Effets de tailles : Domaines ´elargis : param`etre d’ordre et d´efauts

Motivations

Les exp´eriences de Prigent, dans le cas de l’´ecoulement Taylor–Couette comme dans le cas de l’´ecoulement de Couette plan font apparaˆıtre des g´en´erations spontan´ees de d´efaut d’orientation dans le motif pour R s’approchant de Rt (Fig. 1.3 (f), pp. 1.3). C’est l’un des effets du bruit sur la

formation du motif lorsque la taille augmente. On ne s’attend pas `a une cr´eation spontan´ee de d´efaut `a mesure que l’on s’approche du seuil dans le mod`ele de Ginzburg–Landau d´eterministe. Ce type de comportement est difficile `a calculer dans ce mod`ele. Traiter le mod`ele de Ginzburg dans une limite finie est tr`es fastidieux, contrairement `a la limite de taille infinie pour laquelle il est ais´e de d´eterminer des fonctions de corr´elation o`u le comportement des fronts entre deux zones d’orientation diff´erentes. Ces effets peuvent ˆetre mis en ´evidence dans les simulations.

Un autre effet typique du bruit `a petite taille est la non-annulation du param`etre d’ordre `a R > Rt. Le comportement du motif bruit´e s’oppose ici `a une formation de motif classique. La th´eorie

des ph´enom`enes critiques montre que dans un mod`ele tel que celui examin´e, le param`etre d’ordre est effectivement non nul dans la phase non bifurqu´ee `a taille finie, mais qu’il va venir s’annuler lorsque l’on passe `a la limite thermodynamique, son amplitude d´ecroissant avec la taille [104]. On teste ce comportement `a l’aide des grandeurs statistiques utilis´ees ici.

Alongement en ~ex, une, deux, quatre et six longueurs d’onde

On choisit un allongement de taille simple, dans une seule direction. Lz est gard´e constant `a Lz =

48, taille qui accommode bien une longueur d’onde `a tous les nombres de Reynolds. On choisit des tailles Lx = 110, 220, 440 et 660, dont on attend qu’elles contiennent respectivement une, deux quatre

et six bandes dans le coeur du r´egime de formation de motif [73]. On fait une ´etude param´etrique en R.

(a) :

(b) :

Figure 4.38 – Niveaux de couleur de ~v2 _{dans un plan x − z pour N}

y = 15 et Lz = 48, R = 310, (a) :

`a Lx = 220 , (b) : `a Lx = 440

On commence par une description qualitative du syst`eme. On obtient bien la longueur d’onde attendue λx = 110. On trouve ainsi deux longueurs d’onde dans le domaine Lx = 220 et quatre

longueurs d’onde dans le domaine Lx = 440, et ce pour tous les nombres de Reynolds. La situation

est diff´erente dans le syst`eme Lx = 660. On observe six longueurs d’onde dans le domaine sur les

dur´ees finies consid´er´es (T . 10000), pour R . 330. Cependant `a R = 340, la situation est diff´erente, des d´efauts (disparition locale de la modulation, disclinaison) peuvent apparaˆıtre, le syst`eme peut aussi subir une instabilit´e d’Eckhaus et passer `a λx = 94. On illustre ces propri´et´es sur une exp´erience

0 1 2 3 4 5 6 x 104 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3x 10 −3 t m 2 R=310 R=330 R=340 R=310 R=340 a b c d e f kx=6,kz=1 kx=6,kz=−1 kx=7,kz=1 kx=7,kz=−1

Figure 4.39 – S´erie temporelle des param`etres d’ordre pour kz = ±1, kx = 6 et kx = 7, pour

une taille Lx × Lz = 660 × 48, Ny = 15, Les nombres de Reynolds durant la simulation sont :

R = 310 → 330 → 340 → 310 → 340.

num´erique : on suit le param`etre d’ordre m2 _{pour k}

z = ±1 et kx = 6, kx = 7 (Fig. 4.39) ainsi que

les niveaux de couleur du champ ~v2 _{dans un plan x − z (Fig. 4.40). On indique les instants auxquels}

correspondent les niveaux de couleurs de ~v2 _{sur l’axe des temps de m}2_{. On commence par tremper}

le syst`eme de R = 450 `a R = 310. Six longueurs d’onde d’une orientation donn´ee (kz = −1)

s’´etablissent dans le syst`eme (Fig. 4.40 (a)) et le param`etre d’ordre correspondant domine les autres (Fig. 4.39). Lorsque la bande est ´etablie, on augmente le nombre de Reynolds brutalement `a R = 330. L’amplitude de m2 <sub>correspondant `a k</sub>

x = 6 d´ecroˆıt, celle correspondant `a kx = 7 (kz = −1) croˆıt

l´eg`erement. La modulation de la turbulence est moins importante et pr´esente de l´egers d´efauts : le mode kx = 7 correspond ici `a l’enveloppe de la modulation `a kz = 6. On augmente ensuite le nombre

de Reynolds jusqu’`a R = 340. La situation change qualitativement. Le param`etre d’ordre `a kx = 6

d´ecroˆıt d’autant plus, celui `a kx = 7 croˆıt. Des d´efauts s’installent dans le syst`eme, le plus frapant

´etant une cohabitation spatiale de deux orientations diff´erentes (Fig. 4.40 (b)), qui se traduit par m2

(kx = 6 kz = 1) non n´egligeable (Fig. 4.39). On peut d´ecroˆıtre le nombre de Reynolds `a R = 310 et

faire totalement disparaˆıtre les d´efauts (Fig. 4.40 (c)), jusqu’`a ce que tous les param`etres d’ordre autre que kx= 6, kz = −1 soient n´egligeables (Fig. 4.39). On peut alors r´eit´erer l’exp´erience en augmentant

le nombre de Reynolds `a R = 340. L’effet sur m2 _{est le mˆeme. Il apparaˆıt une zone de l’´ecoulement}

dans laquelle la modulation de la turbulence a quasiment disparu (Fig. 4.40 (d,e)). Cette zone se maintient sur plusieurs milliers de temps de retournement et n’est pas situ´ee au mˆeme endroit que le pr´ec´edent d´efaut. Avec le temps, cette zone se transforme en plusieurs bandes de longueur d’onde plus faibles. Les autres diffusent jusqu’`a ajuster λx = 94, soit sept longueurs d’ondes dans le domaine

(Fig. 4.40 (f)).

Cette dynamique des d´efauts est riche, et se manifeste lorsque R est proche de Rt, soit lorsque

l’´ecart au seuil est faible et que l’amplitude relative du bruit est importante. Cela ´etant dit, on s’attend trouver des d´efauts dans le motif `a plus bas Reynolds, ils sont cependant bien moins probables et leur occurrences sont donc beaucoup plus rares.

On passe ensuite `a une ´etude statistique syst´ematique. On d´etermine le param`etre d’ordre, la fraction turbulente, l’´energie moyenne, et l’´energie turbulente. On le trace en fonction de R pour les

Figure 4.40 – Niveaux de couleur du champ ~v2 _{dans le plan y = −0.57, pour L}

x× Lz = 660 × 48,

Ny = 15. (a) : R = 310, (b) : R = 340 (d´efaut d’orientation), (c) : R = 310 : ´elimination d’un d´efaut.

(d,e) : R = 340 disparition locale des trous, (f) : R = 340 (passage `a λx = 94). Les valeurs de m

quatre tailles sur la figure 4.41. Les quantit´es turbulentes F , E, et Etmontrent les tendances discut´ees

dans la section pr´ec´edente : la fraction turbulente et l’´energie moyenne sont proportionnelles et li´es par l’´energie turbulente. L’´energie turbulente (Fig. 4.41 (d)) croˆıt lentement avec R. La fraction turbulente (Fig. 4.41 (b)) croˆıt lin´eairement dans la gamme de R dans laquelle le motif existe, puis converge vers 1 `a R > Rt. L’´energie moyenne (Fig. 4.41 (c)) pr´esente deux phases de croissances quasi

lin´eaire et une rupture de pente `a Rt. Il n’apparaˆıt pas de tendance avec l’augmentation de la taille.

En particulier au dessus de Rt, toutes les courbes de E et F s’effondrent sur une mˆeme courbe. On

ne note aucune diff´erence entre les tailles.

Cela n’est plus le cas pour le param`etre d’ordre (Fig. 4.41 (a)). Pour toutes les tailles, il suit la tendance mise en ´evidence dans la section pr´ec´edente : saturation `a bas nombre de Reynolds, d´ecroissance en racine de Rt− R puis valeur faible au dessus de Rt. En dessous de Rt, il n’apparaˆıt

pas de tendance claire en fonction de la taille. Au dessus de Rt, on a une hi´erarchie simple des courbes :

l’amplitude de M d´ecroˆıt avec la taille, il n’y a pas d’effondrement sur une mˆeme courbe. Il s’agit l`a de l’effet qualitativement attendu avec l’augmentation de la taille. On l’illustre qualitativement sur une approche simple.

3200 340 360 380 400 420 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 R M Lx (a) Lx=110 L x=220 L_x=440 L_x=660 280 300 320 340 360 380 400 420 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 R F (b) L x=110 L x=220 L_x=440 L_x=660 280 300 320 340 360 380 400 420 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 R E (c) L x=110 L x=220 L x=440 L x=660 280 300 320 340 360 380 400 420 0.065 0.07 0.075 0.08 0.085 R Et (d) L x=110 L x=220 L_x=440 L_x=660

Figure4.41 – Pour des syst`emes de taille Lx× Lz = 110 × 48, 220 × 48, 440 × 48, 660 × 48 (Ny = 15,

Nz/Lz = 3, Nx/Lx = 1) (a) : Param`etre d’ordre (b) fraction turbulente, (c) : ´energie moyenne et

(a) : (b) :

(c) : (d) : (e) :

Figure 4.42 – Niveaux de couleurs de ~v2 _{dans le plan y = −0.62 pour L}

x× Lz = 70 × 48 (a) : pour

R = 295 et (b) : R = 315 et pour Lx × Lz = 56 × 48 pour R = 310 (c,d) (e) : R = 350. R´esolution

de Ny = 15, Nx,z/Lx,z = 4.