4.3 R´esultats des exp´eriences num´eriques
4.3.1 Comportement en temps et fluctuations autour de l’´equilibre
On examine ici le comportement en temps standard du param`etre d’ordre complexe. On commence par traiter syst´ematiquement les exp´erience de trempe, avant d’examiner les fluctuations de la phase et celles de l’amplitude. Les mˆemes proc´edures de traitement que pour le mod`ele sont utilis´ees. La bonne comparaison avec le mod`ele est mise en ´evidence, en particulier en ce qui concerne l’effet du bruit.
Croissance quasi-exponentielle
On pratique des exp´eriences de trempe : on utilise une condition initiale pr´esentant de la turbulence uniforme, avec une amplitude de la modulation tr`es faible, `a un R o`u les bandes existent. On voit apparaˆıtre la modulation et, parall`element, croˆıtre le param`etre d’ordre dans les s´eries temporelles. On discute en d´etail le comportement du param`etre d’ordre pour toutes les phases de la trempe dans la section 5.1.1. On y montre de plus qu’avec suffisamment d’exp´eriences num´eriques, en DNS ou en mod`ele r´eduit, on peut faire apparaˆıtre la croissance exponentielle dans le faisceau de courbe de m± (Fig. 5.7 (d), pp. 159 ), pendant le transitoire. On compare au mod`ele (Eq. (4.31)) qui peut se simplifier en A ∝ exp(t/τ), dans la limite o`u t n’est pas trop petit. On peut ainsi en extraire, par ajustement du faisceau de courbe sur une dur´ee T , l’inverse du temps caract´eristique de croissance 1/τ , et ce, pour toute une gamme de nombre de Reynolds.
(a) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 x 105 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 time φ 0 20 40 60 80 100 120 0 1 2 3 4 5 6 7 8x 10 −3 temps < φ 2 (b) >
Figure 4.21 – (a) ´evolution de la phase et (b) fluctuations de la phase du param`etre d’ordre pour la DNS, Lx = 110, Lz = 48, R = 290, Ny = 15
On fait l’exp´erience num´erique `a Ny = 15, pour une taille accommodant la bande `a tous les R,
Lx× Lz = 128 × 48, et on extrait 1/τ en fonction de R (Fig. 4.20). On ajuste les s´eries temporelles de
log(m±) sur une dur´ee T `a compter de la trempe. On en extrait l’inverse du taux de croissance 1/τ en fonction de R. On d´etermine la fonction 1/τ (R) pour plusieurs dur´ee d’ajustement, pour d´eterminer l’effet de ce param`etre. En effet, si T est trop long, A(t) peut sortir du r´egime o`u la saturation est n´eglig´ee et o`u la croissance est exponentielle. L’inverse du taux de croissance (1/τ )(R) obtenu d´epend faiblement de la dur´ee T , et ce, sur une large gamme de dur´ee (200 ≤ T ≤ 600) (Fig. 4.20 (a)). On trouve un comportement lin´eaire avec R, que l’on compare alors au comportement attendu dans le mod`ele, `a savoir 1/τ = (Rt− R)/(τ0Rt). On peut trouver τ0 et Rt `a l’aide de l’ordonn´ee `a l’origine et
de la pente de la droite 1/τ (R) sur une plage de nombre de Reynolds [R0, 340]. On laisse a priori R0
libre : le comportement faiblement non-lin´eaire n’est pas forcement valable pour les plus petit nombre de Reynolds. En pratique, on ne trouve aucun effet de R0, ce qui montre que l’on n’est pas descendu
trop bas en R pour ne plus avoir 1/τ = (Rt−R)/(τ0Rt). On extrait ces param`etres pour les diff´erentes
dur´ees d’ajustement T (Fig. 4.20 (b,c)). Le temps de coh´erence τ0 est donn´es en ordre de grandeur,
avec un plateau `a τ0 ≃ 60h/U pour les dur´ees d’ajustement interm´ediaires. C’est la quantit´e la plus
sensible `a T . Le nombre de Reynolds de disparition des bandes Rt converge rapidement avec T vers
Rt = 355 avec la dur´ee de l’´echantillon ajust´e. Cette valeur de Rt cadre bien avec les constatations
qualitatives faites. L’ordre de grandeur de τ0 est du mˆeme ordre de grandeur que la valeur estim´ee
par Prigent [73] dans Taylor–Couette de τ0 = 30h/U.
Un des principaux ´ecarts attendus avec la d´ependance de type (1 − R/Rt)/τ0 est la variation de
ǫ avec δkx,z l’´ecart au nombres d’onde optimaux. Cela motive le choix de taille accommodant bien le
motif, d’une part, et avec un λz en milieu de gamme de longueur d’onde [73].
Phase
On utilise la proc´edure introduite dans la premi`ere section (§ 4.1.2) et utilis´ee dans la seconde pour analyser les s´eries temporelles du mod`ele. On cherche ici `a extraire des donn´ees quantitatives sur l’amplitude du bruit, connaissant le temps caract´eristique τ0.
On trace un exemple de l’´evolution de la phase en fonction du temps sur la figure 4.21. On choisit un nombre de Reynolds et une taille qui ne risquent pas d’ˆetre perturb´es par un changement d’orien-
(a) : 0 200 400 600 800 1000 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2x 10 −5 T <f(t)f(t")> (b) dir 1 dir 2 0 200 400 600 800 1000 −11.6 −11.5 −11.4 −11.3 −11.2 −11.1 −11 −10.9 −10.8 −10.7 t−t" log(<f(t)f(t")>) (c) dir 1 fit dir 2 0 200 400 600 800 1000 0 0.5 1 1.5 2 2.5x 10 −5 t 〈 f(t)f(t) 〉 (d) donnees ajustement
Figure 4.22 – Fluctuations d’ensemble du module du param`etre d’ordre, pour une taille Lx× Lz = 110 × 48 `a R = 290. (a) : autocorr´elation du param`etre d’ordre en fonction de t et t′. (b) : auto-
corr´elation en fonction de t − t′ en lin´eaire-lin´eaire, (c) : autocorr´elation du param`etre d’ordre en
fonction de t − t′ en logarithme-lin´eaire. On trouve y = −0.00146x − 10.8. (d) : Fonction d’auto-
corr´elation sur la droite t = t′ en lin´eaire-lin´eaire
tation ou une relaminarisation (suffisamment loin de Rt et Rg, taille accommodant parfaitement une
bande), on prend donc Lx × Lz = 110 × 48 et R = 290. L’exp´erience num´erique est r´ealis´ee en
mod`ele r´eduit `a Ny = 15. La s´erie temporelle ´etant suffisamment longue, on voit apparaˆıtre la trace
du mouvement de type marche al´eatoire. On applique la proc´edure de traitement pour extraire le comportement des fluctuations (figure 4.21). On fait apparaˆıtre la croissance lin´eaire typique d’une marche al´eatoire dans la s´erie temporelle. On extrait alors un α en se basant sur le comportement du mod`ele (Eq. (4.29)). on a α/√τ0 ≃ 0.0004, en prenant τ0 ≃ 30, on en d´eduit α ≃ 10−3. La valeur se
compare bien `a celles par Prigent pour l’´ecoulement de Taylor–Couette [73]. Fonction d’autocorr´elation du module du param`etre d’ordre
La m´ethode de calcul des fluctuations du module du param`etre d’ordre est la mˆeme que celle introduite dans la section 4.2.4 (Eq. (4.30)) : on r´ealise un moyennage d’ensemble des s´eries tem- porelles grace `a un d´ecoupage. On utilise la mˆeme exp´erience que pour les fluctuations de la phase (Lx× Lz = 110 × 48, R = 290, Ny = 15), pour les mˆemes raisons.
On obtient le mˆeme type de carte de hf(t)f(t′)i dans le plan t, t′ (Fig. 4.22 (a)) que pour
du mod`ele, la fonction d’autocorr´elation d´ecroˆıt exponentiellement avec |t − t′| (Fig. 4.22 (b)), pour
des temps t et t′ suffisamment grand (Eq. (4.27)). On extrait le comportement exponentiel de la
d´ecroissance de la fonction d’autocorr´elation de la mˆeme mani`ere que pour le mod`ele : on consid`ere une ligne `a t ou de mani`ere sym´etrique, `a t′ fix´e. On examine ensuite la fonction d’autocorr´elation
en lin´eaire-lin´eaire ainsi qu’en logarithme-lin´eaire (Fig. 4.22 (c)). Dans ce dernier cas, on fait bien apparaˆıtre la d´ecroissance exponentielle des fluctuations.
De la mˆeme mani`ere que dans la simulation num´erique, on compare nos donn´ees `a l’expression analytique (Eq. (4.28)). Ainsi, l’ajustement de hf(t)f(t′)i en fonction de |t − t′|, pour t et t′ suffi-
samment grands devant τ0/ǫ permet d’estimer τ0 et α. On estime α2/(4ǫ) ≃ 2.10−5, soit α ≃ 0.004
et 2ǫ/τ0 ≃ 0.0014 `a l’aide des param`etres de l’ajustement, pour un ǫ ≃ 0.18, si on utilise la valeur
de Rt ≃ 355 estim´ee pr´ec´edemment. On prend garde au fait que ces valeurs ne se comparent qu’en
approximation aux param`etres effectifs du mod`ele, comme remarqu´e lors du traitement du mod`ele de Langevin. On peut faire de mˆeme pour l’ajustement de hf(t)f(t)i (Fig. 4.22 (d)), qu’on compare au mod`ele (Eq. (4.27)). On trouve la tendance attendue. L’ajustement donne par a(1 − exp(−2et/τ0))
donne a = 0.000022, qui correspond `a α2/(4ǫ), qui est consistant avec l’ajustement pr´ec´edent On
trouve 2ǫ/τ0 ≃ 0.0053, qui se compare mal `a 4ǫ/τ0 ≃ 0.0028, l’erreur est de 50%.