Centralit´e du second ordre

Nous allons ici d´ecrire l’algorithme r´eparti permettant d’obtenir la centralit´e du second ordre. Intuition

Afin de comprendre le principe de notre algorithme, nous allons ici illustrer le principe de l’algorithme dans un contexte particulier et extrˆeme, `a savoir un graphe de type barbell. La figure 3.12 repr´esente un tel graphe. Un graphe barbell est constitu´e de deux composantes compl`etement

connect´es dem1noeuds, connect´es par un chemin dem2noeuds. Dans la figure 3.12, on am1 = 5

etm2= 2.

Consid´erons une marche al´eatoire sur le graphe. Int´eressons nous au noeud vL de la figure

3.12 : lorsque la marche est dans la partie gauche du graphe, il a comme les autres noeuds une

probabilit´e 1/m1 d’ˆetre la destination de la marche `a chaque ´etape. Lorsque la marche al´eatoire

passe dans la partie de droite maintenant,vLest le point de passage obligatoire, `a l’aller comme au

retour. Ainsi, les pontsvLetvRsont visit´es plus r´eguli`erement par la marche. Cela se traduit par

noeud) moindre. Nous avanc¸ons que les diff´erences de rˆoles de ces noeuds se traduisent dans les ´ecarts types des temps de passage.

De plus, il est facilement d´emontrable (voir p.ex. [AF]) qu’une marche al´eatoire partant d’un

noeud quelconque dans la partie gauche met en moyennem2

1m2 ´etapes `a arriver `a une autre noeud

donn´e quelconque de la partie droite (et inversement) : la marche met du temps pour passer d’un cˆot´e `a l’autre. Ainsi, lorsque la marche est dans une des parties, les noeuds de cette partie la voient passer r´eguli`erement, et plus du tout lorsque cette marche change de cˆot´e. L’´ecart type des

temps de passage sera fort, beaucoup plus fort que dans un graphe identique de2m1 noeuds bien

connect´es. Ainsi, par l’observation (locale) de l’´ecart type des temps de passage de la marche, chaque noeud peut d´etecter la pr´esence de chemins critiques et de pi`eges dans la topologie. Ceci clos l’illustration dans le cas du graphe barbell.

vL vR

vr

vl

FIG. 3.12 – Exemple d’un graphe Barbell

L’algorithme

Avant de pr´esenter l’algorithme, nous allons insister sur deux points cl´es de la conception de cet algorithme : le d´ebiaisement de la marche et le calcul de l’´ecart type.

Marche al´eatoire d´ebiais´ee Dans sa publication, Newman consid`ere une marche al´eatoire clas-

sique, dans le sens o`u la destination de la marche est prise uniform´ement au hasard dans les voisins du sommet courant. La distribution stationnaire (c’est-`a-dire la probabilit´e de trouver la marche

sur le sommeti apr`es le temps de mixage, c’est `a dire apr`es un temps suffisamment long pour

que cette probabilit´e ne d´epende plus du point de d´epart de la marche) d’une telle marche est :

πi = di/2m (voir e.g. [MR95]), c’est `a dire que plus le noeud est connect´e, plus il voit la marche.

Newman a soulign´e ce d´efaut et a montr´e exp´erimentalement une corr´elation entre le degr´e des noeuds et leur centralit´e d’interm´ediarit´e bas´ee sur les marches al´eatoires, mˆeme pour les noeuds ayant une importance faible pour la topologie malgr´e un fort degr´e. On dit que la marche est

biais´ee.

Afin de pallier `a ce probl`eme et combattre l’effet d’une distribution des degr´es tr`es h´et´erog`ene, notre algorithme utilise une marche al´eatoire d´ebiais´ee, dans le sens o`u la distribution stationnaire

est ind´ependante du degr´e des noeuds : _{∀i ∈ V, π}i = 1/n. Ainsi, apr`es le temps de mixage,

la marche a la mˆeme chance de se retrouver sur n’importe quel noeud. Autrement dit, apr`es un nombre de pas suffisamment grand, tous les noeuds ont le mˆeme nombre de visites de la marche `a exploiter.

Le fait d’apporter des temps de retour `a tous les noeuds ind´ependamment de leur degr´e aug- mente la vitesse de l’algorithme. De plus, la marche d´ebiais´ee capture ainsi l’importance des noeuds ind´ependamment de leur degr´e. Pour d´ebiaiser la marche, nous avons utilis´e la technique

dite de Metropolis-Hastings ([Has70, SRD+06]) : lorsque la marche est sur un noeudi, la desti-

transmise que selon une probabilit´e d´ependant du degr´e de la destination et du degr´e de i. Ce

processus est d´ecrit dans les lignes 1 `a 9 de la description de l’algorithme, figure 3.13. ´

Ecart type des temps de retour Un des points cl´e de l’algorithme est le calcul des temps de

l’´ecart type des temps de retour que nous d´etaillons ici. Chaque noeudi de_{G, lors de la premi`ere}

r´eception de la marche al´eatoire, cr´ee un tableauΞi, qui enregistre chaque temps de retour de la

marche eni. Rappelons qu’un temps de retour est le temps mis par la marche al´eatoire partant de

i pour revenir en i. On note Ξi(k) le k-i`eme temps de retour de la marche en i. Apr`es le troisi`eme

passage de la marche, le noeudi calcule l’´ecart-type

σi(N ) =r 1 NΣ N k=1Ξi(k)2− [ 1 NΣ N k=1Ξi(k)]2

desN valeurs de Ξi. Ces temps de retour ´etant des exp´eriences ind´ependantes, on a grˆace `a la loi

forte des grands nombres :

lim

N −→∞σi(N ) = σi.

Une fois que la marche a fait suffisamment de pas, les valeurs deσ repr´esentent alors l’impor-

tance des noeuds dans le graphe : plus la valeur est faible plus le noeud est important.

Temps de convergence de l’algorithme Chaque noeud doit ˆetre visit´e un certain nombre de

fois par la marche afin de calculer un ´ecart type qui a du sens. Ainsi, le temps de convergence

de l’algorithme est reli´e au temps de couverture du graphe_{G. Ce temps de couverture est d´efini}

comme le nombre de pas n´ecessit´es par une marche al´eatoire pour visiter chaque sommet deG.

Feige [Fei95a] montre que ce temps de couverture est compris entre(1+o(1))n ln n pour le graphe

complet et ₂₇4 n3_{+ o(n}3_{) pour le graphe lollipop [Fei95b], c’est-`a-dire un graphe complet de n/2}

noeud li´e `a une ligne de n/2 noeuds. Le r´esultat pour le graphe complet tient dans le cas d’une

marche d´ebiais´ee puisque tous les noeuds ont le mˆeme degr´e. Nous ne connaissons pas de borne haute dans le cas d’une marche d´ebiais´ee.

Le coˆut de notre algorithme est donc le coˆut de la couverture, multipli´e par une constante afin que chaque noeud ait plusieurs temps de retour.

Les autres algorithmes bas´es sur les marches al´eatoires (e.g. [Fei96] pour ´etudier la connec-

tivit´e d’un graphe) n´ecessitent O(n3) ´etapes dans le pire cas (c’est-`a-dire pour des graphes tr`es

d´eg´en´er´es). En pratique, ce temps est bien moindre pour obtenir des r´esultats satisfaisants.