etection d’une bordure dans les r´eseaux de capteurs est une tˆache difficile si les noeuds ne connaissent pas leur position. Nous allons ici d´ecrire les propri´et´es que nous attendons d’un d´etecteur de bordure.

Nous d´efinissons un noeud de bordure fort comme un noeud appartenant au circuit d´efinissant la bordure. Nous d´efinissons un noeud de bordure faible comme un noeud ´etant soit noeud de bordure fort, soit voisin d’un noeud de bordure fort.

Un d´etecteur de bordure est d´efini ici comme une boite noire, `a la mani`ere d’un oracle. Celui-ci

procure `a chaque noeudi un bool´een on borderisatisfaisant les propri´et´es suivantes :

pr´ecision Sion borderiestvrai, alors i est un noeud de bordure faible.

Compl´etude Chaque noeud de bordure fort a au moins un voisinj tel que on borderj = vrai.

Connexit´e L’intuition se cachant derri`ere cette propri´et´e est simple : il faut que l’ensemble des noeud de bordure forme une ceinture connexe du r´eseau. La traduction en terme de propri´et´es l’est moins : la propri´et´e de compl´etude ci-dessus ne permet pas d’assurer la connexit´e. De mˆeme, traduire cette propri´et´e en termes de connexit´e du sous-graphe

form´e par les noeud d´etect´es en bordure ne marche pas : supposer le graphe1-connexe, ou

2-connexe n’´evite pas le cas du « U » : les noeuds d´etect´es sont tous connect´es par le sud,

mais il manque un pont par le nord. Il faut pouvoir exprimer le retrait non pas en termes de connexit´e, mais en termes de zones g´eographiques.

Une solution est la suivante. Elle a l’inconv´enient de r´eduire fortement le nombre de bor-

dures possibles. Soit Gb = (Vb, Eb ⊂ (Vb × Vb)) avec Vb = {i ∈ V t.q. on borderi =

vrai}. Alors pour tout sous-graphe connexe G′_deG

b,Gb− G′reste connexe.

D´etection de bordure dans des ensembles convexes

A ce jour, nous ne connaissons pas de solution calculant une telle bordure de mani`ere sˆure en exploitant simplement les informations de connexit´e. Plusieurs pistes existent, la principale

difficult´e r´esidant dans la vari´et´e des formes que le r´eseau peut prendre : un r´eseau en forme de U, c’est-`a-dire fortement concave, poss`ede une bordure tr`es difficile `a d´etecter.

Les r´eseaux convexes, quant `a eux, poss`edent une propri´et´e plutˆot int´eressante : ils contiennent toujours leur barycentre. Ceci va permettre d’utiliser des crit`eres de distance pour d´etecter les

noeuds de bordure. L’id´ee est d’abord pr´esent´ee dans [RRP+03], o`u les auteurs affirment d´etecter

des noeuds de bordure `a l’aide d’un noeud initiateur. Ce noeud initiateur inonde le r´eseau afin que tous les noeuds du r´eseau apprennent leur distance `a celui-ci. Dans leur solution, un noeud d´ecide qu’il est en bordure s’il est le noeud le plus loin de l’initiateur parmi ses voisins `a deux sauts. Malheureusement, la r´eussite de cette solution d´epend ´enorm´ement du placement de l’initiateur : s’il est choisi au hasard dans le r´eseau et que sa position n’est pas au centre de celui-ci, une partie de la bordure ne sera pas d´etect´ee. Il est bien sˆur dans ce cas possible de faire l’hypoth`ese d’un initiateur positionn´e sp´ecialement au milieu du r´eseau, mais cela complique le d´eploiement.

Dans [KMR+07], nous pr´esentons une approche plus robuste fond´ee sur le mˆeme prin-

cipe, bien que plus coˆuteuse. L’id´ee est d’utiliser plusieurs initiateurs (moins de 10). Comme

pr´ec´edemment, ces initiateurs inondent le r´eseau, et chaque noeud apprend sa distance `a chaque initiateur. Chaque noeud calcule ensuite sa distance moyenne `a l’initiateur, et c’est cette distance qui est exploit´ee pour la d´etection de bordure (les noeuds de bordure sont localement les noeuds ayant les distances moyennes les plus grandes). Utiliser plusieurs initiateurs choisis al´eatoirement pour calculer une distance moyenne revient `a calculer la distance au barycentre des initiateurs. Si l’espace est convexe, alors ce barycentre est toujours situ´e dans le r´eseau, ce qui permet le bon fonctionnement de la m´ethode.

Enfin, citons le cas de [ZZF09] et de [BKT09] qui proposent des m´ethodes de d´etection des

« trous » du r´eseau, c’est-`a-dire des zones situ´ees `a l’int´erieur du syst`emes ou aucun capteur n’est

pr´esent. Malheureusement, dans [ZZF09] la d´etection suppose la possibilit´e de mesurer l’angle entre deux capteurs voisins, et dans [BKT09] la d´etection utilise les positions g´eographiques r´eelles des capteurs. Enfin, d´etecter les trous et d´etecter la bordure sont deux probl`emes proches mais diff´erents, et les solutions pr´esent´ees ne sont pas applicables en l’´etat.

5.1.4 Mod`ele

Nous nous concentrons sur les sc´enarios o`u la r´egion surveill´ee ne permet pas d’intervention humaine. Pour des raisons de simplicit´e, l’analyse des coˆuts sera effectu´ee soit sur une distribution de noeuds uniforme dans une zone de forme rectangulaire, soit en supposant les noeuds r´epartis r´eguli`erement sur une grille. Le principe demeure le mˆeme sur d’autres distributions. Dans le cas

d’une grille den noeuds, chaque rang´ee et colonne contient√n noeuds.

Noeuds Le syst`eme est compos´e d’un ensemble fini deN capteurs r´epartis de fac¸on uniforme sur

une zone g´eographique2. Chaque noeud poss`ede un identifiant uniquei.

Communication Chaque noeud peut communiquer avec tout autre noeud situ´e `a port´ee radio, qui

est mod´elis´ee par un disque de diam`etreR. On suppose le r´eseau non partitionn´e et les communi-

cations bidirectionnelles.

Connaissance initiale Initialement, un noeud connaˆıt seulement son identit´e, le fait qu’il soit le

seul `a poss´eder cette identit´e dans le r´eseau et un param`etre,d, d´efinissant la dimension de l’espace

de coordonn´ees. De plus, chaque noeud poss`ede un d´etecteur de bordure poss´edant les propri´et´es pr´esent´ees ci-dessus.

2_{Une fois de plus, pour des raisons de simplicit´e, la distribution est suppos´ee uniforme. Bien qu’il soit trop tˆot pour}

affirmer que notre algorithme converge ind´ependamment de la distribution, les simulations que nous avons effectu´ees sur des distributions plus exotiques vont dans ce sens.